On dénit une application linéaire Ψ de R [X] dans R par :

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème est la dénition et une première étude des polynômes de Bernoulli.

Lorsque P et Q sont deux polynômes à coecients réels, on notera P b (Q) le polynôme obtenu en substituant dans l'expression de P chaque occurrence de X par Q . Si u ∈ R, le réel obtenu en substituant dans l'expression de P chaque occurrence de X par u sera noté P e (u) .

On dénit une application linéaire Ψ de R [X] dans R par :

∀k ∈ N , Ψ(X

^k

) = 1 k + 1 On dénit une application Φ par :

Φ :

( R [X ] → R [X ] P → P b (1 − X )

1. Soit n un entier naturel. Montrer que

n

X

k=0

n k

(−1)

^k

k + 1 = 1

n + 1

2. a. Préciser Ψ(P ) pour P = a

0

+ a

1

X + · · · + a

p

X

^p

∈ R [X] . b. Montrer que Ψ ◦ Φ = Ψ .

c. Montrer que Ψ(P

⁰

) = P(1) e − P e (0) pour tout polynôme P ∈ R [X ] .

3. a. Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes (dits de Bernoulli) à coecients réels (B

_n

)

_n∈

N

vériant

(i) B

0

= 1

(ii) ∀n ∈ N

^∗

, B

_n⁰

= nB

_n−1

(iii) ∀n ∈ N

^∗

, Ψ(B

n

) = 0

La notation B

_n

pour désigner un de ces polynômes est valable pour tout le reste du problème. On utilisera aussi b

n

= B e

n

(0) pour tout naturel n .

b. Expliciter B

1

, B

2

, B

3

et b

0

, b

1

, b

2

, b

3

.

c. Déterminer, pour tout entier naturel n , le degré et le coecient dominant de B

_n

. 4. a. Montrer que B f

n

(1) = B f

n

(0) pour tout naturel n autre que 1 .

b. Montrer que Φ(B

_n

) = (−1)

ⁿ

B

_n

pour tout entier naturel n .

c. Montrer que b

n

= 0 pour tous les n impairs autres que 1 . 5. a. Montrer que, pour tout naturel n ,

B

n

=

n

X

k=0

n k

b

n−k

X

^k

b. Montrer que, pour tout naturel p supérieur ou égal à 2 ,

b

_2p

= − 1 (p + 1)(2p + 1)

2p−2

X

k=0

2p + 2 k

b

_k

c. Calculer b

₄

.

6. Montrer que, pour tous les naturels n , B

_n

= 2

ⁿ⁻¹

B c

_n

( X

2 ) + B c

_n

( X + 1 2 )

7. Soit p un naturel non nul.

a. Montrer que B

2p

admet exactement deux racines dans [0, 1] . Montrer que B

2p+1

admet exactement trois racines (à préciser) dans [0, 1] . b. Montrer que sup

_[0,1]

|g B

_2p

| = |b

_2p

| .

c. Montrer que sup

_[0,1]

| B ^

2p+1

| ≤

^2p+1₂

|b

2p

| . 8. a. Montrer que :

∀n ∈ N

^∗

: B c

n

(X + 1) − B

n

= nX

ⁿ⁻¹

b. Soit p un naturel non nul. Exprimer P

n

k=0

k

^p

à l'aide de polynômes de Bernoulli.

c. En déduire une expression de P

n

k=0

k

⁴

en fonction de n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Abernou1