Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2009-2010 DEGEAD 1er cycle
Soutien - Semaine 12
Examen de f´evrier 2005 - Probl`eme Soit f la fonction de R2 dans R d´efinie par f(x, y) =x3+ 3x2y+ 2y3−3x−3y .
Partie I (5 points)
1. (a) Pour tout r´eel x, on pose ϕ(x) = f(x, x). Donner l’expression de ϕ(x).
(b) D´eterminer les limites de ϕ lorsque x tend vers +∞ et −∞. En d´eduire quef n’admet ni maximum global ni minimum global sur R2.
(a) Justifier quef est de classeC2 sur R2. (b) D´eterminer les points critiques de f sur R2.
(c) D´eterminer la nature des points critiques trouv´es `a la question pr´ec´edente.
Partie II (12 points) Soit g la fonction de R2 dans R d´efinie par g(x, y) = x2+y2−50.On cherche les extrema de f sous la contrainte g(x, y) = 0.
1. Chercher les points critiques de seconde esp`ece de f sous la contrainte.
2. D´eterminer les coordonn´ees des points critiques de premi`ere esp`ece et donner la valeur du multiplicateur de Lagrange pour chacun d’entre- eux.
Indication : on trouve 6 points critiques de la forme M1 = (a, a), M2 = (−a,−a), M3 = (b,7), M4 = (−b,−7), M5 = (b,−7) et M6 = (−b,7), o`u a et b sont des entiers strictement positifs `a d´eterminer.
3. (a) Pour tout couple (x, y) de r´eels, comparer les valeurs de f(x, y) et f(−x,−y).
(b) Calculer la valeur prise parf en chaque point critique.
(c) Montrer que f admet un maximum global et un minimum global sous la contrainte.
(d) Pr´eciser les points pour lesquels ces extrema globaux sont atteints.
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4. (a) Montrer que les pointsM3etM4 donnent des extrema locaux pour le Lagrangien.
(b) En d´eduire la nature de ces points critiques pourf sous la contrainte.
5. (a) V´erifier que les points critiques non encore ´etudi´es sont des points cols du Lagrangien.
(b) Lin´eariser la contrainte pour ces deux derniers points critiques.
(c) En d´eduire leur nature pourf sous la contrainte.
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