Universit´e de Paris Dauphine Ann´ee universitaire 2008-2009 Analyse 3, DUMI2E Chapitre 1: S´eries num´eriques Exercice 1. D´eterminer un ´equivalent des suites suivantes: (i) ∀n ∈ N

Universit´e de Paris Dauphine Ann´ee universitaire 2008-2009 Analyse 3, DUMI2E

Chapitre 1: S´ eries num´ eriques

Exercice 1. D´eterminer un ´equivalent des suites suivantes:

(i) ∀ n ∈ N ^∗ , u n = (n sin( 1

n )) ⁿ , (ii) ∀ n ∈ N ^∗ , v n = p

ln(n + 1) − p

ln(n), (iii) ∀ n ∈ N ^∗ , w n = n

− 1.

Exercice 2. D´eterminer un d´eveloppement au second ordre des suites suivantes:

(i) ∀ n ∈ N ∗ , u ⁿ = _{n +(} ^{( − 1)}

− 1)

ln( n ) ,

(ii) ∀ n ∈ N ^∗ , v ⁿ = ( ^ln( _ln( ^{n +1)} _{n )} − 1) ^α , o` u α > 0, (iii) ∀ n ∈ N ^∗ , w n = ^e

^{− 1}

sin(

) .

Exercice 3. Soit ∀ n ∈ N ^∗ , S n =

n

P

k =1

k ² . Montrer que: ∀ n ∈ N ^∗ , S n = ^{n ( n +1)(2} ₆ ^{n +1)} . Indication. On pourra calculer

n

P

k =1

((k + 1) ³ − k ³ ) de deux fa¸ cons diff´ erentes.

Exercice 4. Soit α ∈ R . Pour tout entier n ≥ 1, on note u n = 1

n ^α , v n = 1

n ^α − 1

(n + 1) ^α , w n = 1

n ^α − 2

(n + 1) ^α + 1 (n + 2) ^α . 1. Pour quelles valeurs de α la s´erie de terme g´en´eral u n est-elle convergente ?

2. Pour quelles valeurs de α la s´erie de terme g´en´eral v ⁿ est-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

3. Pour quelles valeurs de α la s´erie de terme g´en´eral w ⁿ est-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

Exercice 5. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral:

(i) u n = ^1+ln( _n

^{n )} , (ii) v n = ₃ ²

₊₁₁ ⁺⁵ , (iii) w n = e ^{− √ n} , (iv) y n = ^{( n} n ⁺¹⁾ !+1

, (v) a ⁿ = ( ¹ ₂ + n ¹ ) ⁿ , (vi) b ⁿ = _ln( ⁿ

_n

₎

, (vii) c ⁿ = n ² sin( ₂ ¹

),

(viii) d n = (n ⁶ + 3) ^a − (n ² + 2) ^{3 a} , o` u a ∈ R .

1

Exercice 6. Soit f une fonction positive, d´ecroissante et continue sur [1, + ∞ [. On note:

∀ n ∈ N ∗ , F (n) =

n

P

k =1

f (k) − R ⁿ

1 f (t)dt.

1. Montrer que la suite (F (n)) n ∈ N

est d´ecroissante.

2. En d´eduire que la suite (F (n)) ⁿ _∈ N

converge.

3. Applications.

a. Soit ∀ n ∈ N ∗ , u n = ^ln( _n ^{n )}

, o` u α ∈ R . Pour quelles valeurs de α la s´erie de terme g´en´eral u n

est-elle convergente ? b. Soit ∀ n ∈ N ∗ , v n =

n

P

k =1 1

k − ln(n). Montrer que la suite (v n ) n ∈ N

converge.

Remarque. La limite de la suite (v n ) n ∈ N

est la constante d’Euler γ = 0, 57721566 . . ..

Exercice 7. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral:

(i) u n = ( − 1) ⁿ

2n + ( − 1) ⁿ , (ii)v n = ( − 1) ⁿ

n + ( − 1) ⁿ ln(n) , (iii) w n = ( − 1) ⁿ √ n sin( 1

n ).

Exercice 8. Soit (u ⁿ ) ⁿ _∈ N une suite de nombres r´eels.

1. On suppose que

∀ n ∈ N , u ⁿ ≥ 0.

Montrer que si la s´erie de terme g´en´eral u ⁿ est convergente, alors, la s´erie de terme g´en´eral u ² n

est convergente.

2. Ce r´esultat demeure-t-il vrai si les r´eels u n ne sont plus suppos´es positifs ?

Indication. On pourra rechercher un contre-exemple sous la forme d’une s´ erie altern´ ee.

Exercice 9. Soit ∀ n ∈ N , u n = ⁽ ₃ ⁻ _n ¹⁾ ₊₁

et ∀ n ∈ N , v n = _{(6 n +1)(6} ³ _{n +4)} . 1. Montrer que les s´eries de terme g´en´eral u n et v n sont convergentes.

2. Calculer u ₂ ⁿ + u ₂ ⁿ ₊₁ pour tout entier n ∈ N . 3. En d´eduire que:

+ ∞

X

n =0

u n =

+ ∞

X

n =0

v n .

Exercice 10. Soit (u ⁿ ) ⁿ _∈ ^N une suite de nombres r´eels strictement positifs. On note

∀ n ∈ N , S n =

n

X

k =0

u k , et v n = u n

S n

.

1. Montrer que si la s´erie de terme g´en´eral u n est convergente, alors la s´erie de terme g´en´eral v n est convergente.

2. Montrer que:

∀ n ∈ N ,

n

k Π =1 (1 − v k ) = u ₀ S n

. 3. On suppose que la s´erie de terme g´en´eral v n est convergente.

a. Quelle est la nature de la s´erie de terme g´en´eral ln(1 − v ⁿ ) ? b. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral u n est convergente.

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