Fonction d´ eriv´ ee : compl´ ements

D´erivation d’un produit et d’un quotient Premi`ere S1

Fonction d´ eriv´ ee : compl´ ements

I

Rappel

Dans un cours pr´ec´edent nous avons mis en place les formules de d´erivation suivantes : n (u+v)⁰ =u⁰ +v⁰

n (k×u)⁰ =k×u⁰ (ouk est une constante) Par exemple :

n (x³+x²)⁰= 3x²+ 2x

n (123x³)⁰ = 123×3x² = 369x²

Compl´ements

Il existe aussi des formules de calcul pour les produits et les quotients de fonctions d´erivables.

Elles sont un peu plus compliqu´ees et proviennent des calculs de taux d’accroissement suivants : n Pour le produit de deux fonctions u etv :

u(a+h)v(a+h)−u(a)v(a)

h = u(a+h)−u(a)

h ×v(a+h) + v(a+h−v(a)

h ×u(a) n Pour l’ inverse d’une fonctionv :

1

v(a+h) − 1 v(a)

h =− v(a+h)−v(a)

h×v(a)×v(a+h) =− v(a+h)−v(a)

h × 1

v(a)v(a+h) Voir livre page 82.

Propri´et´es

On consid`ere deux fonctions u etv d´erivables sur un intervalleI.

n La fonction u × v est d´erivable et on a : (u×v)⁰ =u⁰×v+u×v⁰

n La fonction 1

v est d´erivable et on a :

1

v 0

=−v⁰ v² ( Si bien sur v ne s’annule pas sur I)

n La fonction u

v est d´erivable et on a :

u

v 0

= u⁰v−uv⁰ v² ( Si bien sur v ne s’annule pas sur I)

1 11 avril 2017

D´erivation d’un produit et d’un quotient Premi`ere S1

U

´

On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]−1,5; +∞] par : f(x) = 2x²−1

3x+ 2

La fonctionf est de la forme u(x) v(x) avec : u(x) = 2x²−1

et v(x) = 3x+ 2 .

Puisque : u⁰(x) = 2×2x= 4x et : v⁰(x) = 3 .

On obtient :

f⁰(x) = (4x)×(3x+ 2)−(2x²−1)×(3)

(3x+ 2)² :

D’o`u : f⁰(x) = (12x²+ 8x)−(6x²−3) (3x+ 2)²

Doncf⁰(x) = 12x²+ 8x−6x²+ 3 (3x+ 2)² Donc : f⁰(x) = 6x²+ 8x+ 3

(3x+ 2)² .

D

´

’

Des liens vers de vid´eos sont disponibles sur mathetnatholu.

Vous pouvez consulter ces vid´eos afin de mieux comprendre l’utilisation de ces formules.

http ://hgurgey.free.fr/spip.php ?article942

U

´

: (E

ˆ

)

Calculer les fonctions d´eriv´ees des fonctions suivantes : 1. f(x) = 3x−5

10x+ 100 ( Sur ]−10; +∞[ ) f⁰(x) = 350

(10x+ 100)² 2. f(x) = 7x

2x+ 2 ( Sur ]−1; +∞[ ) f⁰(x) = 14

(2x+ 2)² 3. f(t) = 2x−1

x² ( Sur ]−1; +∞[ ) f⁰(x) = −2x²+ 2x

x⁴ 4. f(t) = 3t−1

5t+ 2 ( Sur ]−1; +∞[ ) f⁰(t) = 11

(5t+ 2)²

2 11 avril 2017

D´erivation d’un produit et d’un quotient Premi`ere S1

A ´

( DTL N

8)

On consid`ere un carr´eABCDde cˆot´e 1 etM un point mobile sur le segment [AB].

Les droites (DM) et (AC) se coupent en un pointE.

Le but est de d´eterminer l’aire color´ee minimale ainsi que la ou les positions du point M rendant cette aire minimale.

A B

C D

M E

On poseAM =xet on noteH etK les pieds des hauteur issues deE dans les trianglesEAM etECD.

1. `A quel intervalle appartientx? 2. D´emontrer que :

EH = x

1 +x et EK = 1 1 +x. 3. En d´eduire qu’une expression de l’aire color´ee en fonction de x est :

A(x) = x²+ 1 2(1 +x).

4. ´Etudier les variations de cette fonction sur son ensemble de d´efinition apr`es avoir calcul´e sa fonction d´eriv´ee.

5. Conclure

3 11 avril 2017