Devoir no6 - Fonction Exponentielle - TS 20 d´ecembre 2017 - 2h
Exercice 1 (1,5 pts) : Restitution Organis´ee de Connaissances Pr´erequis :On sait que lim
x→+∞
ex
x = +∞. Montrer que lim
x→−∞xex= 0
Exercice 2 (5,5 pts) : Les deux parties sont ind´ependantes On consid`ere la fonction f d´efinie sur Rpar
f(x) = (ax+b)ex−1+c,
o`ua, b etcsont trois r´eels que l’on se propose de d´eterminer dans la partie A.
On note f′ la fonction d´eriv´ee def.
A
B C
D
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7
O
La courbe C repr´esentative de f dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonormal est repr´esent´ee ci-contre.
La courbe C passe par le point A(1 ; 5) ; elle admet la droite D comme tangente en ce point. Le point B(0 ; 2) appartient `a la droiteD.
La courbe C admet ´egalement une tangente horizontale au point d’abscisse −1
2. Partie A
1. D´eterminer les valeurs de f(1), de f′(−1
2) et def′(1).
2. D´eterminer les valeurs de a, betc.
Partie B
On admet pour la suite de l’exercice que, pour tout r´eel x, f(x) = (2x−1)ex−1+ 4.
1. a) D´eterminer lim
x→+∞f(x).
b) V´erifier que, pour tout r´eel x, f(x) = 2
exex−1
eex+ 4 ; en d´eduire lim
x→−∞f(x).
Que peut-on en d´eduire pour la courbeC? 2. a) Donner pour tout r´eel x, l’expression def′(x).
b) ´Etablir le tableau de variations def.
Exercice 3 (5 pts) : Soit f la fonction d´efinie sur ]0; +∞[ par f(x) = ex+ 1
x.
1. Soit la fonction g d´efinie sur [0 ; +∞[ par
g(x) =x2ex−1.
a) ´Etudier le sens de variation de la fonction g.
b) Montrer qu’il existe un unique r´eel a appartenant `a [0 ; +∞[ tel que g(a) = 0 ; donner un encadrement dea`a 10−3.
c) D´eterminer le signe de g(x) sur [0; +∞[.
2. a) Montrer que pour tout r´eel x strictement positif :f′(x) = g(x) x2 ; en d´eduire le sens de variation de la fonction f.
b) D´emontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre r´eel m= 1 a2 + 1
a.
Exercice 4 (5 pts) : On consid`ere la fonction f d´efinie sur [0; +∞[ par f(x) = 5e−x−3e−2x+x−3.
On note Cf la repr´esentation graphique de la fonction f et D la droite d’´equation y = x−3 dans un rep`ere orthogonal du plan.
Partie A : Soitg la fonction d´efinie sur l’intervalle [0 ; +∞[ parg(x) =f(x)−(x−3).
1. Justifier que, pour tout r´eel xsur [0 ; +∞[, g(x)>0.
2. La courbe Cf et la droiteD ont-elles un point commun ? Justifier.
Partie B : On noteM le point d’abscisse x de la courbeCf,N le point d’abscissex de la droite D et on s’int´eresse `a l’´evolution de la distance M N.
1. Justifier que, pour tout xsur [0 ; +∞[, la distanceM N est ´egale `ag(x).
2. On note g′ la fonction d´eriv´ee de la fonction gsur [0 ; +∞[ ; calculerg′(x).
3. Montrer que la fonction g poss`ede un maximum sur l’intervalle [0 ; +∞[ que l’on d´eterminera.
En donner une interpr´etation graphique.
Exercice 5 (3 pts) : Soit kun r´eel quelconque.
D´eterminer, en fonction des valeurs dek, le nombre de solutions de l’´equation e2x−2x+k= 0
(On attend une d´emarche d´etaill´ee, mˆeme incompl`ete. Les limites ne sont pas exig´ees.)
