Université Cadi Ayyad Faculté PolyDisciplinaire -Safi-
Département de Maths-Info Série No 4 A.U : 2019/2020
Dans ce qui suit, un anneau est toujours commutatif et possède un élément unité, noté en général 1.
Exercice 1. SoitAun anneau et(In)n>0une suite croissante d’idéaux de type fini. Montrer queI= [
n>0
Inest de type fini si et seulement si la suite est stationnaire.
Exercice 2. 1. SoientAetBdeux anneaux tel queAest Noethérien,φ∈Hom(A, B)surjectif. Montrer que B est noethérien.
2. Soit A un anneau. SiA[X]est Noethérien. Montrer que A est Noethérien.
3. Montrer que les anneaux suivants sont Noethérien : a Z[i] ={a+ib; (a, b)∈Z2},
b l’anneau des fractions rationnelles n’ayant pas de pôle sur le cercle unitaire.
Exercice 3. SoitAun anneau etI un idéal deA.
1. Soita∈A. Montrer que siI+ (a)et (I:a)est de type fini alors I est de type fini.
2. SoitE={I idéal deA, In’est pas de type fini}. Montrer que siE6=∅alors possède un éléments maxi- mal et que cet élément est premier.
3. Déduire que : Aest Noethérien si et seulement si tout idéal premier est de type fini.
Exercice 4. SoientM unA-module Noethérien etφun endomorphisme deM. Montrer qu’il existe un entiern tel que Kerφn∩Imφn={0}.
Exercice 5. SoitAun anneau intègre et Noethérien. On suppose queA admet un unique idéal maximalM et que cet idéal est engendré par un élément non nula.
1. Montrer que u∈UAsi et seulement siu /∈m.
2. Montrer que tout élément non nul xde A s’écrit d’une manière unique sous la forme x=uan oùu∈UA
etn∈N.
Exercice 6. SoitAun sous-anneau d’un anneauBsur lequelBest entier surA. SoitSune partie multiplicative deA. Montrer queS−1B est entier surS−1A.
Exercice 7. SoitAun sous-anneau d’un anneauB sur lequelB est entier surA.
1. Supposons queB est un D.I, montrer que :Aest un corps si et seulement siB est un corps.
2. SoitQun idéal premier deB. Montrer queQest maximal si et seulementA∩Qest maximal.
Exercice 8. Montrer que la courbe paramétrée C donnée par
x(t) =t; y(t) =t2; z(t) =t3. t∈K, est algébrique.
Pr. Mohammed Karmouni Page 1/1 SMA, S6, Alg. Commutative
