Suites r´ eelles

Suites r´ eelles

1 D´ efinition

D´efinition. On appellesuite r´eelle toute application u : N Ñ R

n ÞÑ upnq un

. On la notepu_nqnPN.

Remarque.

Exemple.

2 Limites

2.1 Limite finie d’une suite

D´efinition. Soit punqnPN une suite r´eelle et `P R. On dit que punqnPN a pour limite ` lorsque n tend vers l’infini si et seulement si

@ε¡0,DN P N t.q.@nP N, n¥N ùñ |u_n`| ¤ε

On dit qu’une suite est convergente lorsqu’elle admet une limite finie. On dit qu’elle estdivergente sinon.

Notation. On noteu_nÝÝÝÝÑ

nÑ 8 `.

Remarque.

Exemple. On poseu_n p1qⁿ

n , d´efinie pour tout nP N. Montrer queu_nÝÝÝÝÑ

nÑ 8 0.

Th´eor`eme.

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

D´efinition. Soit punqnPN une suite r´eelle.

On dit qu’elle est major´ee(resp. minor´ee) si et ssiDM P Rt.q.@nP N u_n¤M (resp.M ¤u_n).

On dit qu’elle est born´ee si et ssi elle est major´ee et minor´ee.

Remarque.

Th´eor`eme.

Toute suite convergente est born´ee.

2.2 Suites admettant une limite infinie

D´efinition. Soit punqnPN une suite r´eelle. On dit qu’elle admet pour limite 8 lorsque nÑ 8si et ssi

@A¡0, DN P Nt.q. @n¥N, un¥A

Notation. On noteunÝÝÝÝÑ

nÑ 8 8.

Remarque. On a une d´efinition analogue pour8 avecu_n¤ A.

Exemple. Montrer quen² 1ÝÝÝÝÑ

nÑ 8 8. Exercice. Montrer que n²

3 n ÝÝÝÝÑ

nÑ 8 8. Th´eor`eme.

Toute suite r´eelle admet au plus une limite, finie ou infinie.

3 Op´ erations sur les suites

3.1 Addition

D´efinition. Soit u punqnPN etv pvnqnPN deux suites r´eelles. On d´efinit la suitesommepar

u vpu_n v_nqnPN

Propri´et´e.Cette op´eration estassociative, commutative, admet un ´el´ement neutre (p0qnPRqet toute suite admet un oppos´e.

Ainsi, pR^N, q est un groupe commutatif.

Th´eor`eme.

Soit deux suites r´eellesu etv admettant des limites (finies ou non).

• Siu_nÑ`P R etv<sub>n</sub>Ñ`¹ P R, alorsu_n v_nÑ` `¹

• SiunÑ 8 etvnÑ`¹ P R, alorsun vnÑ 8

• Siu_nÑ 8 etv_nÑ`¹ P R, alorsu_n v_nÑ 8

• Siu_nÑ 8 etv_nÑ 8, alorsu_n v_nÑ 8

• SiunÑ 8 etvnÑ 8, alorsun vnÑ 8

Remarque.

Remarque. Si un Ñ 8 et vn Ñ 8, alors on ne peut pas conclure. ´Etudier pour cela les trois exemples suivants :

(a) u_nnetv_n n ?

2;

(b) unn² etvn n; (c) u_n?

n 1 etv_n ?

n.

3.2 Produit

D´efinition. Soit u punqnPN etv pvnqnPN deux suites r´eelles. On d´efinit la suiteproduit par

uvpunvnqnPN

Propri´et´e. Cette op´eration estassociative, commutative, admet un ´el´ement neutre (p1qnPN) et distributive sur l’addition.

On dit que pR^N, ,qest un anneau commutatif.

Attention.

Th´eor`eme.

Soit u etv deux suites de limites finies respectives `et`¹. Alorsu_nv_nÝÝÝÝÑ

nÑ 8 ``¹. Th´eor`eme.

Soit u etv deux suites telles que

unÝÝÝÝÑ

nÑ 8 8 et Dm¡0 t.q.@nP N, vn¥m

AlorsunvnÝÝÝÝÑ

nÑ 8 8

Remarque.

Corollaire. Siu_nÝÑ 8etv_nÝÑ`¡0, alorsu_nv_nÝÑ 8 Exemple. unn etvn p1qⁿ 2. ´Etudier la suite uv.

Exemple. Lorsque u_n ÝÑ 8 et v_n ÝÑ 0, alors on ne peut pas conclure. ´Etudier pour cela les exemples suivants :

(a) unnetvn _n³ (b) u_nn² etv_{n n}¹ Remarque.

3.3 Inversion des limites Remarque.

Th´eor`eme.

Soit punqnPN une suite r´eelle de limite finie ` avec ` P R. Alors la suite

1

u_n

nPN

est d´efinie au

moins `a partir d’un certain rang etconverge vers 1

`. Th´eor`eme.

Soit pu_nqnPN une suite r´eelle de limite 8. Alors la suite

1

u_n

nPN

est d´efinie `a partir d’un certain

rang etconverge vers 0.

Th´eor`eme.

Soit punqnPN une suite r´eelle de limite 0, strictement positive `a partir d’un certain rang. Alors la

suite

1

u_n

nPN

est d´efinie `a partir d’un certain rang etdiverge vers 8.

3.4 Multiplication externe

D´efinition. Soit u pu_nqnPN etαP R une suite r´eelle etα un r´eel. On d´efinit la suiteproduit externepar

αupαunqnPN

Propri´et´e. Multiplication externe pour les suites admettant une limite.

Propri´et´e. Cette op´eration satisfait :

• pα βq uαu βu

• α pu vq αu αv

• α pβuq pαβq u

• 1uu

On dit que pR^N, ,qest un espace vectoriel.

Propri´et´e. NotantS0 l’ensemble des suites convergeant vers 0, on a :

• S0 € R^N

• S0 ∅

• Siu, vPS0 alorsαu βvPS0

S0 est un sous-espace vectoriel de R^N.

3.5 Relation d’ordre

D´efinition. pu_nqnPN ¤ pv_nqnPN ðñ @nP N, u_n¤v_n Propri´et´e. C’est une relation d’ordre partiel.

3.6 Suites extraites

D´efinition. Soit pu_nqnPN une suite. On appelle suite extraite toute suite constitu´ee de certains termes de

punqnPNr´eindex´es surN, c’est-`a-direune suite de la formepuϕpnqqnPNo`uϕ : N Ñ Nest strictement croissante.

Remarque.

Exemple. pu2nqnPN,pu2n 1qnPN,pu_n²qnPN sont des suites extraites de punqnPN. Th´eor`eme.

Toute suite extraite d’une suite admettant une limite admet la mˆeme limite :

avec `P R, siu_nÝÝÝÝÑ

nÑ 8 ` alorsu_ϕpnqÝÝÝÝÑ

nÑ 8 `

Cons´equence. Pour montrer qu’une suite n’a pas de limite, il suffit d’en trouver deux suites extraites qui ont

des limites diff´erentes.

Exemple. uncos ^nπ₂

Propri´et´e. Sipu_2nqnPN etpu_{2n 1}qnPN ont la mˆeme limite `P R, alorspu<sub>n</sub>qnPN a pour limite `.

4 Convergence et in´ egalit´ es

4.1 Passage `a la limite dans les in´egalit´es larges

Propri´et´e. Soit une suite r´eellepu_nqnPN qui converge vers `telle que @nP N, u<sub>n</sub>¥a. Alors `¥a.

Remarque.

Propri´et´e. SoitpunqnPN une suite qui converge vers`etpvnqnPN vers `¹. Si@nP N, un¤vn, alors `¤`¹. Remarque.

• La conclusion est vraie mˆeme avec l’hypoth`ese moins forteDN0 P Nt.q. @n¥N0, un¤vn;

• Les in´egalit´es strictes se prolongent en in´egalit´es larges. Ainsi pouru_{n n}¹₁,v_{n n}²₁.

• Le r´esultat pr´ec´edent en est un cas particulier avec une suite constante.

• Ce sont de «petits »r´esultats, car ils ne donnent pas d’information sur la convergence des suites.

4.2 Convergence par encadrement

Th´eor`eme.

Soit pu_nqnPN,pv_nqnPN,pw_nqnPN trois suites r´eelles telles que

@nP N, un¤vn¤wn

SipunqnPN et pwnqnPN convergent vers le mˆeme r´eel `, alors pvnqnPN converge, et elle converge vers le

mˆeme r´eel`.

Remarque. Il y a biendeux r´esultats : On a la convergence et la valeur de la limite.

Corollaire. Pour montrer queu_nÑ`, on peut majorer |u<sub>n</sub>`|par une suite qui converge vers 0.

Exemple. Soitvn

2n¸1 k1

? 1

n² k. ´Ecrirev0,v1,v2. Cette suite converge-t-elle ?

4.3 Comparaison des suites divergeant vers l’infini

Propri´et´e.SoitpunqnPNune suite r´eelle qui diverge vers 8etpvnqnPNtelle que@nP N, un¤vn. AlorspvnqnPN

diverge vers 8. Remarque.

5 Th´ eor` emes d’existence de limites

5.1 D´efinitions

D´efinitions. Soit punqnPN une suite r´eelle. On dit qu’elle est croissante (resp. d´ecroissante) si et ssi @nP N, u_n¤u_{n 1} (resp. ¥)

On dit que pu_nqnPN est stationnaire si et ssi elle est constante `a partir d’un certain rang, c’est-`a-dire DN P

N t.q.@n¥N, unuN. Rappel.

Attention !. Le majorant ne doit pas d´ependre den: il doit ˆetre le mˆeme pour tous les ´el´ements de la suite.

5.2 Suites croissantes major´ees

Th´eor`eme de la limite monotone.

Toute suite r´eelle croissante major´ee est convergente, et toute suite r´eelle d´ecroissante minor´ee est

convergente.

Remarque. Ce th´eor`eme ne donne pas d’information sur la valeur de la limite.

Exemple. Posonsun

¸n k1

1

k² pour n0 et u0 0.

Exemple. Soitun

¸n k0

1 k!. Th´eor`eme.

Une suite croissante non major´ee diverge vers 8. Une suite d´ecroissante non minor´ee diverge vers

8.

5.3 Suites adjacentes

D´efinition. Les suitespunqnPN et pvnqnPN sont dites adjacentessi et ssi :

$'

&

'%

punqnPN est croissante pv_nqnPN est d´ecroissante pvnunqnPN converge vers 0

Exemple. On consid`ere les suites d´efinies par :

@nP N, un p2n 1q²

2n² et vn 2n²2 n² Montrer qu’elles sont adjacentes.

Th´eor`eme fondamental.

Deux suites r´eelles adjacentes sont convergentes et ont la mˆeme limite `.

De plus,pour toutn,un¤`¤vn.

Exemple.

Th´eor`eme (des segments emboˆıt´es).

SoitIn ran, bnsune suite de segments emboˆıt´es (i.e.In 1 €In) dont l’amplitudepbnanqconverge

vers 0. Alors l’intersection £

nPN

Inest un singleton.

5.4 Suite extraite d’une suite born´ee Th´eor`eme (de Bolzano-Weierstrass).

De toute suite r´eelle born´ee, on peut extraire une suite convergente.

6 Extension aux suites complexes

D´efinition. Soit punqnPN une suite de nombres complexes. On dit qu’elle est convergente s’il existe `P C tel

que la suite r´eelle p|un`|qnPN converge vers 0, c’est-`a-dire

@ε¡0, DN P Nt.q. @nP N, n¥N ùñ |un`|  ε

Propri´et´e.Si la suite complexepunqnPN converge vers`P C, alors la suite r´eellep|un|qnPNconverge vers|`| P R. Remarque. La r´eciproque est fausse, sauf si`0.

Th´eor`eme.

Soit pu_nqnPN une suite complexe. Pour tout n P N, on pose u_n x_n iy_n. On d´efinit ainsi deux

suites r´eelles px_nqnPN etpy_nqnPN. Alorsu_nÑ`r is ðñ

"

xnÑr

y_nÑs

Corollaire.Op´erations sur les suites de complexes convergentes (somme, produit, inverse). Th´eor`eme de Bolzano- Weierstrass.

Remarque. Parce qu’il n’y a pas de relation d’ordre satisfaisante sur C, on ne peut pas parler de monotonie, d’encadrement, de divergence vers l’infini. . .

Suitesconvergentes,suitesdivergentes 12.1Enrevenant`alad´efinition,´etudierlaconvergencedessuites suivantes: 1 n2 nPNn3 nPN p1qn n

nPN

cospnπ 2q nPN suites_82.tex 12.2

´ EtudierlaconvergencedelasuitepuqtellequennPN n p1qn1 @nPN,u?n nn suites_3.tex 12.3Soitpuqlasuited´efinieparunnPNn c b a?? 2 123n.D´emontrerqueu¤1u2@nPnn1 N.End´eduirequepuqestmajor´eepar2etconvergente.nnPN suites_5.tex ?? nn 12.4D´emontrerque@nPN,p23qp23qPN.Soit ?X p?\ nn´ Ealorspuqd´efinieparup23q23q.tudierlannPNn convergencedecettesuite. suites_6.tex 12.5

´ Etudierlaconvergence´eventuelledessuitesd´efiniespar: 2 n1 (a)@nPNunnpn1qpn2q2 a 242(b)@nPNunn2nnn sinn (c)@nPNun n 1111 (d)@nPNrt0,1uun 122334pn1qn π 2nsinpnq 2 (e)@nPNunππ ncospnq42 suites_27.tex

R´esultatsplusth´eoriques 12.6 (a)SoitAunsous-ensemblenonvidemajor´edeR.Montrerqu’il existeunesuited’´el´ementsdeAquiconvergeverssuppAq. (b)Montrerquetoutnombrer´eelestlimited’unesuitederationnel. suites_2.tex 12.7D´emontrerqu’unesuite`avaleursenti`eresconvergesietseule- mentsielleeststationnaire. suites_7.tex 12.8Soitdeuxsuitesr´eellespunqnPNetpvnqnPNtellesqueunÝÝÝÝÑ nÑ8 8etunÝÝÝÝÑ nÑ8`PR .MontrerqueunvnÝÝÝÝÑ nÑ88suites_8.tex 12.9SoitpunqnPNsuiter´eelleeta,`deuxr´eelstelsque: @nPN,un¥aetunÑ` Montrerque`¥a. Peut-onremplacerl’in´egalit´elargeparunein´egalit´estricte?suites_9.tex 12.10MoyennedeC´esaro. (a)SoitpunqnPNunesuiteconvergentedelimite0etsoitpvnqnPN d´efiniepar: vn1 n1

n¸ p0up D´emontrerquelasuitepvnqnPNconvergevers0. (b)SoitpunqnPNunesuiteconvergentedelimite`etsoitpvnqnPN d´efiniepar: vn1 n1

n¸ p0up D´emontrerquelasuitepvnqnPNconvergeetd´eterminersalimite.

(c)R´eciproquement:SoitpunqnPNunesuitetellequelasuitepvnqnPN d´efineci-dessusconvergevers`.LasuitepunqnPNconverge-t-elle? Indication.Chercheruncontre-exemplesouslaformed’unesuitenon monotonequiv´erifieceshypoth`esessansˆetreconvergente. (d)Questionsubsidiaire.D´emontrerquesionajoutel’hypoth`eseque punqnPNestmonotone,lar´eciproqueestvraie.Quelleestlalimite? suites_31.tex 12.11SoitpunqnPNunesuitetellequeun1unÝÝÝÝÑ nÑ8`.Utiliser leth´eor`emedeC´esaropourmontrerqueun nÝÝÝÝÑ nÑ8`. suites_32.tex Convergenceparencadrement 12.12D´emontrerquelasuitepunqnPNtellequeun1 n!

n¸ p1p! convergevers1. suites_10.tex 12.13 (a)D´emontrerque1 2? n1¤? n1? n¤1 2? n@nPN ; (b)Soitun? n1? n,@nPNetvn1 ? n

n¸ k1

1 ? k,@nPN .

´ Etudierlaconvergencedessuitespuqetpvq.nnPNnnPN suites_11.tex 1p1 12.14D´emontrerque@pPN,¤ln p1p ¤1 p.End´e- duirequelasuitepunqnPNtellequeun

n¸ k1

1 nkestconvergente. Versquoi?suites_12.tex 12.15D´emontrerque@n¥2 11 nn ¤e¤1 11 nn.En d´eduirequelasuitepunqnPNtellequeun n1 n n convergevers e. suites_13.tex

12.16SoitpunqnPNlasuited´efinieparune? n21 en. (a)D´emontrerque@xPr0,1s1¤ex ¤1ex; (b)End´eduireunencadrementdepunqnPNpuissaconvergence. suites_14.tex 12.17SoitpunqnPNetpvnqnPNdeuxsuitesd’´el´ementsder0,1s,telles quelasuiteproduituvconvergevers1.

´ Etudierlaconvergencede puqetpvqnnPNnnPN suites_15.tex 1 12.18Soitaunr´eelfix´e;onposeun2n

n¸ k1Epkaq,@nPN .

´ Etudierlaconvergencedelasuitepuq.nnPN suites_16.tex 12.19Onpose,pourtoutnPN: aπ332unnsinn 2n3

´ Etudierlaconvergencedelasuitepuq.suites_35.texnnPN Suitesadjacentes 12.20Onconsid`erelessuitesr´eellespuqetpvqtellesnnnPNnPN queun

n¸ i01 i!etvnun1 nn!. (a)Montrerquecessuitessontadjacentes; (b)Donnerunevaleurapproch´ee`a103 pr`esdeleurlimite; (c)Montrerqueleurlimiteestunirrationnel; (d)PourtoutnPN,onposeIn»1 0

xn n!e1x dx.Montrerquepour toutkPN,ona1 k!Ik1Ik; (e)End´eduirequeeestirrationnel. suites_17.tex 12.21SoitpunqnPNetpvnqnPNdeuxsuitestellesqueu01,v012, un1un2vn 3etvn1un3vn 4.Onposewnvnun.D´emon- trerquepwnqnPNestunesuiteg´eom´etrique.End´eduirequepunqnPN

etpvnqnPNsontadjacentes.Soittn3un8vn.D´emontrerquela suiteptnqnPNeststationnaire.End´eduirelaconvergencedepunqnPNet pvnqnPN suites_18.tex Suitesextraites 12.22Quedired’unesuitepunqnPNsil’onsaitque: (a)lessous-suitespu2nqnPNetpu2n1qnPNconvergent? (b)lessous-suitespu2nqnPN,pu2n1qnPNetpu3nqnPNconvergent? suites_20.tex 12.23Onposeun

n¸ i11 i,@nPN .D´emontrerqueu2nun¥ 1 2@nPN .End´eduirequelasuitepunqnPNneconvergepas,puis qu’elledivergevers8. suites_21.tex 12.24 (a)SoitpunqnPNunesuiter´eellequidivergevers8.D´emontrerque toutesuiteextraitedepunqnPNdivergevers8. (b)SoitpunqnPNadmettantunesuiteextraitequidivergevers 8.Peut-ondirequepunqnPNdivergevers8?Donnerdes exemples.Etsil’onsupposeenplusquelasuitepunqnPNest croissante? (c)Utiliserler´esultatdelaquestionpr´ec´edentepourl’´etudedela suited´efinieparun

n¸ i11 i,@nPN :D´emontrerparr´ecur- renceque@nPN,u2n¥n 21;end´eduirequepunqnPN divergevers8. suites_22.tex 12.25PourtoutnPN,onappelleunlenombredez´erosfigurant dansl’´ecritureden.Ond´efinitainsiunesuitepunqnPN.D´emontrerqu’il existeunesuiteextraitedepunqnPNquiconverge,etqu’ilenexisteune quineconvergepas.Quepeut-onend´eduirepourlaconvergencede punqnPN? suites_23.tex

Suitesd´efiniesparunerelationder´ecurrence 12.26

´ Etudierlasuited´efiniepar: ? u¡0,@nPN,uu10n1n suites_36.tex 12.27

´ Etudierlasuitepuqd´efinieparuPRetnnPN0 22 @nPN,pn1qunu2n1n1n suites_24.tex 12.28

´ Etudierlasuitepuqd´efinieparu1etnnPN0 c 1 2@nPN,uun1nn2 suites_25.tex 12.29Onconsid`erelessuitespuqetpvqd´efiniesparnnPNnnPN 2 pu,vqPpRqet00 uvnn @nPN,vn1 2 1 un11 2 1 un

1 vn

(a)Montrerquecessuitessontbiend´efinies. (b)Montrerqu’ellessontadjacentes. (c)SoitwnunvnpourtoutnPN.Calculerwnetend´eduirela limitedeuetv. (d)Donneruneapplicationdanslecaso`uu01etv02 suites_26.tex

Suitescomplexes 12.30

´ Etudierlasuitecomplexed´efinieparuPCet0 2u3unn @nPN,un1 5 suites_33.tex 12.31SoitaPRetlessuitespxqetpyqd´efiniesparnnPNnnPN 2´ Epx,yqPR,@nPN,xxay,yaxy.tudierces00n1nnn1nn deuxsuites. Indication.Onposerazxiyetchercherunerelationder´ecurrencennn v´erifi´eeparlasuitecomplexepzqnnPN suites_34.tex 12.32

´ Etudierlaconvergencedessuitesdetermeg´en´eral: ³1in (a)ue(b)venn2n

ni n(c)wnn 1in suites_37.tex Exercicescompl´ementaires 12.33SoitpunqnPNlasuited´efinieparuncospn!πxq,o`uxestun r´eelfix´e. (a)D´emontrerquesixPQ,alorspunqnPNconverge; (b)LaconditionxPQest-ellen´ecessairepourquepunqnPNconverge? (Onpourraenvisagerlecasx2eetutiliserlefaitqueeestla limitedelasuiteconvergented´efinieparvn°n k01 k!.) suites_30.tex 12.34

´ Etudier,endistinguantlescasu¥1,0¤u 1etu 0,000 lasuitepuqd´efinieparlaformuleder´ecurrencesuivante:nnPN »1 @nPNuu|xu|dxn1nn 0

suites_29.tex 12.35SoitpunqnPNetpvnqnPNdeuxsuitesr´eellesconvergentes. Ond´efinitlessuitespXnqnPNetpYnqnPNpar@nPN,Xn maxpun,vnq,Ynminpun,vnq.ProuverquelessuitespXnqnPNet pYnqnPNsontconvergentes. suites_28.tex 12.36Onposeun

n¸ i11 i,@nPN . (a)Montrerquepourtoutentiernaturelk¡0,ona: 1 k1¤»k1 k

1 tdt¤1 k (b)Interpr´etergraphiquementcettein´egalit´e. (c)End´eduireunencadrementdeun.´ Etudieralorslaconvergence delasuitepunqnPN. (d)Donnerun´equivalentsimpledepunqnPN suites_38.tex 12.37Soitρpnqlepluspetitfacteurpremierdel’entiern.Pour toutn¥2,onposeunρpnq n. (a)Montrerquepunqn¥2estdivergente. (b)Montrerquepourtoutk¡1,lasuitepuknqnPNestconvergente. suites_65.tex 12.38SoitaPR etlasuited´efiniepar: @nPN ,unpEpan qq¹ n

´ Etudierlaconvergenceetd´eterminerlalimite´eventuelledecettesuite. suites_68.tex