MPSI B Année 2015-2016 DM 10 pour le vendredi 12/02/16 29 juin 2019
Pour tout entier naturel n , on dénit le polynôme Q n à coecient complexes par
1: Q n = 1
2i (X + i) n+1 − (X − i) n+1 1. a. Déterminer le degré de Q n et son coecient dominant.
b. Quel est le polynôme obtenu en substituant −X à X dans Q n ? Que peut-on en déduire pour l'ensemble des racines de Q n ?
2. Soit r ∈ N
∗et p ∈ J 0, r K. Préciser le coecient de X 2r−2p dans Q 2r puis S r ∈ R [X ] tel que
Q 2r = c S r (X 2 ) Le chapeau traduit la substitution de X par X 2 dans S r .
3. En faisant intervenir l'ensemble U n+1 des racines n + 1 -ièmes de l'unité, déterminer les racines complexes de Q n . En déduire la décomposition de Q n en facteurs irréductibles de R [X ] .
4. Soit r ∈ N
∗. Prouver les égalités suivantes :
r
X
k=1
cotan kπ 2r + 1
2
= r(2r − 1)
3 ,
r
X
k=1
1
sin 2r+1 kπ 2 = 2r(r + 1) 3
5. Établir les inégalités
∀x ∈ i 0, π
2 h
: (cotan x) 2 ≤ 1
x 2 ≤ 1 (sin x) 2 6. Soit r ∈ N
∗. Déduire de la question précédente un encadrement de
r
X
k=1
1 kπ 2r+1
2
7. Pour tout entier naturel non nul n , on pose S n =
n
X
k=1
1 k 2
Montrer la convergence de (S n ) n∈N∗ et préciser sa limite.
1
pour les origines de cette idée, voir le chapitre de Raisonnements divins de M. Aigner et G.M. Ziegler (Springer)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/