Universit´e Paris-Dauphine

Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2006-2007 UFR GEA 1^er cycle

Test du 24 novembre 2006

Dur´ee 1h30, les documents et calculatrices sont interdits.

La qualit´e de r´edaction et de la pr´esentation entrera pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

Les 3 exercices sont ind´ependants.

Exercice 1.

1) V´erifier que la fonction (x7→lnx) est concave sur son ensemble de d´efinition, et en d´eduire que

∀x >0, lnx6x−1.

La fonction ln est d´efinie sur ]0,+∞[ et C² sur cet ensemble avec

∀x >0, ln⁰(x) = 1

x et ln⁽²⁾(x) =− 1 x².

On a ln⁽²⁾(x)< 0 pour chaquex > 0, donc la fonction ln est concave sur ]0,+∞[. De plus la fonction ln est au dessous de sa tangente en (1,0), i.e.

∀x >0, ln(x)6lnb₁(x) = ln(1) + ln⁰(1)(x−1) =x−1.

Dans toute la suite, on ´etudie la fonction f(x) = lnx x−lnx. 2) D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f.

L’ensemble de d´efinition D_f def est ]0,+∞[. En effet, on a vu que

∀x >0, ln(x)6x−1< x

donc x−ln(x)6= 0 pour chaque x >0.

3) Montrer que f estC² sur son ensemble de d´efinition, et calculer sa d´eriv´ee.

La fonction f est le quotient de deux fonctions (ln et Id−ln) de classe C² sur D_f dont le d´enominateur de s’annule pas sur D_f. Ainsif est de classe C² surD_f. Calculons la d´eriv´ee pour chaque x >0

f⁰(x) =

1

x(x−lnx)−(lnx)(1− ¹_x)

(x−lnx)² = 1−lnx (x−lnx)².

4) Ecrire la formule de Taylor-Young pour f `a l’ordre 2 au point x<sub>0</sub> = 1. En d´eduire l’´equation de la tangente en ce point et la position de la courbe par rapport `a sa tangente au voisinage de ce point.

La fonction f est C² sur Df, elle admet donc un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 au voisinage de 1, i.e. il existe une fonctionε d´efinie sur un voisinage de 0, continue en 0avec ε(0) = 0 telle que pour h >0 assez petit

f(1 +h) =f(1) +f⁰(1)h+ f⁽²⁾(1)

2 h² +h²ε(h).¹

1Certains pourront pr´ef´erer la notationf⁰⁰au lieu def⁽²⁾.

1

On peut calculer f(1) = 0, f⁰(1) = 1. Pour obtenir f⁽²⁾(1), on calcule

f⁽²⁾(x) =− 1

x(x−lnx)² −2(1−lnx)(1−1/x) (x−lnx)³ et on v´erifie que f⁽²⁾(1) =−1. Ainsi

f(1 +h) = h−1

2h²+h²ε(h) ou bien pour x >0assez proche de 1,

f(x) =x−1−1

2(x−1)²+ (x−1)²ε(x−1).

Si on note T₁(f) la tangente `a la courbe repr´esentative de f en(1, f(1)), on obtient

T₁(f) ={(x, y)∈R² : y=x−1}.

En particulier l’approximation affine fˆ₁ de f en 1 est d´efinie sur R par fˆ₁(x) = x−1.² Pour chaque x >0 assez proche de 1, on a

f(x)−fˆ₁(x) = (x−1)²

−1

2 +ε(x−1)

.

Pour x suffisament proche de 1, le signe def(x)−fˆ1(x)est celui de−¹₂. Ainsi, au voisinage de (1, f(1)), la courbe repr´esentative de f est en dessous de la tangente en (1, f(1)).

5) Quelle est l’approximation affine de f au voisinage de 1 ? En d´eduire une valeur approch´ee de f(1,01).

On a vu que l’approximation affine est la fonction fˆ₁ : R → R d´efinie par fˆ₁(x) = x−1. En particulier

f(1,01) ≈fˆ1(1,01) = 0,01.

6) Montrer que f peut se prolonger par continuit´e en 0 en posantf(0) = −1. On note encore f son prolongement.

Pour chaque x >0on note v(x) :=f(x)−(−1)et on a

v(x) = lnx

x−lnx + x−lnx

x−lnx = x x−lnx. Comme limx→0⁺(x−lnx) = +∞on obtient

x→0lim⁺v(x) = 0.

On peut donc prolonger f par continuit´e en 0en posant f(0) =−1.

7) Montrer que la fonction ainsi prolong´ee est d´erivable `a droite en 0. La d´eriv´ee est-elle continue

`

a droite en 0 ?

Pour chaque x >0on pose

θ(x) := f(x)−f(0)

x = 1

x−lnx.

2Remarquons que la tangenteT1(f) est le graphe de l’approximation affine ˆf1.

2

On a lim_x→0⁺θ(x) = 0 donc la fonction f est d´erivable `a droite en0 et f_d⁰(0) = 0.

Pour v´erifier sif⁰ est continue `a droite en 0, on cherche `a calculer limx→0⁺f⁰(x):

f⁰(x) =

1 lnx −1 (_lnx^x −1)(x−lnx)

On obtient donc limx→0⁺f⁰(x) = 0 ce qui coincide avec f_d⁰(0) donc la fonction f⁰ est continue

`

a droite en 0.

8) Etudier les variations de f et tracer sommairement sa courbe repr´esentative en indiquant les tangentes en x= 0 et x= 1.

Rappelons que pour x >0, f⁰(x) = (1−lnx)/(x−lnx)² donc le signe def⁰(x)coincide avec le signe de la fonction x 7→1−lnx. Donc la fonction f est strictement croissante sur ]0, e[ et strictement d´ecroissante sur ]e,+∞[. Rappelons que pour x >0,

f(x) = 1

x lnx−1.

Ainsi par le th´eor`eme des croissances compar´ees, limx→+∞f(x) = 0. Nous avons d´ej`a calcul´e lim_x→0⁺f(x) = −1. Ainsi f r´ealise une bijection de ]0, e[ sur ]−1, f(e)[ et une bijection de ]e,+∞[ sur]0, f(e)[.

9) En fonction des valeurs de y, discuter le nombre de solutions de l’´equation f(x) = y.

Soit yun r´eel quelconque, on pose S(y) ={x∈ Df: f(x) = y}. On cherche le cardinal deS(y) en fonction de y :

(a) Si y > f(e) ouy <−1 alorsS(y) est vide.

(b) Si y=f(e) alorsS(y) = {e}.

(c) Si y∈]0, f(e)[: comme f r´ealise une bijection de]e,+∞[ sur]0, f(e)[, il existe un unique x₁(y)∈]e,+∞[∩S(y); comme f r´ealise une bijection de ]0, e[ sur ]−1, f(e)[, il existe un unique x₂(y)∈]0, e[∩S(y). Ainsi S(y) poss`ede deux ´el´ements.

(d) Si y∈]−1,0[: comme f r´ealise une bijection de ]0, e[ sur]−1, f(e)[, il existe un unique x(y)∈]0, e[∩S(y) et S(y)est r´eduit `a un singleton.

(e) Si y=−1ou y= 0 alors S(y)est r´eduit `a un singleton (S(−1) ={0} et S(0) ={e}).

Exercice 2.D´eterminer toutes les fonctionsf : ]0; +∞[−→]0; +∞[, de classeC¹dont l’´elasticit´e enx vaut x pour toutx >0.

On note S l’ensemble de fonctions f : ]0; +∞[−→]0; +∞[, de classe C¹ dont l’´elasticit´e´e en x vaut xpour tout x >0. On ne sait pas encore si cet ensemble est vide.

Analyse : Supposons que S est non-vide et prenons f ∈ S. Alors pour chaque x >0, x=ef(x) =xf⁰(x)

f(x)

et donc (ln ◦f)⁰ = 1 o`u 1 est la fonction constante x 7→ 1 d´efinie sur ]0,+∞[. Il existe donc un r´eel a∈Rtel que

∀x >0, ln[f(x)] =x+a ce qui implique³ quef =e^aexp_|]0,+∞[. On a donc montr´e que

S ⊂ {f :]0,+∞[−→R : ∃λ >0, f =λexp_|]0,+∞[}.

3En toute rigueur, la fonction exp est la fonction d´efinie surR. Ici on se restreint `a l’ensemble ]0,+∞[.

3

Synth`ese : Montrons qu’en fait ces deux ensembles coincident. Soit λ > 0 et posons f = λexp_|]0,+∞[. On calculef⁰ =λf et ainsi

e_f(x) =xf⁰(x) f(x) =x.

On vient de montrer que f ∈ S. Conclusion :

S ={λexp_|]0,+∞[ : λ >0}.

Exercice 3. On pose : A=

(x, y)∈R² : x6y et y²−2y 6 3−x²

et

B =

(x, y)∈R² : |x−1|<3 et |y|>2 .

1) Repr´esenter graphiquement A etB. On v´erifie que

y²−2y−3 +x² = (y−1)²+ (x−0)²−2².

Ainsi A= Π∩B_f((0,1),2)o`u Π est l’intersection du demi-plan ferm´e d´efini par Π :={(x, y)∈R² : x6y}

et de la boule ferm´ee de centre(0,1)et de rayon 2.

Rappelons que pour tout r´eel x∈R,

|x|=

x si x>0

−x si x60.

Ainsi

B =

(x, y)∈R² : −3< x−1<3 et [y>2 ou y 6−2]

ou bien

B =]−2,4[×[2,+∞[ [

]−2,4[×]− ∞,−2].

2) Ces domaines sont-ils born´es ? Justifier.

L’ensembleAest inclus dans la boule ferm´ee de centre(0,1)et de rayon2, c’est donc un born´e.

L’ensembleB n’est pas born´e. En effet pour chaque entiern ∈N, le pointM_n= (0, n)appartient

`

a B mais ||M_n|| =n. Quel que soit le rayonr > 0 fix´e, on peut trouver un point de B (choisir M_n avec n > r) qui n’est pas dans la boule ferm´ee centr´ee en (0,0)et de rayon r.

3) Sont-ils ouverts ? ferm´es ? (Dans cette question, et uniquement dans cette question, on de- mande de r´epondre sans donner de justification).

L’ensemble A est ferm´e. L’ensembleB est ni ouvert ni ferm´e.

4