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coleN
ationale d’I
ng´enieurs deT
unis 2008-2009Analyse Num´ erique
S´erie d’exercices n◦ : 2
Exercice 1
R´esoudre le syst`eme lin´eaireAx=b, avec :
A=
2 2 1 3
0 1 3 2
2 4 1 3
4 5 5 9
et b=
−1 0 0 1
a- Par la m´ethode de Gauss sans strat´egie du pivot . b- Par la m´ethode de Gauss avec strat´egie du pivot partiel.
c- En utilisant la factorisationA=LU.
Exercice 2
R´esoudre par la m´ethode de Cholesky le syst`emeAx=b, avec :
A=
1 2 3 4
2 5 1 10
3 1 35 5
4 10 5 45
et b=
0 6 28
−34
Exercice 3
SoientA∈ Mn(R) sym´etrique et d´efinie positive, etb∈Rn.
1– Montrer que la matrice A admet la factorisation A = LDLT o`u L est triangulaire inf´erieure `a diagonale unit´e etD est diagonale `a ´el´ements diagonaux positifs.
2–Ecrire un algorithme de r´esolution du syst`eme : LDLTx=b.
Exercice 4
Montrer que la factorisationA=LU conserve la structure ”bande”, c’est `a dire : siA=LU avecaij = 0 pour|i−j| ≥p(p∈N∗donn´e), alorsLij =Uji= 0 pour (i−j)≥p.
Exercice 5
SoitA= (aij)∈ Mn(R) sym´etrique d´efinie positive. SoitA=BBT la factorisation de Cholesky deA.
1–Montrer que :
Cond2(A) = [Cond2(B)]2≥ max
k |bkk|2 min
k |bkk|2
2–Montrer que siA est de plus tridiagonale (aij= 0 si |i−j|>1), alorsB est bidiagonale inf´erieure (bij = 0 sii−j >1).
Exercice 6
Soit n∈N, n≥2. Soit A∈ Mn(R), A= (aij)1≤i,j≤n. On suppose que Aest inversible et admet la factorisationA =LU, o`u L∈ Mn(R) est triangulaire inf´erieure `a ´el´ements diagonaux ´egaux `a 1, et o`uU ∈ Mn(R) est triangulaire sup´erieure.Pour k ∈ {1,2, . . . , n}, on note Ak la matrice de Mk(R) obtenue `a partir de A en ne gardant que les k premi`eres lignes et leskpremi`eres colonnes, soit Ak = (aij)1≤i,j≤k.
1–Montrer que pour toutk∈ {1,2, . . . , n}, la matriceAk admet la factorisationAk=LkUk, o`u Lk ∈ Mk(R) est triangulaire inf´erieure `a ´el´ements diagonaux ´egaux `a 1, et o`uUk ∈ Mk(R) est triangulaire sup´erieure.
Analyse Num´erique – S´erie 2 2
2–On pose, pourk∈ {2,3, . . . , n}:
Ak=
Ak−1 vk
wtk akk
, o`uvk∈Rk−1 etwk∈Rk−1.
En supposant connue la factorisationAk−1=Lk−1Uk−1et en ´ecrivant :
Ak =
Lk−1 0
mtk 1
Uk−1 qk
0 ukk
, o`u mk∈Rk−1, qk ∈Rk−1 et ukk∈R,
montrer comment on peut d´eterminer la factorisationAk=LkUk.
3–D´eduire de ce qui pr´ec`ede une m´ethode pour la d´etermination de la factorisationA=LU de la matriceA.
Exercice 7
SoitA∈ Mn(R) une matrice sym´etrique d´efinie positive et B ∈ Mm,n(R), avec 1≤m < n. On consid`ere la matrice carr´eeM ∈ Mm+n(R) d´efinies par blocs de la mani`ere suivante :
M =
A BT
B O
1–Examiner si la matriceM est sym´etrique et si elle est d´efinie positive.
2–Montrer queM est inversible, si et seulement si on a
∀y∈Rm (BTy= 0 ⇒ y = 0)
3– On suppose que M est inversible et on cherche `a la d´ecomposer, en utilisant la mˆeme ´ecriture par blocs donn´ee ci-dessus, sous la forme suivante :
M =
L1 O B1 −L2
LT1 BT1 O LT2
o`uL1et L2 sont deux matrices triangulaires inf´erieures.
Montrer que cette d´ecomposition est possible et donner une m´ethode permettant de d´eterminerL1,L2et B1.
Exercice 8
SoitA∈ Mn(R) etB∈ Mm(R) deux matrices inversibles admettant chacune une factorisation ”LU” : A=LAUA, LA∈ Mn(R) triangulaire inf´erieure `a diagonale unit´e
UA∈ Mn(R) triangulaire sup´erieure
B =LBUB, LB∈ Mm(R) triangulaire inf´erieure `a diagonale unit´e UB∈ Mm(R) triangulaire sup´erieure
SoitM ∈ Mn+m(R) d´efinie (par blocs) comme suit : M =
A O O B
1. Montrer queM est inversible.
2. Montrer queM admet une factorisationLU unique.
3. Proposer alors une m´ethode pour r´esoudre le syst`eme lin´eaireM x=b, o`ub ∈Rn+m et donner le nombre d’op´erations ´el´ementaires.
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