On sera amené à utiliser comme unité d’énergie l’électron volt, de symboleeV, tel que1 eV= 1,60·10−19J
Exercices d’application : Flux de photons, effet photoélectrique, photodiode, lon- gueurs d’onde de de Broglie
Culture en sciences physiques : Effet photoélectrique, onde de de Broglie, Expé- rience de Shimizu et Shimizu, boîte quantique unidimensionnelle, dégénéres- cence quantique,
Corrigés en TD : Flux de photons, effet photoélectrique, onde de de Broglie, Shimizu et Shimizu, boîte quantique, dégénérescence quantique.
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Exercice 1 : Flux de photons
1. Une antenne de radio émet sur la fréquence de 1 MHz avec une puissance de 1 kW. Quel est le nombre de photons émis par seconde ?
2. Une étoile de première grandeur émet un flux lumineux sur la terre de 1,6·10−10W·m−2à une lon- gueur d’onde moyenne de 556 nm. Combien de photons traversent la pupille de l’œil par seconde ?
Exercice 2 : Effet photoélectrique
On rappelle le principe de l’effet photoélectrique. Un photon d’énergie suffisamment importante peut être absorbé par un métal lors d’une collision qui en éjecte un électron. Le métal doit pour cela recevoir une énergie minimale, nomméetravail d’extractionet notéeW.
1. Exprimer la conservation de l’énergie entre l’état initial : photon + électron lié au métal ; et l’état final électron extrait du métal. En déduire une relation entre la constante de Planck, la vitesse de la lumière c, la longueur du photon absorbéλ, le travail d’extractionWet l’énergie cinétique de l’électron extrait Ecin.
2. On envoie sur du potassium, une radiation de longueur d’ondeλ1=253,7 nm ; l’énergie maximale des électrons extraits est 3,14 eV. Elle est 0,36 eV pourλ=589 nm.
(a) Retrouver la valeur de la constante de Planck.
(b) Calculer le travail d’extractionWdes électrons du potassium.
(c) Calculer la longueur d’onde maximaleλmaxdes radiations provoquant l’effet photoélectrique sur le potassium.
3. Comparer la quantité de mouvement d’un photonλmaxet celle de l’électron extrait. En déduire que l’ensemble de l’échantillon de potassium acquiert lui-aussi une quantité de mouvement. Doit-on pour autant en tenir compte dans le bilan d’énergie ?
Exercice 3 : Montage à photodiode
Un détecteur de lumière comme une photodiode réalise essentiellement une conversion photon-électron.
On admettra que, si la surface sensible est soumise à un flux de photons, la photodiode se comporte comme un générateur de courant électrique, en produisant un flux d’électrons égal au flux de photons reçu.
1. Rappeler l’énergie d’un photon associé à une onde laser de fréquenceν. Application numérique pour une longueur d’onde égale à 532 nm.
2. Exprimer le nombre moyen de photonΦémis par unité de temps pour un laser de puissancePémettant une onde lumineuse de fréquenceν. Application numérique pourλ=532 nm etP=1,0·10−3W.
3. En déduire une expression de l’intensité du courant développé par la photodiode en fonction de P , ν , h eoù l’on noteela charge élémentaire ethla constante de Planck. Application numérique : comment choisir la valeur de la résistance sur laquelle débite la photodiode pour récupérer une ten- sion de l’ordre du volt.
Exercice 4 : Longueurs d’onde de de Broglie
Quelle est la longueur d’onde de de Broglie :
• d’un électron d’énergie 10 keV. Cette énergie correspond à celle du faisceau d’un oscilloscope catho- dique. La dynamique de ce faisceau relève-t-elle de la mécanique quantique ? Comparer aux dimen- sions atomiques et commenter.
• d’un élève de prépa se rendant à la cantine à 11h57. Comparer à la largeur des portes d’entrée du self des élèves et de celui des professeurs. Pour quelle vitesse observerait-on un phénomène d’interférences ? Commenter.
Exercice 5 : Vitesse de propagation de l’onde de de Broglie
Une particule de massemse déplace à la vitessev(très inférieure à la vitesse de la lumière).
1. Déterminer l’expression du vecteur d’ondekdBde de Broglie.
2. L’énergie de la particule est uniquement cinétique. En appliquant la relation de Planck-Einstein, déter- miner la pulsationωdBcorrespondante.
3. En déduire la vitesse de phase de propagation de l’onde de de Broglie. Comparer à la vitesse de la particule.
Exercice 6 : Vitesses de phase et de groupe
Les courbes ci-dessous représentent l’évolution temporelle de l’excitation d’une onde dans une géométrie unidimensionnelle.
−2 0 2 x(µm)
ξ
t=−1µs
−2 0 2 x(µm)
t=−0,5µs
−2 0 2 x(µm)
t=0µs
−2 0 2 x(µm)
t=0,5µs
−2 0 2 x(µm)
t=1µs
Fig. 1 : Système arbitraire.
−2 0 2 x(µm)
Re(Ψ)
t=−1 µs
−2 0 2 x(µm)
t=−0,5 µs
−2 0 2 x(µm)
t=0 µs
−2 0 2 x(µm)
t=0,5 µs
−2 0 2 x(µm)
t=1 µs
Fig. 2 : Partie réelle d’une onde de matière Re(Ψ(x , t)).
• Lavitesse de phased’une onde monochromatique de pulsationωet de vecteur d’ondekest, par définition ω/k.
• Lavitesse de grouped’un paquet d’onde polychromatique est la vitesse de propagation de l’énergie.
1. Pour chacune des figures, estimer la longueur d’onde correspondant à la fréquence prédominante.
2. En déduire, en considérant l’évolution des arches individuelles, la vitesse de phase correspondant à la fréquence prédominante ainsi que la valeur de cette fréquence.
3. Déterminer également la vitesse de groupe et comparer sa valeur à celle de la vitesse de phase.
La propagation d’une onde est ditedispersivesi la vitesse de phase varie avec la fréquence. Cette condition est nécessaire pour que la vitesse de phase de la fréquence prépondérante et la vitesse de groupe d’un paquet d’ondes soient différentes. C’est ici le cas de l’onde de matière.
Exercice 7 : Expérience de Shimizu et Shimizu
On précise les paramètres de l’expérience d’interférences d’atomes de néon métastables froids décrite en cours.
1. La distance entre deux franges, notéei, dépend de la longueur d’ondeλdBet des distancesdentre les fentes etDentre le plan des fentes et l’écran. À votre avis, la distanceiest-elle croissante ou décroissante avecD? Même question pourd. En déduire une expression deien fonction deλdB,D dpar analyse dimensionnelle.
2. La distance entre deux franges claires successives, notéeiest de l’ordre de 1·10−3m, et on ad=6 µm etD=11 cm. En déduire l’ordre de grandeur de la longueur d’onde de de BroglieλdBdes atomes de néon dans les conditions de l’expérience.
3. (a) En déduire l’ordre de grandeur de la vitessevdes atomes de néon dans l’expérience. On fera intervenir le nombre d’Avogadro et la masse molaire du néon dont les valeurs figurent dans le cours de chimie.
(b) Cette valeur est-elle compatible avec une hauteur totale de chute de 1 m ?
Exercice 8 : Accord d’une boîte quantique unidimensionnelle
On considère un électron piégé sur un segment de longueur`. On notemela masse de l’électron.
1. Lorsque l’électron passe d’un état caractérisé par une énergieE(n)à un état caractérisé par une énergie E(m)< E(n), l’électron émet un photon de pulsationωmn. Exprimer ωmnen fonction des énergies E(m)etE(n)et de la constante de Planck réduite}.
2. Déterminer l’expression générale de la pulsation du photon émis, puis de sa longueur d’ondeλnm, en fonction de deux entiersnetm, de la constante de Planck, de la massemeet de la longueur`du segment.
3. Quelle valeur de longueur de segment faut-il choisir pour qu’une transition entre le niveau fondamental et le premier niveau excité corresponde à de la lumière bleue ? À de la lumière rouge ?
Exercice 9 : Longueur d’onde λ
dBthermique et dégénérescence quantique
On sait depuis 1995 réaliser un état de la matière dans lequel un grand nombre (de l’ordre du mil- lion) d’atomes bosoniques (possédant un nombre pair de nucléons) sont tous le même état quantique : le
« condensat de Bose-Einstein ». Leur fonction d’onde commune est l’état fondamental du système réalisant leur confinement, chacune de ces fonctions d’ondes étant de plus en phase.
On détermine un ordre de grandeur de la température pour laquelle se phénomène se produit.
1. Dans un ensemble d’atomes de massemà la températureT(en K), on définit une longueur d’onde de de Broglie thermiqueλdBT caractérisant la longueur d’onde moyenne des atomes.
(a) Proposer par analyse dimensionnelle une expression deλdBT en fonction deT,m,het de la constante de BoltzmannkB=1,38·10−23J·K−1.
(b) En déduire un ordre de grandeur deλdBTpour un élève passant la porte de la cantine. Pourra-t-on observer un phénomène de diffraction ?
2. La condensation de Bose-Einstein se produit quand l’ensemble des atomes atteint le régime dit de
« dégénérescence quantique », dans lequel la longueurλdBTdevient comparable à la distance caracté- ristique, notéed, séparant les atomes.
(a) Déterminer par analyse dimensionnelle l’expression de la distanceden fonction du nombre de particules par m3notén.
(b) On piège un nombreNde particules dans une « boite » (au moyen de champs magnétiques et/ou de faisceaux lasers) cubique de côtéa. Établir en ordre de grandeur l’expression reliantN , Teta au seuil de condensation. Suffit-il que les atomes soient froids pour l’observer ?
(c) Calculer l’ordre de grandeur de la température, notéeTBEC, de condensation pour un nombre N=2·104d’atomes de Rubidium87Rb eta=20 µm.
Correction de l’exercice 1
1. Une puissancePde 1 kW correspond à une énergie de 1·103J par seconde. À la fréquencef=1 MHz, l’énergie de chaque photon est}ω = hf et le nombre de photons par seconde est donc dN
dt = P/(hf) =1,5·1030s−1.
2. On peut estimer la surface d’une pupille àS = 5 mm2, la puissance qu’elle reçoit est alorsP = 8,0·10−16W. L’énergie de chaque photon est}ω = hc/λet on calcule comme à la question précé- dentedN
dt =Pλ/(hc) =2,2·103s−1.
Correction de l’exercice 2
1. L’énergie du photon initial est égale à la somme du travail d’extraction et de l’énergie cinétique de l’électron extrait, soit :hc/λ=W+Ecin.
2. (a) On a
(hc
λ1 =W+Ecin1
hc
λ2 =W+Ecin2.
La différence de ces deux équations permet de calculerhen fonction dec, des longueurs d’onde et des énergies cinétiques. On retrouve bien la valeurh=4,1·10−15eV·s=6,63·10−34J·s.
(b) La somme des deux équations donne cette fois-ci :
W= hc
1 λ1 +λ1
2
−(Ecin1+Ecin2)
2 =1,74 eV.
(c) La longueur d’onde maximaleλmaxest celle pour laquelle l’énergie cinétique de l’électron est nulle.
On a donc :λmax= (hc)/W=0,71 µm.
3. La quantité de mouvement d’un photon estpp=h/λ, celle de l’électron est reliée à son énergie ciné- tique parpe=√
2meEcin. Dans le cas particulierλ=λmax, l’énergie cinétique et donc la quantité de mouvement de l’électron sont nulles : il ne peut donc pas y avoir conservation de la quantité de mou- vement totale de mouvement si on ne fait pas intervenir la quantité de mouvement de l’échantillon métallique.
Dans le cas général, notons respectivementpketpeles quantités de mouvement respectives de l’électron et de l’ensemble de l’échantillon,mKetmeleurs masses respectives ; les deux bilans de quantité de mouvement et d’énergie s’écrivent alors :
(hc
λ =W+2mp2K
K+2mp2e
h e
λ =pK+pe
.
PourλetWdonnés on peut résoudre et déterminerpKetpemais le fait quemK mepermet de négliger l’énergie l’énergie cinétique de l’échantillon devant celle de l’électron. On peut par exemple calculerpK à partir des valeurs deλetpede la première expérience (pK 'h/λ1−√
2meEcin1 =
−9,5·10−25kg·m·s−1) et vérifier que l’énergie cinétique de l’échantillon correspondante (EcinK = p2K/(2mK) = 3·10−27eV pour une masse de 1 g par exemple) est bien négligeable devant celle de l’électron.
Correction de l’exercice 3
1. L’énergie d’un photon s’écritε=hν = dhc
dλ. Avech =6,63·10−34J·s etc=3,00·108m·s−1, on obtient, pourλ=532 nm :ε=3,74·10−19J=2,33 eV.
2. La puissance du faisceau laser est le produit de l’énergie d’un photon par le nombre de photons émis par unité de temps :P = Φ×ε= Φ×hν. On a donc :Φ =Pε, soitΦ =2,7·1015photons/s.
3. Si un photon est converti en un électron de chargee(en valeur absolue), alors, la charge émise par unité de temps, c’est-à-dire l’intensité du courant, vaut :
I=δq dt= Φe.
On obtient, avece=1,6·10−19C, une intensitéI=4,3·10−4A. Si cette intensité parcourt une résis- tanceR, la tension récupérée aux bornes du dipôle vautU=RI. On a doncR=UI. La résistance doit être de l’ordre de 2,5 kΩ.
Correction de l’exercice 4
• On aλdB = h/petEcin = p2/(2me). On calcule doncλdB =h/√
2meEcin = 1,2·10−11m. Cette longueur est négligeable devant les caractéristiques géométriques du faisceau d’un oscilloscope catho- dique : son mouvement relève donc de la mécanique classique. En revanche cette taille est petite devant la taille d’un atome, et les distances interatomiques dans un solide de l’ordre de 1 Å=1·10−10m. On pourra utiliser un tel faisceau pour observer la structure d’un cristal par diffraction.
• Pour une vitesse de l’ordre de 10 m·s−1on calcule, pour une masse de 65 kg,λdB =1,0·10−36m, négligeable devant la taille des portes et leur séparation. On ne pourra pas réaliser d’interférences avec ce dispositif évidemment. Pour une longueur d’onde de 1 m, il faudrait une vitesse de l’ordre dev= p/m=h/(λm) =1,0·10−35m·s−1. Comme on le verra à l’exercice 9, il faut en plus que la vitesse caractéristique de l’agitation thermique de chacune des molécules soit du même ordre, ce qui impose une température proche de 0 K, où la vie n’est plus possible…
Correction de l’exercice 5
1. On ap=}kdB=mv, soitkdB=mv/(}).
2. On a par ailleursE=mv2/2 =}ωdB, soitωdB=mv2/(2}).
3. La vitesse de phase est alorsc=ωdB/kdB =v/2: elle diffère de la vitesse de la particule qui est en fait la vitesse de groupe associée à l’onde de matière.
Correction de l’exercice 6
On illustre sur la figure ci-dessous la détermination des vitesses de phasevϕet de groupevgen étudiant respectivement la vitesse de chaque arche individuelle et celle du paquet d’ondes.
−2 0 2 x(µm)
Re(Ψ)
t=−1 µs
−2 0 2 x(µm) t=−0,5 µs
−2 0 2 x(µm)
t=0 µs
−2 0 2 x(µm)
t=0,5 µs
−2 0 2 x(µm)
t=1 µs
vϕ∆t
vg∆t
Fig. 3 : Lecture des vitesses de phase et de groupe pour l’onde de matière. Le principe est le même pour l’onde non dispersive.
1. Les deux systèmes représentent un paquet d’ondes. On y distingue une pseudo-période spatiale qui correspond donc à la longueur d’onde de la fréquence prédominante dans le paquet. On litλ=0,93 µm.
2. On considère que l’évolution des arches reproduit celle de la composante sinusoïdale prépondérante.
On observe que :
• Pour lesystème arbitraire, le passage par 0 flanc descendant d’une arche progresse de 2 µm en 2 µs, soit une vitessevϕ=1 m·s−1.
• Pour l’onde de matière, le passage par 0 flanc montant d’une arche particulièreiprogresse de 1 µm en 2 µs, soit une vitesse devϕ=0,5 m·s−1.
Ces vitesses correspondent à la vitesse de phase de la composante sinusoïdale prépondérante.
3. La vitesse de groupe est celle à laquelle se déplace le sommet du paquet d’ondes. Elle est la même dans les deux cas et vautvg =1 m·s−1. On retrouve que la vitesse de phase est la moitié de celle de groupe pour une onde de matière.
Correction de l’exercice 7
1. Plus les fentes sont proches, plus on doit observer des angles élevés pour obtenir une interférence constructive :idoit être donc croissante quandidécroît. De plus, plus on observe loin plus la sépara- tion entre les franges sera importante :iest croissante avecD. L’expression la plus simple qu’on puisse postuler est :i=λdBdD. C’est effectivement la bonne expression pourDélevée.
2. Pour cette valeur dei, on calculeλ=diD '55 nm.
3. (a) Avec l’expressionλdB=h/p=h/(mv), on déterminev'h/(mλdB) =3·10−1m·s−1. (b) Au cours d’une chute libre dans le vide avec vitesse initiale nulle, la vitesse s’exprime en fonction
de la position parv=√
2gx. Une chute de l’ordre de 1 m donnera donc une vitesse de 4,4 m·s−1 sensiblement plus élevée.
Cependant dans le modèle considéré on prend une longueur d’onde de de Broglie constante sur tout le trajet de la particule alors que celle-ci accélère au cours de sa chute, ce qui conduit à une diminution de sa longueur d’onde de de Broglie au cours de la chute. Ceci est qualitativement en accord avec l’expression de l’interfrange qui correspond à une vitesse « moyenne » sur la trajectoire inférieure à celle à l’impact sur l’écran.
i. On peut aussi regarder le sommet d’une arche particulière mais la vitesse obtenue ainsi n’est qu’une approximation de la vitesse de phase
Correction de l’exercice 8
1. Écrivons la conservation de l’énergie lors du passage d’un étatnà un étatm < n, en émettant un photon d’énergie~ω:
~ω=E(n)−E(m).
2. L’énergie de l’électron est ici purement cinétique, de la formeE = p2
2m. Nous avons vu dans le cours que, pour une particule libre (énergie potentielle nulle), confinée sur un segment de longueur`, on peut écrire, d’une part, la relation de Planck-Einsteinp= h
λ, et, d’autre part, la prise en compte des conditions aux limites, soitλ= 2`
n avecnentier. L’énergie est repérée par un indice entier positif et de la forme :E(n) = n2h2
8me`2.
3. Prenonsn= 2etm= 1, on a alors :
~ω21=(22−12)h2 8me`2 h
2π 2πc λ21
= 3h2 8me`2 λ21=8mec`2
3h .
La longueur est donc donnée, en fonction des autres paramètres, par :
`= s
3hλ 8mec.
• Pour le bleu, prenonsλ=450 nm, on obtient`=6,4·10−10m.
• Pour le rouge, prenonsλ=750 nm, on obtient`=8,2·10−10m.
Ces dimensions sont de l’ordre de grandeur des dimensions d’un atome ou du paramètre de maille d’un cristal usuel.
Correction de l’exercice 9
1. (a) On doit avoirλdB=h/√
mkBT, l’expression utilisée le plus souvent étantλdBT =h/√ 2πmkBT. (b) On calcule, pour 50 kg etT = 310 K,λdBT = 5,7·10−25m négligeable devant la taille d’une
porte : on n’observera pas de diffraction.
Cette expression est celle qu’il faudrait prendre si l’élève formait un seul objet quantique. Il est plus logique de prendre ici une masse correspondant à un atome, de carbone par exemple. On obtient alors 3·10−11m, toujours négligeable devant la taille de la porte.
2. (a) On a immédiatementd'n−1/3.
(b) Au seuil de condensation, on aλdBT ' d, soitnλdBT ' 1. Avecn' N/a3, cette condition s’écrit :
N T3/2 '
a√ mkB h
3
(c) On obtient :
T 'N2/3 h
q√ mkB
2
=0,4 µK.
La première condensation de Bose-Einstein a effectivement été observée en 1995 par l’équipe de E. Cornell du JILA pour une température de 170 nK et des paramètres comparables.
