UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Feuille d’exercices 2

Exercice 1

Montrer que la suite u n = ²ⁿ _n

+1 ⁻ⁿ est convergente.

Exercice 2

D´eterminer toutes les implications vraies entre deux propri´et´es parmi les pro- pri´et´es suivantes des suites r´eelles :

1.) constante

2.) stationnaire (c’est-`a-dire constante `a partir d’un certain rang) 3.) croissante

4.) croissante `a partir d’un certain rang 5.) strictement croissante

6.) strictement croissante `a partir d’un certain rang 7.) monotone `a partir d’un certain rang

8.) major´ee

9.) major´ee `a partir d’un certain rang 10.) minor´ee

11.) born´ee

12.) p´eriodique `a partir d’un certain rang 13.) convergente

Donner une suite r´eelle qui ne poss`ede aucune des propri´et´es ci-dessus.

Exercice 3

Soit (u n ) n∈N une suite r´eelle qui converge vers u ∈ R. Soit v ∈ R tel que

∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N |u n − v| ≤ ε.

Montrer que v = u.

1

Exercice 4

a) On consid`ere les fonctions

f : ]1, ∞[→ R , f (x) = ln(x) et

g : ]1, ∞[→ R , g(x) = √ x − 1.

Montrer que pour x ≥ 2, on a g(x) ≥ f (x). En d´eduire que

∀ n ∈ N ln(n) ≤ √ n − 1.

b) Montrer que la suite (u n ) n∈N = ^ln(n+1) _n converge vers z´ero.

2