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Facult´ e des Sciences et Techniques de Limoges Ann´ ee 2005-2006

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Facult´ e des Sciences et Techniques de Limoges Ann´ ee 2005-2006

Statistiques S2 Feuille d’exercices 3 Exercice I

Un agriculteur a entrepos´ e dans un local humide 12 doses d’un herbicide total et 8 doses d’un fongicide. Apr` es plusieurs mois de s´ ejour, les ´ etiquettes sont indiff´ erenciables. Chaque dose a la mˆ eme probabilit´ e d’ˆ etre tir´ ee.

Au vu d’un traitement, l’agriculteur prend 6 doses au hasard. Soit X la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de doses d’herbicides parmi ces 6 doses. D´ eterminer la distribution de probabilit´ e de X.

Exercice II : Utilisation des tables.

1. Si X suit la loi normale centr´ ee r´ eduite, d´ eterminez p(X ≤ 2).

2. Si X suit la loi normale centr´ ee r´ eduite, d´ eterminez p(1 ≤ X ≤ 3).

3. Si X suit la loi normale centr´ ee r´ eduite, d´ eterminez un intervalle centr´ e sur la moyenne de probabilit´ e 0, 9.

4. Si X suit la loi normale N (4; 2), d´ eterminez p(X ≤ 6).

5. Si X suit la loi normale N (3; 1, 5), d´ eterminez x pour que p(X ≤ x) = 0, 4218.

6. Si X suit la loi normale N (5; 2), d´ eterminez p(2, 5 ≤ X ≤ 6, 5).

7. Si X suit la loi normale N (6; 2), d´ eterminez un intervalle centr´ e sur la moyenne de probabilit´ e 0, 9.

Exercice III

Il y a, en moyenne, 10 cas de maladie M dans une r´ egion donn´ ee au cours d’une ann´ ee. On suppose que la probabilit´ e qu’un habitant de cette r´ egion ait cette maladie est tr` es faible.

1. Expliquer pourquoi on peut supposer que la variable al´ eatoire X donnant le nombre de malades par an suit une loi de Poisson de param` etre λ ` a pr´ eciser.

2. Calculez la probabilit´ e qu’il y ait strictement moins de 3 personnes malades dans une ann´ ee.

Exercice IV

Un liquide contient 10

5

bact´ eries par litre r´ eparties au hasard. On en pr´ el` eve 1mm

3

dans un litre. On r´ epondra aux questions suivantes en utilisant d’abord la loi exacte (loi binomiale), puis son approximation par une loi de Poisson.

1. Quelle est la probabilit´ e que ce pr´ el` evement ne contienne aucune bact´ erie ?

2. Quelle est la probabilit´ e qu’il contienne au moins 3 bact´ eries ?

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