Les solides : Elasticit´e

Les solides : Elasticit ´e

Analyse du comportement des mat ´eriaux et des structures sous l’in- fluence des forces appliqu ´ees. Ce comportement est d’un grand int ´er ˆet pra- tique (ponts, v ´ehicules, os...).

Quand un solide est soumis `a une force ext ´erieure, il peut ˆetre comprim ´e, ´etir ´e ou courb ´e. Si la force exerc ´ee est suffisamment grande, il peut m ˆeme y avoir rupture.

Si l’objet revient rapidement `a sa configuration initiale d `es que la force est supprim ´ee, on dit qu’il est ´elastique (p.e acier, os, verre, caoutchouc). Par contre, les solides ou quasi-solides, tels que le chewing gum, la cire, le plomb ne reviennent pas `a leur configuration initiale ; ce sont des plastiques.

Beaucoup de mat ´eriaux se d ´eforment pro- portionnellement `a la force appliqu ´ee

F = k s Loi de Hooke

k : constante d’ ´elasticit ´e qui s’exprime en Newton/m et s la distance ´etir ´ee ou com- prim ´ee. k est une mesure de la rigidit ´e de l’objet.

Energie potentielle ´elastique

La pente de chaque courbe est la constante d’ ´elasticit ´e, k : plus le ressort est rigide, plus k est grand. Au cours d’un ´etirement la force de traction varie.

L’une des utilit ´es d’un ressort est d’emmagasi- ner de l’ ´energie : le ressort d’une montre (dis- positif invent ´e par Hooke) remplace l’ ´energie potentielle gravitationnelle d’un balancier ou d’un poids qui descend par l’ ´energie poten- tielle ´elastique d’un ressort.

Le travail effectu ´e sur un syst `eme contre une force variable, telle que la force d’un ressort, est l’aire comprise entre la courbe de traction repr ´esentant la force en fonction du d ´eplacement et l’axe des abscisses. Cette aire d ´efinit l’ ´energie restituable (la r ´esilience). Si la force est conservative, ce travail est aussi la variation de l’ ´energie potentielle du syst `eme ∆E_p. Pour une ´elongation de longueur s, l’aire du triangle sous la droite vaut :

∆E_p = ^Z F ds = ^Z k s ds = 1

2 k s²

Exemple : un dynamom `etre

Un dynamom `etre a une ´echelle gradu ´ee longue de 10cm qui permet de lire les masses allant de 0 `a 500 g. (a) Quelle est la constante du ressort ? ? (b) Quel est le d ´eplacement si on tire avec une force de 10 N ? ? (c) Pourrait-on utiliser ce dynamom `etre comme balance sur la lune ? ?

SOLUTION : (a) Si on accroche une masse de 500 g, son poids sera F_W = mg = (0,500kg)(9,81m/s²) = 4, 9N

Cette force produit un d ´eplacement s = 10 cm, k = F_W

s = 4, 9N

0, 10m = 49N/m

(b) Si on tire avec une force de 10N, le d ´eplacement : s = F

k = 10N

49N/m = 0,20m

ce qui est impossible `a lire car l’ ´echelle n’a que 10 cm.

(c) Sur Terre, g varie peu d’un endroit `a un autre. Ainsi cette balance peut ˆetre employ ´ee partout pour mesurer la masse. Par contre sur la lune, g, n’a pas la m ˆeme valeur. Il faut donc recalibrer le dynamom `etre. Par contre si l’ ´echelle

´etait gradu ´ee en Newtons, le dynamom `etre fonctionnerait sur la lune aussi.

Les solides : Les mat ´eriaux ´elastiques

On applique une force de traction croissante sur diff ´erents ´echantillons :

Tige m ´etallique tissu animal Caoutchouc

L’ ´echantillon reprend sa forme initiale en suivant la m ˆeme courbe : on a ici un comportement ´elastique. L’allongement reste lin ´eaire tant que la force ne d ´epasse pas une certaine limite d ´ependant des liaisons interatomiques du

corps.

Les solides : Les mat ´eriaux ´elastiques

Les ´echantillons sont soumis main- tenant `a de plus grandes charges de traction. On d ´efinit alors plusieurs zones :

– zone d’ ´elasticit ´e,

– limite d’ ´elasticit ´e. Au-del `a, c’est la zone plastique, non-r ´eversible.

Les liaisons interatomiques com- mencent `a se rompre → glissement et d ´eformation permanente.

– limite de rupture.

Un mat ´eriau que l’on peut ´etirer presque ind ´efiniment est dit ductile.

Le degr ´e de ductibilit ´e d ´epend de la temp ´erature, du type de charge et de la rapidit ´e avec laquelle la charge est appliqu ´ee (p.e l’acier, compos ´e de fer avec moins de 1% de carbone, est cassant `a -35<sup>◦</sup> et plastique `a +650^◦).

Courbes de traction

L’os est une structure composite faite de cristaux d’hydroxyapatite et de

fibres de collag `ene. L’os, qui est cassant, reste ´elastique presque

jusqu’au seuil de rupture.

Les solides : les Contraintes

Consid ´erons la barre en (b). En plus de su- bir une force qui la tire vers le bas par son extr ´emit ´e inf ´erieure, comme elle est en ´equilibre, elle est soumise `a une force

´egale vers le haut que lui applique son sup- port. En fait, cette tension se r ´epartit uni- form ´ement dans tout le mat ´eriau. On constate ainsi que les forces ext ´erieures appliqu ´ees `a un objet produisent des forces internes, ou contraintes dans le mat ´eriau lui-m ˆeme.

La notion de contrainte permet de d ´ecrire la r ´epartition des forces `a l’int ´erieur d’un solide soumis `a une charge. C’est le rapport du module de la force qui est appliqu ´ee `a la surface sur laquelle elle agit :

Contrainte σ = Force

Surface = F A

qui s’exprime en Newton/m². Cette notion ressemble beaucoup `a celle de la pression (1 N/m²=1 Pa).

Les solides : les Contraintes

On a ici une contrainte de traction, σ_t. – Dans b) F = k ∆L et σ_t = F/A

– Dans c) 2F = k⁰ ∆L et σ_t = 2F/2A

Ainsi la contrainte de traction est la m ˆeme, mais les constantes ´elastiques k et k⁰ sont diff ´erentes ; d’o `u l’int ´er ˆet de la contrainte qui permet de caract ´eriser le mat ´eriau.

En fait on d ´efinit 3 sortes de contraintes ´el ´ementaires :

Les solides : les D ´eformations

La d ´eformation des solides est d ´etermin ´ee par la force appliqu ´ee par unit ´e de surface, la contrainte. La d ´eformation est une mesure du d ´eplacement relatif des atomes, c’est- `a-dire de la distance interatomique.

– La d ´eformation de traction et de compression : _t/c = variation de longueur

longueur originelle = ∆L L_o

_t n’est pas toujours ´egale `a _c. C’est une quantit ´e sans dimension.

Dans les constructions modernes, les d ´eformations ne doivent pas d ´epasser

±1,0% et en fait d ´epassent rarement 0,1% ; les colonnes supportant les grattes-ciel de 300m sont conc¸ues pour ˆetre comprim ´ees de 3 cm.

– La d ´eformation de cisaillement,_s, est un changement de la forme du corps sous l’effet d’un couple de forces ´egales et oppos ´ees. On la d ´efinit par l’angle γ en radians :

_s = γ ∼ tanγ ∼ ∆x l_o

Pour les solides durs, _s < 1 %. Pour les tissus biologiques, γ ≤ 0, 7 rad.

Les solides : Modules d’ ´elasticit ´e

Pour le domaine ´etudi ´e par les ing ´enieurs, contraintes et d ´eformations sont proportionnelles : la constante de proportionnalit ´e est appel ´ee le module d’ ´elasticit ´e :

σ = Ctte . - Traction et compression

Le module de proportionnalit ´e est ici E, appel ´e le Module de Young E = σ

= F A

L_o

∆L (voir T P M1)

qui s’exprime en Newton/m². Le module de Young peut ne pas ˆetre le m ˆeme pour traction et compression. On retrouve la loi de Hooke avec k = EA/L_o. EXEMPLE : Calculer la tension d’une corde de piano en acier mesurant 1,60 m de long et 0,20 cm de diam `etre si elle s’allonge de 0,30 cm lorsqu’on la tend. Le module de Young de l’acier est E = 2,0 × 10¹¹N/m².

L’aire de la section :A = πR² = (3,14)(0,0010 m)² = 3, 14 × 10⁻⁶ m².

F = E ∆L

L_o A = (2,0 × 10¹¹N/m²)









0, 0030 m 1, 60 m







 (3,14 × 10⁻⁶ m²) = 1200 N.

Les solides : Modules d’ ´elasticit ´e

- Le cisaillement

La force est dans ce cas dans le plan de la surface A. Le module de ci- saillement, G vaut :

G = σ_s

_s = F/A γ

et s’exprime en Newton/m². γ est l’angle de cisaillement en radians. A d ´esigne l’aire de la surface parall `ele `a la force appliqu ´ee et non perpendicu- laire comme dans le cas de la traction et de la compression.

Les modules E et G ne sont pas ind ´ependants :

G = E

2(1 + α)

o `u α est le nombre de Poisson, nombre sans dimension qui caract ´erise la contraction lat ´erale lors d’un allongement (voir TP M1).

Les solides : Modules d’ ´elasticit ´e

- La contrainte hydraulique

Dans le cas d’un liquide, la d ´eformation est ∆V /V_o. La quantit ´e F/A est la pression, P (voir FLUIDES). Le coefficient de proportionnalit ´e est ici B, le

Module de compressibilit ´e omnidimensionelle : B = −σ_v

_v = −F A

V_o

∆V = −P V_o

∆V

Le signe n ´egatif est n ´ecessaire pour garder B positif, car dans une compres- sion le volume diminue et ∆V < 0.

Pour l’eau B = 2, 2 × 10⁹N/m² et pour l’acier B = 16 × 10¹⁰ N/m². Au fond de l’oc ´ean `a 4000 m, la pression est 4.0 × 10⁷ N/m². La compression ∆ V /V_o, est alors de 1.8%. Celle pour un object en acier serait seulement de 0.025%.

Resum ´e des constantes d’ ´elasticit ´e

Le module de Young est en g ´en ´eral 2 `a 3 fois celui du cisaillement pour un mat ´eriau donn ´e.

mat ´eriau masse volumique Module de Module de Module de ρ Young, E cisaillement, G compressibilit ´e

volumique, B (kg/m³) (10⁹ N/m²) (10⁹ N/m²) (10⁹ N/m²)

Eau 1000 2,2

Acier 7860 200 80 160

Ciment 2300 20

Aluminium 2700 63 25 70

Cuivre 8900 120 50 140

Tungst `ene 19300 360 150 200

Verre 2500 65 8-30 40

B ´eton 2320 25-30 40

Bois 524 13

Os compact 1700 10 compression 3,5 12

Os compact 20 traction

Caoutchouc 0,007 0,0010

Les solides : la r ´esistance des mat ´eriaux

La courbe de contrainte en fonction de la d ´eformation en mode plastique atteint un maximum sans rupture, appel ´e r ´esistance ultime. Au-del `a la contrainte diminue jusqu’ `a la rupture de l’ ´echantillon, appel ´e r ´esistance de rupture.

Le ciment (comme le pierre et la brique) r ´esiste relativement bien `a la compression, mais tr `es mal

`a la traction. On s’en sert pour les piliers verti- caux, et non pour les poutres. Le ciment arm ´e s’av `ere plus solide et plus stable.

R ´esistance ultime de certains mat ´eriaux : Chiffres indicatifs, il faut pr ´evoir un co- efficient de s ´ecurit ´e entre 3 et 10.

Mat ´eriau Traction Compression Cisaillement 10⁶N.m⁻² 10⁶N.m⁻² 10⁶N.m⁻²

Fer 170 650 240

Acier 500 500 250

Ciment 2 20 2

Sapin 50 50 8

F ´emur 120 170

Marbre 10 110 22

Exemple 1 : la r ´esistance des mat ´eriaux

A son point le plus ´etroit, le f ´emur de la cuisse ressemble `a un cylindre creux de rayon ext ´erieur 1,1 cm et int ´erieur 0,55 cm. Sachant que la r ´esistance ultime `a la compression de l’os est de 170×10⁶N/m², (a) quelle est la force capable de le fracturer ? (b) D ´eterminer la d ´eformation correspondant `a la fracture ?

SOLUTION : (a) L’aire de la section de la mati `ere osseuse :

A = π (R²_e − R²_i) = π R_e²(1 − 0, 5²) = (3/4)π(1,1 × 10⁻²m)² = 2, 85 × 10⁻⁴m² Comme σ_c = F/A

F = σ_c A = (170 × 10⁶N/m²)(2, 85 × 10⁻⁴m²) = 4,8 × 10⁴N Une telle force se rencontre dans la vie courante.

(b) On suppose que E reste constant jusqu’ `a la rupture : _c = σ_c

E = 17 × 10⁷Nm⁻²

10 × 10⁹Nm⁻² = 0,017 La longueur de l’os diminue de 1,7%.

Exemple 2 : la r ´esistance des mat ´eriaux

Une poutre homog `ene de 1500 kg, pos ´ee sur 2 supports, soutient 15000 kg de machinerie. (a) Calculer la force F~<sub>2</sub>? (b) Quelle devrait ˆetre la surface de section minimale des supports ? (On suppose que ces supports sont faits de ciment et qu’un coefficient de s ´ecurit ´e ´egal `a 6 est requis.) (c) D ´eterminer de fac¸on quantitative l’effet de compression d’un tel poids sur ces supports.

SOLUTION : (a) On d ´etermine les moments de force par rapport au point d’application de F₁. La 2eme condition d’ ´equilibre, Σ~τ = 0, donne :

−(10, 0 m)(1500 kg) g − (15,0m)(15000 kg) g + (20,0 m)F₂ = 0 F₂ = 118000 N

(b) La contrainte maximale acceptable est : σ_max = 1

6(2,0 × 10⁷N/m²) = 3, 3 × 10⁶N/m² = F₂ A On r ´esoud l’ ´equation en fonction de A :

A = 1,18 × 10⁵ N

3,3 × 10⁶ N/m² = 3, 6 × 10⁻²m²(360 cm²) (c) ∆L

L_o = 1 E

F₂ A =









1

2, 0 × 10¹⁰N/m²







(3, 3 × 10⁶N/m²) = 1, 7 × 10⁻⁴ Pour un support de longueur L_o = 5,0m, ∆L = 0,85 × 10⁻³m.

D ´eformations complexes : la torsion pure

La torsion pure se traduit par l’ap- parition de contraintes de cisaillement.

Un tube creux et mince, ressemblant

`a un os humain creux, est soumis `a un moment de force τ qui le tord d’un angle φ. Les couches cylindriques sont d’autant plus tordues qu’on s’ ´eloigne de l’axe. L’effet de torsion est `a l’origine du cisaillement.

L’angle de cisaillement r ´esultant γ = (R_oφ)/l est proportionnel `a τ /G.

Si l’angle est assez grand, il peut y avoir rupture (p.e jambe d’un skieur tordu dans une chute). Un angle φ = 3^◦ suffit pour casser le tibia.

Voir aussi TP M1 pour la torsion d’une barre cylindrique en acier.

Fractures courantes d’un os.

D ´eformations complexes : la flexion pure

Les structures m ´etalliques, comme les poutres, sont soumises `a diff ´erents types d’efforts. Dans le cas de flexion, la r ´esistance de l’objet d ´epend non seulement de sa composition mais aussi de sa forme.

Une poutre s’affaisse toujours un peu ne f ˆut- ce que sous son propre poids lorsqu’elle est plac ´ee aux 2 extr ´emit ´es sur des supports.

Elle change de forme, c- `a-d que sa partie sup ´erieure se comprime tandis que sa partie inf ´erieure s’allonge sous l’effet de la tension.

Il existe au centre de la barre une surface imaginaire (surface neutre) qui ne subit pas de d ´eformation. Soit une barre de longueur L :

– Flexion de la barre encastr ´ee `a une extr ´emit ´e et soumise `a l’autre extr ´emit ´e

`a une force F. Son d ´eplacement est proportionnel `a : F L³/E ( voir TP M1).

– Flexion de la barre pos ´ee aux 2 extr ´emit ´es sur des supports. On a trouv ´e qu’il faut que la quantit ´e de mati `ere soit aussi loin que possible de la surface neutre. C’est ainsi qu’une poutre qui a la forme d’un I r ´esiste mieux `a la flexion produite par des forces verticales qu’une poutre carr ´ee de m ˆeme section droite construite avec la m ˆeme quantit ´e de mati `ere.

Les structures creuses

Un tube vertical creux et circulaire r ´esiste mieux `a la flexion qu’un tube plein de m ˆeme masse mais de rayon moindre puisqu’il a une surface effective plus grande. Sur cette base on pourrait penser qu’il est pr ´ef ´erable de r ´ealiser des

´el ´ements de structure ayant un grand diam `etre et des parois minces. Il existe toutefois une limite car des structures `a parois minces peuvent subir un effet de flambage `a la suite d’un effort de compression.

Dans la nature, on rencontre de nombreuses applications du principe qui ´etablit que des structures creuses sont plus r ´esistantes que des structures pleines de m ˆeme section droite. Les os ont en g ´en ´eral une structure creuse. Ainsi le rapport entre les rayons in- terne et externe du f ´emur humain vaut envi- ron 0,5 et l’aire de la section droite repr ´esente seulement 75% de celle d’un os plein qui au- rait la m ˆeme r ´esistance `a la flexion.

Chez les oiseaux les os ont des parois tr `es minces : le rapport rayon interne sur externe de l’hum ´erus d’un cygne vaut 0,9. Le danger de flambage dans cet os `a parois minces est r ´eduit par la pr ´esence de filaments osseux de ren- forcement qui se trouvent `a l’int ´erieur de la structure de l’hum ´erus.

L’ ´ecroulement du World Trade center

F = K π² E τ l⁻²

( Flambage : d ´eformation affectant une pi `ece longue soumise dans le sens de la longueur `a un effort de compression trop important.)

LES OSCILLATIONS

Un mouvement qui se r ´ep `ete `a intervalles de temps cons ´ecutifs ´egaux est dit p ´eriodique.

Exemples d’oscillations :

– la balanc¸oire, cordes d’une guitare ....

– mol ´ecules d’air qui transmettent la sensation de son,

– les atomes dans un solide qui donne la sensation de temp ´erature, – les ´electrons dans les antennes de radio et TV.

Il existe 2 sortes de mouvements p ´eriodiques :

– Mouvements sur une trajectoire ferm ´ee, qui peuvent ˆetre rep ´er ´es par la rotation p ´eriodique d’un angle autour d’un point `a l’int ´erieur de la trajectoire (mouvement de la Terre autour du soleil) et les mouvements de va-et-vient sur un m ˆeme axe (chapitres 5 et 8).

– Mouvements vibratoires ou oscillatoires, mouvements p ´eriodiques dont la forme la plus simple est le mouvement sinuso¨ıdal ou mouvement harmo- nique simple (MHS).

Le mouvement sinuso¨ıdal

Dans un mouvement p ´eriodique, un cycle est la plus petite s ´equence qui se r ´ep `ete. Pendant un cycle, le syst `eme ´evolue d’une certaine fac¸on, mais revient

`a la fin du cycle, au m ˆeme ´etat de configuration et de mouvement qu’il avait au d ´ebut du cycle.

La p ´eriode, T : le temps qu’il faut pour que le syst `eme accomplisse un cycle.

La fr ´equence, f : le nombre de cycles par seconde ou l’inverse de la p ´eriode.

Elle s’exprime en seconde⁻¹ ou Hertz(Hz), 1 Hz = 1 cycle/s.

f = 1/T

Par exemple, par vent violent, l’Empire State Building oscille avec une p ´eriode T = 8s. Sa fr ´equence est donc f = 1/T ∼ 0, 12s⁻¹ = 0, 12Hz.

Un objet d ´ecrivant une trajectoire circulaire avec une vitesse constante a une vitesse angulaire ,ω, constante. A chaque tour complet, il tourne d’un angle 2π rad. Comme il fait f tours/seconde, il tourne en 1 seconde d’un angle ´egal `a 2πf : c’est la vitesse angulaire, ω :

ω = 2πf = 2π T

Elongation d’un mouvement sinuso¨ıdal

Soit une particule P qui se d ´eplace sur un cercle de centre O et de rayon A

`a vitesse constante v<sub>max</sub> dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. A tout instant la position de la particule est d ´efinie par l’angle θ. Comme la vi- tesse lin ´eaire est constante, la vitesse angulaire correspondante ω l’est aussi puisque v = rω. La position angulaire `a l’instant t est θ = ω t (voir chapitre 8).

La projection de P perpendiculairement `a l’axe des x est un point Q qui oscille entre +x<sub>max</sub> et −x<sub>max</sub> pendant que P d ´ecrit le cercle `a vitesse constante.

Le d ´eplacement de Q mesur ´e `a partir de O pris comme origine est donn ´e par : x(t) = x_max cosθ = x_max cosωt = x_max cos 2πf t = x_max cos (2πt/T)

La projection d’un mouvement circulaire uniforme sur un diam `etre du cercle repr ´esente un mouvement sinuso¨ıdal ou harmonique simple (MHS).

Relation entre mouvement circulaire uniforme et sinuso¨ıdal

x(t) = x_max cosθ = x_max cosωt = x_max cos 2πf t L’ ´elongation x `a partir de O varie avec le temps : elle peut ˆetre n ´egative ou positive. L’ ´elongation maximale x<sub>max</sub> de Q `a partir de O est la longueur A, rayon du cercle : x_max est l’amplitude des oscillations qui est constante et positive.

Le mouvement commence `a t = 0 avec un d ´eplacement maximum et θ = 0 (cos 0 = 1) ; c’est- `a-dire en x(t = 0) = x_max = A.

Que devient l’expression si la particule commence son mouvement `a un autre point ? L’argument des fonctions sinus et cosinus est la la phase du mou- vement qui dans le cas pr ´esent `a t = 0 est nulle. En g ´en ´eral, `a l’instant t = 0, la phase a une valeur non nulle,φ, appel ´ee phase initiale.

x(t) = x_max cos (ωt + φ)

Formule g ´en ´erale du mouvement harmonique simple :MHS

L’ ´equation g ´en ´erale du mouvement harmonique simple s’ ´ecrit : x(t) = x_m cos (ωt + φ)

– x_m : l’amplitude, ´elongation maximum.

– ωt + φ : la phase du mouvement.

– φ : la phase initiale d ´ependant du d ´eplacement et de la vitesse `a t = 0. La va- leur de φ n’influence pas la forme de x(t).

– ω : la vitesse angulaire aussi appel ´ee fr ´equence angulaire/pulsation

x(t) = x(t + T)

x_m cos (ωt + φ) = x_m cos [ω(t + T) + φ]

ω(t + T) + φ = (ωt + φ) + 2π ω = 2π

T = 2πf (en rad/s)

MHS : la vitesse

Vitesse : on diff ´erencie x(t) par rapport au temps v_x(t) = dx(t)

dt = −x_m ω sin (ωt + φ) – La vitesse varie entre les limites : ±v_m = ±ω x_m.

– La vitesse est d ´ecal ´ee vers la gauche de T /4 par rapport `a x(t) – Amplitude maximum du d ´eplacement correspond `a vitesse nulle.

– Amplitude minimum du d ´eplacement correspond `a vitesse maximum v_m. Avec φ = 0, on a la repr ´esentation suivante

MHS : l’acc ´el ´eration

Acc ´el ´eration : on diff ´erencie v(t) par rapport au temps : a_x(t) = dv_x(t)

dt = −x_m ω²cos (ωt + φ) = −ω² x(t)

L’acc ´el ´eration est proportionnelle `a son ´elongation et de signe oppos ´e.

Ceci est la caract ´eristique d’un mouvement harmonique simple.

– L’acc ´el ´eration varie entre les limites : ±a_m = ±ω² x_m.

– L’acc ´el ´eration est d ´ecal ´ee vers la gauche de T /4 par rapport `a v(t)

– Amplitude maximum du d ´eplacement correspond `a une acc ´el ´eration n ´egative maximale.

– Un d ´eplacement nul correspond `a une acc ´el ´eration nulle.

Avec φ = 0, on a la repr ´esentation suivante

Exemple : MHS

Pour un MHS, on mesure au temps t = 0, x(t = 0) = −8, 5cm, v(t = 0) =

−0, 92m/s, et a(t = 0) = +47, 0m/s². – (a) trouver ω et f ? ?

x(t = 0) = x_m cosφ, v(t = 0) = −ω x_m sinφ, a(t = 0) = −ω²x_m cos φ On a 3 ´equations et 3 inconnues x_m, φ et ω

ω =

v u u u u u t

−a(t = 0)

x(t = 0) = 23, 5 rad/s et f = ω

2π = 3, 74Hz – (b) Valeur de la phase initiale ? ?

v(t = 0)

x(t = 0) = −ωx_m sinφ

x_m cosφ = −ω tanφ tanφ = − v(t = 0)

ω x(t = 0) = −0.461 Soit φ = −25^◦ et φ = 155^◦.

– (c) Valeur de x_m ? ?

Avec φ = 155^◦, on trouve : x_m = ^x(t=0)_cosφ = 0.094m. Avec φ = −25^◦, on trouve : x_m = −9, 4cm. L’amplitude doit toujours ˆetre positive, φ = 155^◦.

Force pour un mouvement harmonique simple

D `es que l’on sait que l’acc ´el ´eration varie en fonction du temps, on peut utiliser la 2eme loi de Newton pour apprendre quelle force doit agir sur une masse pour lui donner cette acc ´el ´eration.

On combine la 2eme loi de Newton avec a(t) = −ω² x(t), soit F = ma = −(mω²) x

On trouve que la force est proportionnelle au d ´eplacement, mais de signe oppos ´e. C’est la loi de Hookes

F = −k x pour un ressort dont la constante est

k = mω²

En cons ´equence une autre d ´efinition du MHS peut s’ ´enoncer ainsi :

Le mouvement harmonique simple (MHS) est le mouvement d’une particule de masse m soumise `a une force proportionnelle `a son d ´eplacement, mais de signe oppos ´e.

Force pour un mouvement harmonique simple (suite)

Prenons un bloc de masse, m, attach ´e `a un ressort. On tire sur le ressort et on am `ene la masse en position x_m, puis on lache. On n ´eglige les frottements.

Le ressort exerce une force de rappel, F_e = − kx (Loi de Hooke). Le signe − indique que cette force de rappel est dans le sens oppos ´e au d ´eplacement du bloc.

D’apr `es la 2eme loi de Newton, F = ma, on a :

F_e = −kx = ma = m d²x dt² m d²x

dt² + k x = 0

Equation diff ´erentielle du 2eme degr ´e dont la solution g ´en ´erale est : x(t) = A cos (ωt + φ)

Il faut d ´eterminer A, ω et φ pour le mouvement du ressort.

Force pour un mouvement harmonique simple (suite)

V ´erifions que cette solution convient : dx

dt = −A ω sin (ωt + φ) d²x

dt² = −A ω² cos (ωt + φ) Reportons dans l’ ´equation g ´en ´erale :

m d²x

dt² + k x = −m A ω² cos (ωt + φ) + k A cos (ωt + φ) = 0 m ω² = k

Cette solution convient. On appelle fr ´equence angulaire naturelle, ω_o =

s k m et la p ´eriode, T = 2π ^rm_k .

Regardons les conditions aux limites : `a t = 0 : x(t = 0) = x_m = Acosφ,

et v(t = 0) = −A ω sinφ = 0. Donc φ = 0[2π] et A = x_m. Finalement pour notre ressort, on trouve que l’ ´equation du mouvement est donn ´ee par :

x(t) = x_m cos

v u u u u t

k m t

Energie dans un mouvement harmonique simple (MHS)

L’ ´energie m ´ecanique totale d’un syst `eme en mouvement harmonique simple est constante. Il se produit un ´echange continuel entre l’ ´energie cin ´etique et l’ ´energie potentielle.

– L’ ´energie potentielle d’un oscillateur lin ´eaire est associ ´ee enti `erement au ressort et d ´epend si le ressort est ´etir ´e ou comprim ´e

E_p = 1

2 k x² = 1

2 k x²_m cos²(ωt + φ)

– L’ ´energie cin ´etique est associ ´ee enti `erement au bloc et d ´epend de sa vitesse

E_c = 1

2mv² = 1

2mω²x²_m sin² (ωt + φ)

= 1

2 k x²_m sin²(ωt + φ) Energie m ´ecanique totale E_m = E_p + E_c

E_m = 1

2 k x²_m cos²(ωt + φ) + sin²(ωt + φ) = 1

2 k x²_m

L’ ´energie m ´ecanique totale est constante pendant le mouvement et pro- portionnelle au carr ´e de l’amplitude

Exemple : Force de rappel ´elastique

Le chariot a une masse de 1,00 kg. On le d ´eplace de 5,00 cm vers la droite avec une force horizontale de 10,0 N. (a) En supposant qu’il n’y a pas de frottement, quelle est la p ´eriode d’oscillation quand on a lach ´e le chariot ? (b) O `u sera-t-il au bout de 0,20 s ? (c) Que sera la constante d’ ´elasticit ´e du syst `eme si l’un des 2 ressorts identiques est supprim ´e ? (d) D ´eterminer la nouvelle fr ´equence.

SOLUTION : (a) Comme la force appliqu ´ee F produit un d ´eplacement x, tel que F = k x, alors

k = F

x = 10,00N

0,05m = 200N/m

C’est la constante d’ ´elasticit ´e du syst `eme, c- `a-d celle du ressort qui produirait la m ˆeme vibration si le chariot ´etait fix ´e `a son extr ´emit ´e. Ainsi

T = 2π

v u u u t

m

k = 2π

v u u u u t

1,0kg

200N/m = 0,444s

Exemple : Force de rappel ´elastique (suite)

(b) Pour trouver le d ´eplacement au temps t = 0, 2s, il faut d’abord d ´eterminer les param `etres de l’ ´equation du mouvement : x = x_m cos (ωt + φ). Au temps t = 0, v(t = 0) = 0 = −ωx_m sinφ. Donc φ = 0. Comme

x_m = 0,050m et ω = 2π/T, on trouve :

x(t = 0, 2s) = (0,05m) cos [(2π/0, 444s) (0,2s)] = −0, 0476m

(c) Si on supprime l’un des 2 ressorts, pour effectuer le m ˆeme d ´eplacement, il suffit de la moiti ´e de la force pr ´ec ´edente. Donc k = 0, 100 kN/m.

(d) La nouvelle fr ´equence sera 1/√

2 ce qu’elle ´etait avant, soit 1,59 Hz.

Pour d ´eplacer horizontalement le chariot, on doit lui fournir de l’ ´energie. Cette ´energie est conserv ´ee et se transforme sans perte, d’ ´energie potentielle en

´energie cin ´etique et vice-versa, pendant que le cha- riot oscille sinuso¨ıdalement avec amplitude constante.

En r ´ealit ´e, l’oscillation est amortie : son amplitude di- minue progressivement jusqu’ `a ce que toute l’ ´energie soit transform ´ee en ´energie thermique par les frotte- ments et les pertes internes dans les ressorts.

Le pendule physique

Un pendule compos ´e est un corps solide, libre d’osciller dans un plan vertical autour d’un axe. Le moment de force par rapport au point O : τ = −(m g) (h sinθ). Le signe − indique que le moment de force tend toujours

`a reduire l’angle θ `a 0. La 2eme loi de Newton concernant le mouvement de rotation, τ = I α, o `u I est le moment d’inertie, donne :

−m g h sinθ = Iα = I d²θ dt² Pour de petits d ´eplacements, sinθ ' θ

d²θ

dt² + mgh

I θ = 0

On retrouve l’ ´equation du MHS. Ici x est rem- plac ´e par θ et k/m par mgh/I.

Le mouvement d’un pendule physique avec petits d ´eplacements angulaires est : θ(t) = θ_m cos (ωt + φ)

avec pour fr ´equence angulaire ω = ^rmgh /I et pour p ´eriode T = 2π ^s_mgh^I .

Le pendule simple

Un pendule simple est constitu ´e d’une corde inextensible de longueur L, de masse n ´egligeable, `a laquelle est fix ´ee une masse ponctuelle, m.

Les forces agissant sont la tension du fil, F_T, et le poids, mg, de la masse que l’on d ´ecompose en une force radiale mg cosθ et une force tangentielle mg sinθ.

Cette derni `ere s’oppose au d ´eplacement et tend `a ramener la masse `a sa position d’ ´equilibre (θ = 0).

F = −mg sinθ ' −mgθ

= −mg l

L = −(mg L )l

On retrouve l’eq. de Hooke avec k = ^mg_L . – ω =

s

(^mg_L )(_m¹) = ^rg/L – T = 2π^s_mg/L^m = 2π^rL/g – f = _T¹ = _2π^{1 r}g/L

La p ´eriode ne d ´epend pas de la masse, mais uniquement de la longueur.

Pendule `a torsion

On tourne le disque d’un angle θ_m par rapport `a sa position de repos, puis on le lache. Il oscille selon un MHS. La torsion d’un fil cr ´ee un moment de force de rappel.

τ = −κ θ

κ : constante de torsion qui d ´epend de la longueur, du diam `etre et du mat ´eriau du fil. La 2eme loi de Newton donne :

τ = I α = I d²θ dt²

I : moment d’inertie, α : acc ´el ´eration angulaire.

L’ ´equation du mouvement : d²θ

dt² + κθ

I = 0 (MHS)

avec ω = ^rκ/I, f = _2π^{1 r}κ/I, T = 2π^rI/κ.

Mouvement oscillatoire amorti

Consid ´erons un syst `eme oscillatoire harmonique simple sous l’action d’une force de rappel F = −kx. A cette force de rappel, s’ajoute une force d’amortis- sement qui provient en g ´en ´eral de la r ´esistance de l’air et du frottement qui se produit `a l’int ´erieur du syst `eme oscillant. On observe que l’amplitude des os- cillations va diminuer jusqu’ `a ce que les oscillations s’arr ˆetent compl `etement.

C’est un mouvement oscillatoire amorti. La force d’amortissement d ´epend sou- vent de la vitesse de l’objet oscillant et peut ˆetre consid ´er ´ee comme propor- tionnelle `a sa vitesse : F_amor = −b^dx_dt.

La 2eme loi de Newton donne : m d²x

dt² = − b dx

dt − kx et l’ ´equation du mouvement est :

m d²x

dt² + b dx

dt + kx = 0 dont la solution est :

x(t) = x_m e^{−2mb t} cos (ω⁰t + φ) = x⁰_m(t) cos (ω⁰t + φ)

Mouvement oscillatoire amorti (suite)

x(t) = x_m e^{−2mb t} cos (ω⁰t + φ) = x⁰_m(t) cos (ω⁰t + φ)

Le mouvement oscillatoire a une amplitude d ´ecroissant exponentiellement, une p ´eriode plus longue que la p ´eriode naturelle de l’oscillateur et donc une fr ´equence angulaire ω⁰ moindre. C’est un r ´esultat logique puisque le frottement tend `a ralentir le mouvement.

Mouvement oscillatoire amorti (suite)

– b = 0, ω⁰ = ω_o = ^rk/m

Il n’y a pas d’amortissement.

– b = 2√

km, amortissement critique

(ω⁰ = 0). Il n’y a pas d’oscillations, le syst `eme revient `a sa position d’ ´equilibre sans la d ´epasser.

– b ≤ 2√

km, amortissement sous-critique C’est le cas d’un pendule ordinaire dont l’am- plitude diminue lentement. Le mouvement est oscillatoire mais non p ´eriodique car son amplitude diminue.

– b ≥ 2√

km, amortissement sur-critique

Le syst `eme n’oscille plus du tout, et met plus de temps pour revenir `a sa position d’ ´equilibre.

ω⁰ =

v u u u u t

k

m − b² 4m²

L’ ´energie m ´ecanique n’est pas constante ici. Elle diminue en fonction du temps. Si l’amortissement est petit, on peut trouver E_m(t) en remplac¸ant x_m par x_me^−bt/2m. L’ ´energie m ´ecanique devient : E_m(t) = 1/2 kx²_me^−bt/m. Elle diminue exponentiellement avec le temps, mais l’ ´energie totale est conserv ´ee.

Exemple : Mouvement oscillatoire amorti

Dans l’oscillateur amorti pr ´ec ´edent, on a : m = 250g, k = 85N/m et b = 70g/s.

(a) Calculer la p ´eriode ? ? (b) Combien de temps faut-il attendre pour que son amplitude d’oscillation diminue de moiti ´e ? ? (c) Combien de temps faut-il pour que l’ ´energie m ´ecanique diminue de moiti ´e ? ?

– (a) Comme b √

km = 4, 6 kg/s, la p ´eriode peut ˆetre approxim ´ee par celle d’un oscillateur non amorti :

T ∼= 2π

v u u u t

m

k = 2π

v u u u u t

0, 25kg

85N/m = 0.34s

– (b) A t = 0, son amplitude vaut x_m. Il faut trouver la valeur de t telle que x_me^−bt/2m = ¹₂ x_m. En simplifiant, prenant le log : ln 1/2 = −bt/2m

t = −2m ln 1/2

b = −(2)(0, 25 kg)(ln 1/2)

0,070 kg/s = 5.0 s

– (c) Au temps t = 0, E_m vaut 1/2kx²_m. On doit trouver le temps t tel que : 1/2kx²_me^−bt/m = 1/2(1/2kx²_m)

t = −m ln 1/2

b = −(0, 25 kg)(ln 1/2)

0, 07 kg/s = 2.5 s

Oscillations forc ´ees, r ´esonances

Pour maintenir les oscillations malgr ´e l’amortissement, il faut apporter conti- nuellement de l’ ´energie au syst `eme. Une force effectue un travail moteur sur le syst `eme, pour compenser la perte d’ ´energie produite par les frottements. Si on pousse un enfant sur une balanc¸oire, il peut continuer `a osciller malgr ´e les frottements ; pour ˆetre efficace, il faut pousser la balanc¸oire quand elle atteint le maximum de hauteur et commence `a descendre, la force que vous exercez est alors parall `ele au d ´eplacement et le travail est moteur.

Soit un ressort ou une masse suspendue `a un long

´elastique : donnez au syst `eme une courte impulsion et observez sa fr ´equence propre,f<sub>o</sub>. Arr ˆetez les vibra- tions et faites monter et descendre votre main avec une amplitude de ∼ 2cm et une basse fr ´equence f<sub>e</sub> ∼ 0, 3Hz( f<sub>o</sub>). Le syst `eme suit votre mouvement, il se d ´eplace en phase avec votre mouvement mais avec une amplitude plus faible.

On a un comportement semblable quand f_e est beaucoup plus grande que f_o. Mais quand f_e approche f_o, l’amplitude des oscillations r ´esultantes est tr `es grande : il y a r ´esonance.

Oscillations forc ´ees, r ´esonances

L’application d’une force externe p ´eriodique, F_ext = F_e cosω_et, `a un syst `eme qui peut osciller, produit des oscillations forc ´ees. Le mouvement r ´esultant est une oscillation forc ´ee ou entretenue dont l’ ´equation est :

m d²x

dt² + b dx

dt + kx = F_e cosω_et et la solution x(t) = X_m cos (ω_et + φ⁰)

On a une oscillation `a la fr ´equence angulaire de la force ext ´erieure.

Ici φ⁰ n’est pas une constante, mais une fonc- tion de ω_e et ω_o la fr ´equence naturelle. L’am- plitude X_m est aussi une fonction compliqu ´ee de ω_e et ω_o. Elle est maximale pour ω_e = ω_o : C’est le ph ´enom `ene de r ´esonance. Si l’amor- tissement est faible, l’amplitude peut deve- nir consid ´erable et entrainer la rupture du syst `eme m ´ecanique.

Toute structure m ´ecanique a une ou plusieurs fr ´equences propres, et si la structure est soumise `a une force ext ´erieure dont la fr ´equence correspond

`a l’une de ces fr ´equences propres, il peut y avoir des oscillations tellement violentes que la structure se casse.