1 Coefficients de Fourier [G][ZQ]

246 – S´ eries de Fourier. Exemples et applications.

Cadre : On d´efinit les espaces de fonctions 2π-p´eriodique deR→Csuivants :

— L’espaceC_2π⁰ des fonctions continues.

— L’espace L^p_2π pour 1≤p <∞des (classes de) fonctions mesurables, tel que :

||f||_p= (_2π¹ R2π

0 |f(t)|^pdt)

1 p <∞

— L^∞_2π l’espace des (classes de) fonctions mesurables, tel que :||f||_∞<∞, avec

||f||_∞la borne sup´erieure essentielle de |f|

En particulier,L²_2π est un espace de Hilbert muni du produit scalaire hf|gi=

Z 2π

0

f(t)g(t)dt

On d´efinit aussi le produit de convolution surL¹_2π:f∗g:x7→ 1 2π

Z 2π

0

f(t)g(x−t)dt (cette formule a un sens presque partout sur [0,2π]).

1 Coefficients de Fourier [G][ZQ]

1.1 D´ efinitions

D´efinition 1.1 Soitf ∈L¹_2π etn∈Z. On d´efinit len-`eme coefficient de Fourier de f par la formulecn(f) = 1

2π Z 2π

0

f(t)e^−intdt.

L’ensemble{|cn(f)| |n∈Z}est parfois appel´e spectre en fr´equence de f. On fera apparaitre en annexe certains spectres des exemples ´etudi´es dans la suite.

D´efinition 2.Soitf dansL¹_2π et N ∈N. On d´efinit la somme partielle de Fourier d’indiceN def parS_N(f) =

N

X

n=−N

c_n(f)e_n, avece_n:t7→e^int.

Remarque 3. — On sait que pour 1≤q≤ ∞, on aL^q_2π⊂L¹_2π. Les sommes de Fourier partielle def sont donc bien d´efinies d`es quef ∈L^q_2π.

— En particulier, sif ∈L²_2π, on `a cn(f) =hf|eni.

Exemple 4. — Soit (k, n)∈Z². On ac_k(e_n) =δ_n,k. En cons´equence, la famille {e_n |n∈Z}forme une base orthonorm´ee deL²_2π.

— Pourt 7→sin(t), on `a c₁(sin) = _2i¹, c₋₁(sin) = ⁻¹_2i, et c_n(sin) = 0 si n6= 1 et n6=−1

— Pourt 7→ cos(t), on `a c1(cos) = ¹₂, c₋₁(cos) = ¹₂, et cn(cos) = 0 si n6= 1 et n6=−1.

D´efinition 5.Soitf dansL¹_2π et n∈N^∗. On d´efinit les coefficients suivants : an(f) =

Z 2π

0

f(t) cos(nt)dtetbn(f) = Z 2π

0

f(t) sin(nt)dt La somme de Fourier partielle def s’´ecrit alors :

SN(f)(x) = a0(f)

2 +

N

X

n=1

an(f) cos(nx) +bn(f) sin(nx)

De plus, on a les relations suivantes entre les coefficients :a_n(f) =c_n(f) +c_−n(f) etbn(f) =i(cn(f)−c_−n(f))

Remarque 6.Si f est paire, lesan(f) sont nuls, et on `acn(f) = 1 π

Z π

0

f(t) cos(nt)dt.

Si f est impaire, lesb_n(f)) sont nuls, et on `a c_n(f) = 1 π

Z π

0

f(t) sin(nt)dt.

1.2 Propri´ et´ es des coefficients de Fourier

Proposition 7.Soitf ∈L¹_2π,a∈R,(k, n)∈Z²,g∈L^∞_2π. Alors :

— cn(τaf) =e^inacn(f)o`uτaf :t7→f(t+a)

— cn(ekf) =c_n−k(f)

— f∗en=cn(f)en

— ||f ∗g||∞≤ ||f||1||g||∞

— si de plus f est dansC_2π⁰ et est C¹ par morceaux,c_n(f⁰) =inc_n(f)

— Enfn, si de plusf est de classeC^k, alors n^kcn(f) −→

|n|→+∞0

Th´eor`eme 8 (Lemme de Riemann-Lebesgue). Soit f ∈ L¹_2π. Alors cn(f) −→

|n|→+∞0

Corollaire 9. L’application

γ: L¹_2π→C0={(un)_n∈Z telle que un −→

|n|→∞0} (1) f 7→(en(f))n

est lin´eaire et de norme 1.

De plus, on v´erifie pour f et g dansL¹_2π :γ(f∗g) =γ(f)γ(g).

2 Convergence ponctuelle et uniforme [ZQ][G]

2.1 Le th´ eor` eme de Dirichlet

Proposition 10 (Noyau de Dirichlet).Pour N ∈ N, on d´efinit le noyau de Dirichlet d’ordreN parDN =

N

X

n=−N

en. Il v´erifie les propri´et´es suivantes :

— DN est pair et 1 2π

Z 2π

0

DN(t)dt= 1

— D_N(x) = sin (N+¹₂)x sin ^x₂

— D_N∗f =S_N(f)

Th´eor`eme 11 (Th´eor`eme de Dirichlet).Soit f ∈L¹_2π et x₀ ∈[0,2π]. On sup- pose que f admet des limites a droites et `a gauche en x₀ que l’on note f(x₀−) et f(x0+) et que la fonction h : h 7→ f(x0+h) +f(x0−h)−f(x0+)−f(x0−)

h est

born´ee au voisinage de 0.

AlorsS_N(f)(x₀) −→

N→+∞

f(x0+) +f(x0−) 2

Corollaire 12.Sif est 2π-p´eriodique et de classeC¹ par morceaux, alors pour tout x∈R, lim

N→∞SN(f)(x) = f(x+) +f(x−)

2 . De plus, si f est continue en x, alors on

` a lim

N→∞SN(f)(x) =f(x)

Exemple 13 (Fonction signal).Soit ∈]0, π[ et σ la fonction de L^∞_2π telle que σ(t) = 1 si |t| ≤et σ(t) = 0 si <|t| ≤π(voir dessin en annexe). Alors pour toutt,SN(σ)(t) =

π+

N

X

n=−N(n6=0)

sinn nπ en(t).

Puis grˆace au th´eor`eme de Dirichlet appliqu´e en, on obtient : π+

∞

X

n=1

sin(2n) nπ = 1

2

Th´eor`eme 14 (Fonction Zeta aux entiers pairs). f(z) = z e^z−1 est DSE en 0 et soit f(z) =

+∞

X

n=0

bn

zⁿ

n! son DSE. Alors ζ(2k) =

+∞

X

n=0

1 n^2k = (−1)^k−1(2π)^2k

2.(2k)!b_2k

2.2 Le th´ eor` eme de Fejer uniforme

Proposition 15.On d´efinit le noyau de Fejer d’ordre N >0 : KN =

N−1

X

i=0

Di

N . Il v´erifie :

— KN(x) =

N

X

n=−N

1−|n|

Nen

= 1 N

sin(^{N x}₂ ) sin^x₂

!2

— ||KN||1= 1

— 0< δ≤π→ lim

N→∞

1 2π

Z

δ<|x|<π

K_N(x)dx= 0

— σN(f) =f∗KN o`uσN(f) =S0(f) +...+S_N−1(f)

N pour toutf ∈L¹_2π Remarque 16.On a en fait que (KN)N∈Nest une approximation de l’unit´e.

Th´eor`eme 17 (Th´eor`eme de Fejer 1). Soit f ∈ C_2π⁰ . Alors ||σN(f)||∞ ≤

||f||_∞ ∀N∈N^∗ etσ_N(f) converge uniform´ement versf.

Corollaire 18. — Soit f ∈ C_2π⁰ et x0 ∈ R tel que SN(f)(x0) −→

N→+∞ l. Alors f(x0) =l.

— Soit f ∈ C_2π⁰ telle que X

|cn(f)| < ∞. Alors f est d´eveloppable en s´erie de Fourier f =

∞

X

n=−∞

c_n(f)e_n

Exemple 19 (Fonction triangle).Soit∈]0, pi[, on d´efinit T parT(t) = 1−^|t|

si |t| ≤ et T(t) = 0 si ≤ |t| ≤ π. T est d´eveloppable en s´erie de Fourier : T(t) =

2π+

∞

X

N=−∞(n6=0)

1−cos(n)

n²π cos(nt).Voir dessin en annexe.

Contre-exemple 20.Si f n’est pas continue mais S_N(f)(x₀) converge quand N →+∞, le corollaire pr´ec´edent est mis en d´efaut. Par exemple pourf(x) = x

π−1 pour toutx∈[0,2π[, on acn(f) = i

nπ1_n6=0 doncSN(f)(0)→0 mais f(0) = 16= 0.

Corollaire 21.Soitf et g dansC_2π⁰ .γ(f) =γ(g) ⇐⇒ f =g.

Corollaire 22 (Comparaison). Soit f ∈ C_2π⁰ . Si k > 1 et cn(f) = O(|n|^−k), alorsf ∈C^k−2.

3 L’espace hilbertien L ² _2π [ZQ]

Th´eor`eme 23 (Th´eor`eme de Fejer 2).Soit f ∈L^p_2π, alors pour tout N ∈ N^∗,

||σN(f)||2≤ ||f||2 etσN(f)converge versf en norme ||.||2.

Corollaire 24.La famille{e_n | n∈Z} forme une base hilbertienne deL²_2π. Corollaire 25 (Cons´equences). — Soit f ∈L²_2π, alors f ^L

2

=2π

∞

X

n=−∞

cn(f)en o`u l’´egalit´e est au sens de la convergenceL²_2π.

— On a de plus l’´egalit´e de Parseval : 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt=

∞

X

n=−∞

|cn(f)|²

— L’application

γ: L²_2π→l² (2)

f 7→(en(f))n

est une isom´etrie bijective

Corollaire 26 (Convergence normale). Soitf ∈C_2π⁰ et de classeC¹ par mor- ceaux. AlorsS_N(f)converge normalement vers f.

Application 27 (Calcul de s´erie num´erique). — Soith:x7→1−x²

π² p´eriodique sur [0,2π]. La d´ecomposition en s´erie de Fourier de h en x = π donne

∞

X

n=1

1 n² = π²

6 . En x = 0 on trouve

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n² = −π²

12 . L’´egalit´e de Parse- val fournit

∞

X

n=1

1 n⁴ = π⁴

90

— Soit g la fonction 2π-p´eriodique d´efinie par g(x)=1 si0 ≤x < ^π₂, g(^π₂)=0 et g(x) =−1si ^π₂ < x≤π. L’´egalit´e de Parseval donne

∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² =π² 8 .

— Soit j la fonction2π-p´eriodique d´efinie parj(x) =|x|sur [−π, π]. L’´egalit´e de Parseval donne alors

∞

X

n=0

1

(2n+ 1)⁴ = π⁴ 96

4 Application aux ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles

On s’interesse `a la r´esolution de l’´equation de la chaleur : _∂u

∂t(t, x) =^∂_∂x^2u₂(t, x) ∀(t, x)∈R⁺×R u(0, x) =u0(x) ∀x∈R

(3)

4.1 R´ esolution exacte

Th´eor`eme 28(Equation de la chaleur sur le cercle). Soitu0non-nulle

∈C_2π⁰ , de classe C¹ par morceaux. On cherche u:R⁺×R7→Rtel que :

— ∀t∈R⁺,x7→u(t, x)est 2π-p´eriodique

— u∈C⁰(R⁺×R)

— u∈C^∞(R^+∗×R) et qui v´erifie (3)

Alors une telle solution est unique et est donn´ee par u(t, x) =

∞

X

n=−∞

cne^−n2te^inx o`u lescn sont les coefficients de Fourier deu0

4.2 R´ esolution approch´ ee

On consid`ere dans cette section le sch´ema aux diff´erences finies suivant pour la r´esolution num´erique de l’´equation de la chaleur :

uⁿ⁺¹_j −uⁿ_j

∆t

+−uⁿ_j−1+ 2uⁿ_j −uⁿ_j+1

(∆x)² (4)

Soituⁿ= (uⁿ)_1≤j≤N la solution num´erique donn´ee par le sch´ema ci-dessus.

D´efinition 29.On introduit la norme suivante :||uⁿ||2= PN

j=1∆x|uⁿ_j|^21/2 . Un sch´ema aux diff´erences finies est dit stable pour la norme || ||₂, s’il existe une constanteK >0 ind´ependante de ∆_tet ∆_xtelle que||uⁿ|| ≤K||u⁰|| pour toutn≥ 0 quelle que soit la condition initialeu⁰.

M´ethode 30(Analyse de Von Neuman).

— A chaque vecteur uⁿ = (uⁿ)_1≤j≤N on associe une fonction uⁿ(x) constante par morceaux, p´eriodique et de p´eriode 1, d´efinie sur [0,1] par uⁿ(x) =uⁿ_j si x_j−1/2< x < xj+1/2. Ainsi d´efinie,uⁿ est dansL²(0,1).

— On la d´ecompose en s´erie de Fourier :uⁿ(x) =X

k∈Z

ck(uⁿ)e^2iπkx. On remarque que sivⁿ(x) =uⁿ(x+ ∆x),ck(vⁿ) =ck(uⁿ)e^2iπkx.

— On regarde les coefficients de Fourier du sch´ema (4) et on obtient une ´equation ck(uⁿ⁺¹) = A(k)ck(uⁿ). On appelle condition de stabilit´e de Von Neumann l’in´egalit´e|A(k)| ≤1 pour toutk∈Z. Si cette condition est v´erifi´ee, le sch´ema est stable.

Application 31. Le sch´ema (4) est stable seulement si la condition 2∆t≤(∆x)² est v´erifi´ee.