A2839***** - Commutations à la chaîne
Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P[Q(x)] = Q[P(x)].
On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x) dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1, par exemple P1(x) = x et P2(x) = x²-1
Q1 - Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P2(x) = x²-a et P3(x) sont commutables
Q2 - Avec la valeur de « a » ainsi trouvée dans Q1, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P2(x) = x²-a
Application numérique :
Déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x).
Q₃ - Pour les plus courageux :
Démontrer que dans la suite des polynômes P₁, P₂, P₃, …, Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables, 2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j
Proposition de Marc Humery
P1(x) = x ; ∀Q(x), P1∘Q(x) = Q(x) et Q∘P1(x) = Q(x) => P1∘Q = Q∘P1 = Q => P1(x), Q(x) commutables et P1(x) est le polynôme neutre de l’opération ∘
Q1 - Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P2(x) = x²-a et P3(x) sont commutables
P2(x) = (x²-a) ; polynôme unitaire pair de degré 2 ; coefficient « a » inconnu P3(x) = (b3x3+b2x²+b1x+b0) ; b3 ≠ 0 ; 4 coefficients inconnus b0, b1, b2,b3
1/ P3∘P2(x) = P3(x²-a) = b3(x²-a)3+b2(x²-a)²+b1(x²-a)+b0
P3∘P2(x) = b3x6+(b2-3ab3)x4+(b1-2ab2+3a²b3)x²+(b0-ab1+a²b2-a3b3) = A6x6+A4x4+A2x²+A0 (polynôme pair) A6 = b3 ; A5 = 0 ; A4 = (b2-3ab3) ; A3 = 0 ; A2 = (b1-2ab2+3a²b3) ; A1 = 0 ; A0 = (b0-ab1+a²b2-a3b3)
2/ P2∘P3(x) = P3²(x)-a = (b3x3+b2x²+b1x+b0)²-a
P2∘P3(x) = b3²x6+2b3b2x5+(b2²+2b3b1)x4+2(b3b0+b2b1)x3+(b1²+2b2b0)x²+2b1b0x+(b0²-a) = B6x6+B5x5+ …+B2x²+B1x+B0 B6 = b3² ; B5 = 2b3b2 ; B4 = (b2²+2b3b1) ; B3 = 2(b3b0+b2b1) ; B2 = (b1²+2b2b0) ; B1 = 2b1b0 ; B0 = (b0²-a)
3/ P2(x) et P3(x) commutables ∀x ; P2∘P3(x) = P3∘P2(x) Bi = Ai ; i = 0 à 6 B6 = A6 b3² = b3 ≠ 0 => b3 = 1
B5 = A5 = 0 2b3b2 = 0 ; b3 = 1 => b2 = 0
B4 = A4 (b2²+2b3b1) = (b2-3ab3) ; b3 = 1 ; b2 = 0 => b1 = -(3a/2) < 0 B3 = A3 = 0 2(b3b0+b2b1) = 0 ; b3 = 1 ; b2 = 0 => b0 = 0
B2 = A2 (b1²+2b2b0) = (b1-2ab2+3a²b3) ; b3 = 1 ; b2 = 0 ; b1 ≠ 0 b0 = 0 => b1(b1-1) = 3a² En remplaçant b1 = -(3a/2) dans l’équation précédente, on trouve : a = 2 => b1 = -3
=> a = 2 ; b3 = 1 ; b2 = 0 ; b1 = -3 ; b0 = 0
=> P2(x) = (x²-a) = (x²-2) et P3(x) = (b3x3+b2x²+b1x+b0) = (x3-3x) polynôme unitaire impair
=> P2∘P3(x) = P3∘P2(x) = (x6-6x4+9x²-2) polynôme unitaire pair de degré 6 Résultat : a = 2 ; P2(x) = x²-2 ; P3(x) = x3-3x
Q2 - Avec la valeur de « a » ainsi trouvée dans Q1, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P2(x) = x²-a
P2(x) = (x²-2) ; Pk(x) = (akxk+ak-1xk-1+ … +a1x+a0) ; ak ≠ 0 ; (k+1) coefficients inconnus aj
1/ Pk∘P2(x) = Pk(x²-2) = ak(x²-2)k+ak-1(x²-2)k-1+ … +a2(x²-2)²+a1(x²-2)+a0 = ∑j=kj=0A2jx2j ; polynôme pair, degré 2k Pk∘P2(x) = [(k0)(-2)0ak]x2k + [(k−10 )(-2)0ak-1+(k1)(-2)1ak]x2(k-1) + [(k−20 )(-2)0ak-2+(k−11 )(-2)1ak-1+(k2)(-2)²ak]x2(k-2) + [(k−30 )(-2)0ak-3+(k−21 )(-2)1ak-2+(k−12 )(-2)²ak-1+(k3)(-2)3ak]x2(k-3)
+ [(k−40 )(-2)0ak-4+(k−31 )(-2)1ak-3+(k−22 )(-2)²ak-2+(k−13 )(-2)3ak-1+(k4)(-2)4ak]x2(k-4) + …
Après développement, on obtient :
Pk∘P2(x) =akx2k + (ak-1-2kak)x2(k-1) + [ak-2-2(k-1)ak-1+2k(k-1)ak]x2(k-2) + [ak-3-2(k-2)ak-2+2(k-1)(k-2)ak-1-4k(k-1)(k-2)ak/3]x2(k-3) + [ak-4-2(k-3)ak-3+2(k-2)(k-3)ak-2-4(k-1)(k-2)(k-3)ak-1/3 +2k(k-1)(k-2)(k-3)ak/3]x2(k-4) + …
Formule condensée donnant l’expression des coefficients Ai A2j = ∑i=(k−j)i=0 (-2)i (j+ii ) aj+i ; j = 0 à k
A2j-1 = 0 ; j = 1 à k
2/ P2∘Pk(x) = Pk²(x)-2 = (akxk+ak-1xk-1+ … +a1x+a0)²-2 = (B2kx2k + B2k-1x2k-1 + B2k-2x2k-2 + … + B3x3 + B2x² + B1x + B0) P2∘Pk(x) = ak²x2k + 2akak-1x2k-1 + (2akak-2+ak-1²)x2(k-1) + 2(akak-3+ak-1ak-2)x2k-3 + [2(akak-4+ak-1ak-3)+ak-2²]x2(k-2)
+2(akak-5+ak-1ak-4+ak-2ak-3)x2k-5 + [2(akak-6+ak-1ak-5+ak-2ak-4)+ak-3²]x2(k-3) + 2(akak-7+ak-1ak-6+ak-2ak-5+ak-3ak-4)x2k-7 +[2(akak-8+ak-1ak-7+ak-2ak-6+ak-3ak-5)+ak-4²]x2(k-4) + 2(akak-9+ak-1ak-8+ak-2ak-7+ak-3ak-6+ak-4ak-5)x2k-9
+[2(akak-10+ak-1ak-9+ak-2ak-8+ak-3ak-7+ak-4ak-6)+ak-5²]x2(k-5) + … + 2(a3a0+a2a1)x3 + (2a2a0+a1²)x² + 2a1a0x +(a0²-2)
Formules condensées donnant l’expression des coefficients Bi B2j = 2(∑i=inf(j ; k−j)a
i=0 j-i aj+i -δ0j)-(aj)² ; j = 0 à k ; δ0j = 0 et δ00 = 1 B2j-1 = 2(∑i=inf(j ; k−j)a
i=0 j+i aj-1-i) ; j = 1 à k
3/ ∀k ≥ 4 ; P2(x), Pk(x) commutables ∀x ; P2∘Pk(x) = Pk∘P2(x) Bi = Ai ; i = 0 à 2k j = 0 à k ; B2j = A2j => 2(∑i=inf(j ; k−j)a
i=0 j-i aj+i -δ0j)-(aj)² = ∑i=(k−j)i=0 (-2)i (j+ii ) aj+i ; (k+1 équations) (I) j = 1 à k ; B2j-1 = A2j-1 = 0 => 2(∑i=inf(j ; k−j)a
i=0 j+i aj-1-i) = 0 ; (k équations) (II) 4/ Valeur des coefficients successifs « ai » de Pk(x)
+ B2k = A2k => ak² = ak ≠ 0 => ak = 1
+ B2k-1 = A2k-1 = 0 => 2akak-1 = 0 ; or ak = 1 => ak-1 = 0
+ B2(k-1) = A2(k-1) => (2akak-2+ak-1²) = (ak-1-2kak) ; or ak = 1 ; ak-1 = 0 => 2ak-2 = -2k => ak-2 = -k/1!
+ B2k-3 = A2k-3 = 0 => 2(akak-3+ak-1ak-2) = 0 ; or ak = 1 ; ak-1 = 0 => 2ak-3 = 0 => ak-3 = 0 + B2(k-2) = A2(k-2) => 2(akak-4+ak-1ak-3)+ak-2² = ak-2-2(k-1)ak-1+2k(k-1)ak ; or ak = 1 ; ak-1 = 0
=> 2ak-4+ak-2² = ak-2+2k(k-1) ; or ak-2 = -k => 2ak-4+k² = 2k²-3k => ak-4 = +k(k-3)/2!
+ B2k-5 = A2k-5 = 0 => 2(akak-5+ak-1ak-4+ak-2ak-3) = 0 ; or ak = 1 ; ak-1 = ak-3 = 0 => 2ak-5 = 0 => ak-5 = 0 + B2(k-3) = A2(k-3) => 2(akak-6+ak-1ak-5+ak-2ak-4)+ak-3² = ak-3-2(k-2)ak-2+2(k-1)(k-2)ak-1-4k(k-1)(k-2)ak/3 Or ak = 1 ; ak-1 = ak-3 = 0 ; ak-2 = -k ; ak-4 = k(k-3)/2
=> 2(akak-6+ak-1ak-5+ak-2ak-4)+ak-3² = 2(ak-6+ak-2ak-4) = (2ak-6 -k3+3k²)
=> ak-3-2(k-2)ak-2+2(k-1)(k-2)ak-1-4k(k-1)(k-2)ak/3 = 2k(k-2) -4k(k-1)(k-2)/3 = (-4k3+18k²-20k)/3
=> (6ak-6-3k3+9k²) = (-4k3+18k²-20k) => 6ak-6 = -k3+9k²-20k = -k(k-4)(k-5) => ak-6 = - k(k-4)(k-5)/3!
+ B2k-7 = A2k-7 = 0 => 2(akak-7+ak-1ak-6+ak-2ak-5+ak-3ak-4) = 0 ; or ak = 1 ; ak-1 = ak-3 = ak-5 = 0 => 2ak-7 = 0 => ak-7 = 0
+ B2(k-4) = A2(k-4)=> 2(akak-8+ak-1ak-7+ak-2ak-6+ak-3ak-5)+ak-4² = ak-4-2(k-3)ak-3+2(k-2)(k-3)ak-2-4(k-1)(k-2)(k-3)ak-1/3 +2k(k-1)(k-2)(k-3)ak/3
Or ak = 1 ; ak-1 = ak-3 = 0 ; ak-2 = -k ; ak-4 = k(k-3)/2 ; ak-6 = -k(k-4)(k-5)/6
=> 2(akak-8+ak-1ak-7+ak-2ak-6+ak-3ak-5)+ak-4² = (24ak-8+7k4-54k3+107k²)/12
=> ak-4-2(k-3)ak-3+2(k-2)(k-3)ak-2-4(k-1)(k-2)(k-3)ak-1/3 +2k(k-1)(k-2)(k-3)ak/3 = (8k4-72k3+214k²-210k)/12
=> 24ak-8+7k4-54k3+107k² = 8k4-72k3+214k²-210k => ak-8 = +k(k-5)(k-6)(k-7)/4!
Cette méthode de résolution en cascade descendante de chaque équation successive montre que la valeur de chaque coefficient ai est déterminable et unique.
Le polynôme unitaire Pk(x) = xk+ak-2xk-2+ak-4xk-4+ … défini par ses coefficients est unique.
ak = 1 ; ak-2 = - k/1! ; ak-4 = k(k-3)/2! ; ak-6 = - k(k-4)(k-5)/3! ; ak-8 = k(k-5)(k-6)(k-7)/4! ; …
Application numérique : coefficients des 4 monômes de degrés les plus élevés de P2021(x) k = 2021 => P2021(x) = a2021x2021 + a2019x2019 + a2017x2017 + a2015x2015 + …
ak = 1 => a2021 = 1 ak-2 = -k => a2019 = -2021
ak-4 = k(k-3)/2! => a2017 = 2021 x 1009 = 2 039 189
ak-6 = - k(k-4)(k-5)/3! => a2015 = - 2021 x 2017 x 336 = -1 369 655 952
Hypothèse heuristique :
Construction des polynômes commutables Pk(x) = xk+ak-2xk-2+ak-4xk-4+ … avec la relation de récurrence :
∀k ≥ 2 ; Pk(x) = xPk-1(x)-Pk-2(x) ; conditions initiales : P0(x) = a ; P1(x) = x Développement :
P2(x) = xP1(x)-P0(x) = x²-a
P3(x) = xP2(x)-P1(x) = x(x²-a)-x = x3-(a+1)x
P4(x) = xP3(x)-P2(x) = x4-(a+1)x²-(x²-a) = x4-(a+2)x²+a
P5(x) = xP4(x)-P3(x) = x5-(a+2)x3+ax-[x3-(a+1)x] = x5-(a+3)x3+(2a+1)x
Condition sur P0(x) = a pour que P2∘P3(x) = P3∘P2(x)
P2∘P3(x) = P3(x)[P1∘P3(x)]-P0∘P3(x) = P3²(x)-a = [x3-(a+1)x]²-a = x6-2(a+1)x4+(a+1)²x²-a P3∘P2(x) = P2(x)[P2∘P2(x)]-P1∘P2(x) = P2(x)[P2²(x)-a]-P2(x) = P23(x)-(a+1)P2(x)
P3∘P2(x) = (x²-a)3-(a+1)(x²-a) = (x6-3ax4+3a²x²-a3)-(a+1)x²+a(a+1) = x6-3ax4+(3a²-a-1)x²-(a3-a²-a) -2(a+1) = -3a => a-2 = 0
(3a²-a-1) = (a²+2a+1) => 2a²-3a-2 = 0 -a(a²-a-1) = -a => a²-a -2 = 0
Résultat : P0(x) = a = 2 => P2(x) = x²-2 ; P3(x) = x3-(a+1)x = x3-3x On déduit : P4(x) = x4-4x²+2 ; P5(x) = x5-5x3+5x ; …
Pour démontrer complètement la conjecture sur la construction des polynômes commutables Pk(x), il faudrait démontrer que ∀k ≥ 4 ; P2∘Pk(x) = Pk∘P2(x)
Propriété anecdotique de Pk(x) : ∀k ≥ 1 ; Pk(2) = 2 P1(x) = x => P1(2) = 2 ; P2(x) = x²-2 => P2(2) = 2 Supposons Pj(2) = 2 pour j = 1 à k-1
Pk(x) = xPk-1(x)-Pk-2(x) => Pk(2) = 2Pk-1(2)-Pk-2(2) = 4-2 = 2 vraie pour j = k => vraie ∀k ≥ 1
Q₃ - Démontrer que dans la suite des polynômes P₁, P₂, P₃, …, Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj
pris deux à deux sont commutables, 2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j
