Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2011–2012 DEGEAD 1er cycle
Soutien - Semaines 1 et 2 - Approximations d’ordre 1 et 2
La connaissance des formules des chapitres 7 `a 9 est requise pour r´esoudre les exercices suivants.
Exercice 1. D´eterminer les approximations affines locales de : 1
4 +h, (3 +h)3, 1 (1 +h2)2. En d´eduire les valeurs approch´ees de 1
4.02 et 3.13. Comment peut-on appro- cher 1
(1.09)2?
Exercice 2. Utiliser deux d´eveloppements limit´es `a l’ordre 1 bien choisis pour montrer que
lim
x→0
2x−1
ln(1 +x) = ln 2.
Exercice 3.
1. Lorsque le prix d’un paquet de cigarettes augmente de 5 %, les ventes chutent de 2 %, quelle est l’´elasticit´e des ventes par rapport au prix ? 2. Au march´e de Rungis, le prix du kilo de framboises passe de 12 `a
11 e, la demande quotidienne passe de 1,5 tonnes `a 2 tonnes. Quelle est l’´elasticit´e de la demande par rapport au prix ? Si le prix augmente de 1 %, quelle sera approximativement la variation relative correspon- dante de la demande ? De quel taux faut-il baisser les prix pour que la demande augmente de 10 % ?
Exercice 4. La relation entre la quantit´e q demand´ee d’un bien et le prix unitaire est donn´ee par :
p+ 2 ln(p2q) = 0.
1) D´eterminer la fonction demande F d´efinie par q=F(p).
Montrer que F est strictement positive et d´ecroissante, puis que F est une bijection de ]0,+∞[ dans lui-mˆeme. (On pourra utiliser la d´eriv´ee de ln(F) et expliquer pourquoi ≪F d´ecroissante≫ est ´equivalent `a ≪ln(F) d´ecroissante≫).
1
2) On suppose quep0 = 4. Quelle sera la variation relative deF sipaugmente de 2% ? (on demande une valeur approch´ee)
3) On suppose que p0 = 2. Quelle variation relative approximative dep fait augmenter F de 6% ? Quelle est la valeur du prix correspondante ? 4) (a) Calculer la recette du producteur en fonction de p. On la noteR(p).
(b) On suppose que p0 = 1,42. On donnee0,71 ≃2 et 1,422 ≃2. Donner une valeur approch´ee de la recette marginale au point 1,42.
(c) On suppose que p0 passe de 1,42 `a 2. Donner une valeur approch´ee de la variation absolue correspondante de R.
(d) Le prix actuel ´etant 1,42, quelle valeur donner `appour que la recette augmente de 0,43 ?
Exercice 5. Utiliser deux d´eveloppements limit´es `a l’ordre 2 bien choisis pour montrer que
lim
x→0
2x+2−x
2 −1
x+ 1−ex =−(ln 2)2.
2
