Exercice4 Additiondedeuxmomentscin´etiquesetcoefficientsdeClebsch-Gordan Exercice3 Lin´earit´eetantilin´earit´e Exercice2 Parit´e Exercice1 Sym´etries M´ecaniquequantiqueII Devoir

M´ecanique quantique II

Devoir

Exercice 1 Sym´etries

On consid`ere un Hamiltonien H pour un syst`eme qui poss`ede certaines sym´etries.

Soient A etB les op´erateurs hermitiens dont l’action laisse H invariant, autrement dit [H, A] = [H, B] = 0.

Montrer que si [A, B] 6= 0, alors il y a obligatoirement des valeurs propres d´eg´en´er´ees parmi les valeurs propres de l’op´erateur H.

Indice: un raisonnement par l’absurde pourrait ˆetre judicieux

Exercice 2 Parit´e

Chercher les projecteursP+etP− projetant sur les ´etats repr´esent´es par des fonctions respectivement paires et impaires par rapport `a l’inversion des coordonn´ees de la partic- ule. On pourra commencer en cherchant l’action de ces deux op´erateurs sur une fonction quelconque.

Exercice 3 Lin´earit´e et antilin´earit´e

1. A est un op´erateur lin´eaire et B est antilin´eaire. Qu’est-ce qu’on peut dire sur le comportement des op´erateurs A²,AB etB²?

2. A est un op´erateur antilin´eaire. Est-ce que l’op´erateur A^†Aest hermitien?

Exercice 4 Addition de deux moments cin´etiques et coefficients de Clebsch-Gordan On consid`ere un syst`eme compos´e de la somme de deux moments cin´etiquesj1 = 1 et j2 = 1/2,J~=J~1+J~2.

1. Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert de ce syst`eme ? 2. ´Ecrire les ´el´ements de la base produit tensoriel.

3. ´Ecrire les ´el´ements de la base moment cin´etique total, et donner leur d´eg´en´erescence.

4. Calculer tous les coefficients de Clebsh-Gordan qui relient la deuxi`eme base `a la premi`ere.

Exercice 5 Sym´etrie continue Montrer que

e^iLxθpze^−iLxθ =pzcosθ+pysinθ et

e^iLxθL_ze^−iLxθ=L_zcosθ+L_ysinθ

Exercice 6 Oscillateur harmonique perturb´e

Soit

H= p²

2m +mω²x² 2 +λx⁴ l’Hamiltonien d’un oscillateur armonique faiblement perturb´e.

1. Calculer la correction au premier ordre en λ`a l’´energie du fondamental.

2. Calculer la correction au premier ordre en λ`a la fonction propre correspondante.

3. Soit ψ(x) =e^−αx2 une fonction test de param`etre α >0.

Trouver l’´energie du fondamental par la m´ethode variationnelle.

D´evelopper en s´erie l’´energie au premier ordre en λ et comparer avec le r´esultat obtenu `a la question 1.

(On rappelle que R∞

0 e^−αx2dx= ¹₂p_π

α)

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