Soit (cn)n∈Zla famille des coefficients de Fourier def

SEMAINE 18 S ´ERIES de FOURIER EXERCICE 1 :

En consid´erant la fonctionf : IR→C, 1-p´eriodique, telle que

∀x∈[0,1[ f(x) =e^2iπx2 , calculer lesint´egrales de Fresnel:

I= Z +∞

−∞

cosu²du et J = Z +∞

−∞

sinu²du . - - - - Soit (c_n)_n∈Zla famille des coefficients de Fourier def. On a

c_n = Z 1

0

f(x)e^−2iπnxdx= Z 1

0

e^{2iπ(x2−nx)}dx

= Z 1

0

e

2iπ

h(x−n 2)²−n²

4

i

dx=e^{−iπ n}

2

2 Z 1 0

e^2iπ(x−n 2)²

dx

= e^{−iπ n}

2

2 Z −n 2 +1

−n 2

e^2iπt2dt

(´ecriture du trinˆome sous forme canonique, puis translation de la variablet=x−n 2). On distingue alors selon la parit´e den: pour toutp∈Z, on a

c_2p= Z −p+1

−p

e^2iπt2dt et c_2p+1=−i

Z −p+ 32

−p+ 12

e^2iπt2dt .

La fonction f est continue, 1-p´eriodique, et de classe C¹ par morceaux sur IR, la famille (c_n)_n∈Z des coefficients de Fourier de f est donc sommable et la s´erie de Fourier de f converge normalement versf :

∀x∈IR f(x) =

+∞

X

n=−∞

cne^2iπnx

et, en particulier,f(0) = 1 =

+∞

X

n=−∞

c_n.

Pour toutP ∈IN^∗, on a

P

X

p=−P

c2p=

P

X

p=−P

Z −p+1

−p

e^2iπt2dt= Z P+1

−P

e^2iπt2dt. (*)

Or, l’int´egrale K = Z +∞

−∞

e^2iπt2dt est semi-convergente : en effet, le changement de variable t = √

u ram`ene le probl`eme de la convergence de l’int´egrale Z +∞

1

e^2iπt2 dt `a celle de l’int´egrale

Z +∞

1

e^2iπu

√u du et Z U

1

e^2iπu

√u du= e^2iπu

2iπ√ u

^U

1

+ 1 4iπ

Z U 1

e^2iπu u√

u du ,

cette derni`ere int´egrale ´etant absolument convergente en +∞ (selon les termes du pro- gramme, la fonction u7→ e^2iπu

u√

u est int´egrable sur [1,+∞[).

En faisant tendreP vers +∞dans(*), on obtient donc

+∞

X

p=−∞

c2p=K.

De la mˆeme fa¸con, on obtient

+∞

X

p=−∞

c2p+1=−i

+∞

X

p=−∞

Z −p+ 32

−p+ 12

e^2iπt2dt=−iK.

Finalement, 1 = X

n∈Z c_n =

+∞

X

p=−∞

c_2p+

+∞

X

p=−∞

c_2p+1 = (1−i)K, donc K = 1

1−i = 1 +i 2 . En posantu=t√

2π, on obtient K= 1

√2π Z +∞

−∞

e^iu2du= I+iJ

√2π =1 +i 2 , donc

I=J = rπ

2 .

EXERCICE 2 :

Soit f : IR → C une fonction continue par morceaux et 2π-p´eriodique. On note (cn)_n∈Z les coefficients de Fourier def. Pour toutr∈]0,1[, on pose

Fr(t) =

+∞

X

n=−∞

r^|n|cne^int.

1.Montrer que, si f est continue au pointt∈IR, alors f(t) = lim

r→1⁻F_r(t).

2.Montrer que, sif est continue sur IR, alors la convergence de la famille de fonctions (Fr) vers f lorsquer→1⁻ est uniforme sur IR.

3.En d´eduire le second th´eor`eme de Weierstrass.

- - - - On ac_n = 1

2π Z 2π

0

f(u)e^−inudu. On a|cn| ≤ kfk∞ pour toutn∈Zdonc, pour toutr∈]0,1[, Fr(t) est d´efini comme somme d’une s´erie normalement convergente de fonctions det. Alors

F_r(t) = 1 2π

+∞

X

n=−∞

Z 2π 0

r^|n|f(u)e^in(t−u)du= 1 2π

Z 2π 0

+∞

X

n=−∞

r^|n|f(u)e^in(t−u)du car la s´erie de fonctions u7→r^|n|f(u)e^in(t−u) converge normalement sur [0,2π].

Donc F_r(t) = Z 2π

0

f(u)P_r(t−u)du en posant, pour toutxr´eel et tout r∈]0,1[, Pr(x) = 1

2π

+∞

X

n=−∞

r^|n|e^inx = 1 2π

^+∞X

n=0

rⁿe^inx+

+∞

X

n=0

rⁿe^−inx−1

= 1

2π 1

1−re^ix + 1

1−re^−ix −1

= 1 2π

1−r² 1−2rcosx+r² .

La famille de fonctions (Pr)0<r<1, appel´ee noyau de Poisson, est une approximation de l’unit´e 2π-p´eriodiquelorsque r→1⁻ (cf. semaine 13, exercice 4), ce qui signifie que ce sont des fonctions continues et 2π-p´eriodiques sur IR v´erifiant

(1) : ∀r∈]0,1[ ∀x∈IR Pr(x)≥0 ; (2) : ∀r∈]0,1[

Z 2π 0

Pr(t)dt= 1 ;

(3) : pour toutα∈]0, π[, la famille de fonctions (Pr) converge uniform´ement vers la fonction nulle sur [α,2π−α] lorsquer→1⁻.

La propri´et´e(1)est imm´ediate.

La propri´et´e(2)se d´eduit de la relation F_r(t) = Z 2π

0

f(u)P_r(t−u)du en consid´erantf = 1.

La propri´et´e(3)est cons´equence de l’encadrement 0≤Pr(x)≤Pr(α) valable six∈[α,2π−α]

et du fait que, pour toutα6∈2πZfix´e, lim

r→1⁻Pr(α) = 0.

1. Soit t ∈ IR un point de continuit´e def. Donnons-nous ε > 0 et associons-lui unα > 0 tel que |u| ≤α=⇒ |f(t−u)−f(t)| ≤ ε

2. Alors, en faisant un changement de variable et en utilisant le fait que l’int´egrale d’une fonction c.p.m. et 2π-p´eriodique est la mˆeme sur tout segment de longueur 2π, on obtient

Fr(t) = Z 2π

0

f(u)Pr(t−u)du= Z 2π

0

f(t−u)Pr(u)du

= f(t) + Z 2π

0

f(t−u)−f(t)

Pr(u)du , donc

|Fr(t)−f(t)| ≤

Z α

−α

f(t−u)−f(t)

Pr(u)du

+ Z

[−π,−α]∪[α,π]

f(t−u)−f(t)

Pr(u)du

≤ ε 2

Z α

−α

Pr(u)du+ 1 π

1−r² 1−2rcosα+r²

Z π

−π

|f(u)|du

≤ ε

2 +C 1−r² 1−2rcosα+r² , o`u C est une constante positive. De lim

r→1⁻

1−r²

1−2rcosα+r² = 0, on tire la conclusion (le deuxi`eme terme peut ˆetre rendu inf´erieur `a ε

2 pour rsuffisamment proche de 1).

En un point de discontinuit´e def, on a lim

r→1⁻Fr(t) = f(t⁺) +f(t⁻)

2 .

2.La fonctionf ´etant p´eriodique et continue sur IR, elle est uniform´ement continue sur IR. Dans la d´emonstration de la question pr´ec´edente, une fois donn´e ε, on peut lui associer α > 0 ind´ependamment du pointt, et la mˆeme majoration de|Fr(t)−f(t)|montre la convergence uniforme sur IR.

3.Soitf : IR→C, continue et 2π-p´eriodique. Soitε >0. D’apr`es la question2., on peut trouver r0∈]0,1[ tel quekf−Fr₀k_∞≤ ε

2. Par ailleurs, en posant F_r^[N₀ ^](t) =

N

X

n=−N

r^|n|₀ cne^int pour tout N ∈ IN, alors (F_r^[N]

0 )N∈IN est une suite de polynˆomes trigonom´etriques convergeant normalement sur IR vers la fonctionF_r0. On aura donc kF_r^[N₀ ^]−F_r0k∞≤ ε

2 pour N assez grand, doncf est limite uniforme sur IR d’une suite de polynˆomes trigonom´etriques.

EXERCICE 3 :

Formule sommatoire de Poisson

Soitf : IR→C, de classeC¹. On suppose qu’il existe un r´eelα >1 tel que, au voisinage de −∞

et de +∞, on ait

f(t) =O 1

|t|^α

et f⁰(t) =O 1

|t|^α

.

Latransform´ee de Fourierdef est la fonctionfbd´efinie sur IR par fb(λ) = Z +∞

−∞

f(t)e^−iλtdt.

Soitω un r´eel strictement positif. On poseT =2π

ω . Pour tout r´eel t, on pose FT(t) =

+∞

X

n=−∞

f(t+nT) (FT est laT-p´eriodis´eedef).

a.Montrer queFT estT-p´eriodique et de classeC¹sur IR et exprimer ses coefficients de Fourier

`

a l’aide de la transform´ee de Fourierfbdef. b.Montrer la relation (formule sommatoire de Poisson) :

+∞

X

n=−∞

fb(nω) =T·

+∞

X

n=−∞

f(nT).

c. Application. Soita >0. CalculerSa=

+∞

X

n=−∞

1 n²+a². Retrouver la relation

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .

- - - -

a.La fonction t7→t^αf(t) est born´ee sur IR car elle est continue et born´ee au voisinage de−∞

et +∞: on a ∀t∈IR |t^αf(t)| ≤k (k >0).

SoitA >0. Pour|n|> A

T et|t| ≤A, on a

|t+nT| ≥ |nT| − |t| ≥ |n|T−A , d’o`u |f(t+nT)| ≤ k

(|n|T−A)^α. Cela garantit la convergence normale sur [−A, A] de la s´erie X

n∈Z

f(t+nT). La fonction F_T est donc d´efinie et continue sur IR. Sa p´eriodicit´e est imm´ediate.

La s´erie des d´eriv´ees est aussi normalement convergente sur tout segment de IR, donc FT

est de classeC¹.

Calculons les coefficients de Fourier deF_T :

cn(FT) = 1 T

Z T 0

FT(t)e^−inωtdt= 1 T

Z T 0

+∞

X

k=−∞

f(t+kT)

!

e^−inωtdt

= 1

T

+∞

X

k=−∞

Z T 0

f(t+kT)e^−inωtdt

= 1

T

+∞

X

k=−∞

Z (k+1)T kT

f(t)e^−inωtdt

= 1

T Z +∞

−∞

f(t)e^−inωtdt= 1 T fb(nω)

(la convergence normale de la s´erie sur [0, T] permet d’int´egrer terme `a terme).

Remarque. Cette relation permet de faire le lien entre les notions de s´erie de Fourier et d’int´egrale (ou transform´ee) de Fourier.

b.La fonctionF_T est de classeC¹; elle est donc somme de sa s´erie de Fourier :

∀t∈IR FT(t) =

+∞

X

n=−∞

f(t+nT) =

+∞

X

n=−∞

cn(FT)e^inωt= 1 T

+∞

X

n=−∞

fb(nω)e^inωt. Pour t= 0, on obtient la relation demand´ee.

c. Soit la fonctionf :t7→e^−a|t|. Choisissonsω= 1, soit T = 2π. La fonctionf est continue sur IR ; elle n’est pas tout `a fait de classeC<sup>1</sup>(non d´erivable en z´ero) mais on voit facilement que la 2π-p´eriodis´eeF2πest continue et de classeC<sup>1</sup>par morceaux sur IR (les points o`u la d´eriv´ee n’est pas d´efinie ´etant les 2nπ,n∈Z), ce qui suffit pour affirmer qu’elle est somme de sa s´erie de Fourier. Les hypoth`eses de d´ecroissance `a l’infini de f et def⁰ sont bien v´erifi´ees.

Nous laissons le lecteur v´erifier que la transform´ee de Fourier def estfb:λ7→ 2a λ²+a². La formule de Poisson donne alors

+∞

X

n=−∞

fb(n) = 2a Sa= 2π

+∞

X

n=−∞

f(2nπ) = 2π

+∞

X

n=−∞

e^−2πa|n|,

soit

S_a= π a

1 + 2e^−2πa 1−e^−2πa

= π

a thπa . Pour a≥0, posonss(a) =

+∞

X

n=1

1

n²+a². La fonctiona7→s(a) est continue sur IR+ comme somme d’une s´erie normalement convergente de fonctions continues. Or, le calcul ci-dessus montre que, pour a >0, on a

s(a) = 1 2

Sa− 1

a²

= 1 2

π

athπa− 1 a²

.

A l’aide d’un d´` eveloppement limit´e `a l’ordre trois de la fonction th, on obtient facilement s(0) = lim

a→0s(a) =π² 6 . EXERCICE 4 :

Ph´enom`ene de Gibbs

Soitf la fonction de IR vers IR, 2π-p´eriodique, telle que

(f = −1 sur [−π,0[

f = +1 sur [0, π[ . 1.D´eterminer les coefficients de Fourier (bn)_n∈IN def.

2.Soitfn la somme partielle d’indicende la s´erie de Fourier def :

∀x∈IR fn(x) =

n−1

X

k=0

b2k+1 sin(2k+ 1)x . Rechercher les extremums relatifs defn sur [0, π].

3.SoitM_n le maximum global def_n. En quel point deh 0,π

2 i

est-il atteint ? 4.Exprimer le nombrel= lim

n→+∞M_nsous la forme d’une int´egrale, et aussi comme somme d’une s´erie.

- - - - 1.La fonctionf est impaire, donc les coefficientsan sont nuls. Ensuite,

bn = 2 π

Z π 0

f(x) sinnx dx= 2 π

Z π 0

sinnx dx= 2

nπ 1−(−1)ⁿ ,

doncb2k = 0 et b2k+1= 4 π(2k+ 1).

2. On a fn(x) = 4 π

n−1

X

k=0

sin(2k+ 1)x

2k+ 1 , donc f_n⁰(x) = 4 π

n−1

X

k=0

cos(2k+ 1)x. Un calcul classique, laiss´e au lecteur courageux, donne f_n⁰(x) = 2 sin 2nx

π sinx pour x6∈ πZ, prolong´e par conti- nuit´e (puisque la fonction fn est de classeC^∞) en les points de la forme kπ (k ∈Z) par f_n⁰(2kπ) = 4n

π etf_n⁰ (2k+ 1)π

=−4n π.

La d´eriv´ee f_n⁰ s’annule donc, dans [0, π], en les pointsxk = kπ

2n (1 ≤k≤2n−1). On peut pr´eciser que f_n⁰ > 0 sur les intervalles ]x2p, x2p+1[ (0 ≤ p ≤ n−1) et f_n⁰ < 0 sur les intervalles ]x2p+1, x2p+2[ (0≤p≤n−1), donc la fonctionfn admet

- un maximum relatif en chaquex2p+1 (0≤p≤n−1) ; - un minimum relatif en chaquex_2p (1≤p≤n−1).

3. Etudions les maximums relatifs de´ fn surh 0,π

2 i

: posons µp=fn(x2p+1) =fn

(2p+ 1)π 2n

pour 0≤p≤E

n−1 2

. Pour 1≤p≤E

n−1 2

, on a

µp−µp−1 =

Z ^(2p+1)π_2n

(2p−1)π 2n

f_n⁰(x)dx

= 2

π Z ^2pπ_2n

(2p−1)π 2n

sin 2nx sinx dx+ 2

π

Z ^(2p+1)π_2n

2pπ 2n

sin 2nx sinx dx

= 2

π

Z ^(2p+1)π_2n

2pπ 2n

sin 2nx



 1

sinx− 1

sin x− π

2n



 dx

en faisant une translation de la variable dans la deuxi`eme int´egrale. Or, sur 2pπ

2n,(2p+ 1)π 2n

, on a sin 2nx≥0 et la fonction sinus est positive et croissante surh

0,π 2 i

, doncµp−µ_p−1≤0.

On a donc

Mn=µ1=fn

π 2n

.

4. On a M_n = Z _2n^π

0

f_n⁰(x)dx = 2 π

Z _2n^π

0

sin 2nx sinx dx =

Z π 0

g_n(t)dt, avec, pour tout t ∈]0, π], g_n(t) = sint

πn sin t 2n

. Pour toutt∈]0, π], on a lim

n→∞g_n(t) = 2 π

sint

t (convergence simple). Par ailleurs, la concavit´e de la fonction sinus surh

0,π 2

idonne sinu≥ 2u

π pouru∈h 0,π

2 i; on a donc la condition de domination

∀t∈]0, π] 0≤g_n(t)≤sint t , la fonction t 7→ sint

t ´etant int´egrable sur ]0, π]. Le th´eor`eme de convergence domin´ee s’applique et l= lim

n→+∞Mn= 2 π

Z π 0

sint t dt.

On peut remarquer que la suite (M_n) est d´ecroissante car n sin t 2n = 1

2 Z t

0

cos u

2ndu et, la fonction cosinus ´etant d´ecroissante sur [0, π], la suite

n sin t

2n

n∈IN^∗

est croissante pour toutt fix´e dans [0, π].

On peut aussi d´evelopper en s´erie enti`ere : sint

t =

+∞

X

k=0

(−1)^k t^2k

(2k+ 1)! avec un rayon de convergence infini, d’o`u la convergence normale sur [0, π] qui permet d’int´egrer terme `a terme :

l= 2 π

+∞

X

k=0

(−1)^k π^2k+1

(2k+ 1)×(2k+ 1)! .

La s´erie de Fourier de f converge simplement vers la r´egularis´eef˜de f par le th´eor`eme de Dirichlet et, cette fonctionf˜´etant discontinue, la convergence ne peut ˆetre uniforme. Une calculatrice, ou MAPLE, donnel'1,18, doncl >1, ce qui met en ´evidence ce ph´enom`ene.

EXERCICE 5 :

In´egalit´e isop´erim´etrique

1.Soitf : IR→C, 1-p´eriodique, de classeC¹, telle que Z 1

0

f(t)dt= 0.

Prouver l’in´egalit´e

4π² Z

[0,1]

|f|²≤ Z

[0,1]

|f⁰|².

2.Soit Γ un arc ferm´e r´egulier de classeC¹dans le plan euclidien orient´e identifi´e `a C. Notonsl sa longueur, et Al’aire de la partie born´ee du plan d´elimit´ee par Γ.

Prouver l’in´egalit´e

l²≥4πA et ´etudier les cas d’´egalit´e.

SiΓ est param´etr´ee par t7→ x(t), y(t)

, avec t∈[0,1], la formule de Green-Riemann donne A=1

2 Z

Γ

x dy−y dx

=1 2

Z 1 0

x(t)y⁰(t)−y(t)x⁰(t) dt

=1 2

Im Z 1

0

f(t)f⁰(t)dt

en posant f(t) =x(t) +iy(t).

- - - -

1.Soient (cn)_n∈Z les coefficients de Fourier def. La relation de Parseval donne Z 1

0

|f|²=

+∞

X

n=−∞

|c_n|².

Notons (c⁰_n)

n∈Z les coefficients de Fourier def⁰. Une classique int´egration par parties donne c⁰_n= 2iπn c_n. Par ce mˆeme val, nous arrivons `a

Z 1 0

|f⁰|²=

+∞

X

n=−∞

|c⁰_n|²= 4π²

+∞

X

n=−∞

n²|cn|².

Or,|cn|²≤n²|cn|² pour toutn∈Z^∗ et c’est vrai aussi pourn= 0 puisquec0= Z 1

0

f = 0.

On obtient donc 4π² Z 1

0

|f|²≤ Z 1

0

|f⁰|², soit encore 2πkfk2≤ kf⁰k2.

2.Sur un arc r´egulier de classeC¹, l’abscisse curviligne est un param´etrage admissible (“repr´esentation normale” d’un arc). Si l’arc est ferm´e de longueurl, on peut aussi choisir un param´etrage f : IR →C, 1-p´eriodique, de classe C¹ “uniforme” (“`a vitesse constante”), c’est-`a-dire tel que|f⁰(t)|=l pour toutt∈IR.Alorsτ7→fτ

l

est un param´etrage normal surΓ. Enfin, quitte `a faire une translation, on peut supposer que

Z 1 0

f = 0 : en effet, l’int´egrale Z 1

0

f est l’affixe du centre d’inertie de la courbeΓ, assimil´ee `a un fil homog`ene.

L’aire de la r´egion int´erieure `a la courbe est alors A= 1

2

Im Z 1

0

f(t)f⁰(t)dt

≤ 1 2

Z 1 0

f f⁰

≤1 2

Z 1 0

|f|²

12 Z 1

0

|f⁰|²

12

par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. De la premi`ere question, on d´eduit A ≤1 2

1 2π

Z 1 0

|f⁰|², soit A ≤ l²

4π. S’il y a ´egalit´e, alors :

•

Im Z 1

0

f(t)f⁰(t)dt

=

Z 1 0

f f⁰

, soit Z 1

0

f f⁰ ∈iIR ;

• les fonctions f et f⁰ sont li´ees (f⁰ = λf avec λ ∈ C) ; alors Z 1

0

f f⁰ = λ Z 1

0

|f|² ; la premi`ere condition entraˆıne alorsλ∈iIR.

Posons doncλ=iωavecω∈IR^∗, on af⁰=iωf doncf(t) =a e^iωtaveca∈C^∗,|a|=l. La courbe est alors un cercle (de centreO si l’on impose toujours

Z 1 0

f = 0).

R´eciproquement, il est imm´ediat que tout cercle v´erifie l’´egalit´e.