6.1 Polynômes à une indéterminée sur un anneau commutatif

Chapitre 6

Polynômes

6.1 Polynômes à une indéterminée sur un anneau commutatif

SiAest un anneau intègre de corps des fractionsK, l’ensemble des éléments deK[X] dont tous les coefficients appartiennent àAen forme un sous-anneau que nous avons notéA[X]. (C’est un exercice facile laissé au lecteur ; d’ailleurs, il se déduit de l’un des résultats qui vont suivre : lequel ?) Plus généralement, on a introduit¹dans les exemples de la section 2.1 l’anneauA[X]des polynômes à coefficients dans n’importe quel anneau commutatifA. L’application principale en L3 concerne le cas oùAest factoriel, que nous étudierons à la section suivante.

6.1.1 Propriétés générales

Rappelons qu’un élément deA[X]est une expression de la forme ∑

i≥0aiXⁱ, où lesaisont nuls à partir d’un certain rang, autrement dit(ai)i≥0∈A^(N). On convient que l’égalité : ∑

i≥0a_iXⁱ= ∑

i≥0b_iXⁱ équivaut à la suite d’égalités :∀i∈N, ai =bi. De plus, siai=0 pour tout i>n, on abrège la notation ci-dessus en posant ∑

i≥0a_iXⁱ=: ∑ⁿ

i=0a_iXⁱ=a₀+· · ·+a_nXⁿ.

La structure algébrique deA[X]provient des deux lois de composition interne suivantes (addi- tion et multiplication) :

∑

i≥0

aiXⁱ+

∑

i≥0

biXⁱ:=

∑

i≥0

(ai+bi)Xⁱ,

i≥0

∑

a_iXⁱ

!

×

∑

i≥0

b_iXⁱ

! :=

∑

i≥0

∑

j+k=i

a_jb_k

! Xⁱ.

Théorème 6.1.1 (i) On obtient ainsi un anneau commutatif (A[X],+,×). L’élément neutre de l’addition est0 := ∑

i≥00Xⁱ. L’opposé de ∑

i≥0aiXⁱest ∑

i≥0(−ai)Xⁱ. L’élément neutre de la multiplica- tion est (avec la notation de Kronecker)1 := ∑

i≥0

δ_i,0Xⁱ. (ii) L’applicationa7→ ∑

i≥0(aδi,0)Xⁱest un isomorphisme deAsur le sous-anneau deA[X]formé des

1. Comme déjà remarqué, on ne peut parler d’une véritabledéfinitiondans la formulation de ces exemples : voir pour cela RW1 et RW2.

polynômes ∑

i≥0aiXⁱtels queai=0pouri>0. On identifieAà ce sous-anneau, dont les éléments sont appelés polynômes constants.

(iii) SoitA^′un sous-anneau deA. Le sous-ensembleA^′[X]deA[X]en est un sous-anneau.

Preuve. -La démonstration est entièrement mécanique et laissée au lecteur.

La dernière assertion permet de retrouver le cas d’un anneau intègreAde corps des fractions K : on voit queA[X]est bien un sous-anneau deK[X]. Dans les deux énoncés qui suivent, nous notons, pour tout idéalIdeA:

IA[X]:=

(

∑

i≥0

a_iXⁱ∈A[X]| ∀i∈N, a_i∈I )

.

Proposition 6.1.2 Soit f:A→Bun morphisme d’anneaux. Alors l’application ∑

i≥0aiXⁱ7→ ∑

i≥0f(ai)Xⁱ est un morphisme d’anneaux deA[X]dansB[X]. Son image estB^′[X], oùB^′:=Imf. Son noyau estJA[X], oùJ:=Kerf.

Preuve. -La démonstration est entièrement mécanique et laissée au lecteur.

Corollaire 6.1.3 SoitIun idéal quelconque de l’anneauA. Le morphismeA[X]→(A/I)[X]déduit du morphisme canoniqueA→A/I est surjectif de noyauIA[X]. En particulier,IA[X]est un idéal deA[X]etA[X]/IA[X]≃(A/I)[X].

Preuve. -Appliquer la proposition àB:=A/I.

Notations de base. Si P:= ∑

i≥0aiXⁱ n’est pas nul et sin∈N est le plus grand indice tel que a_n6=0, on pose :

degP:=n (degré deP),

tdP:=anXⁿ (terme dominant deP), cdP:=a_n (coefficient dominant deP).

On posera de plus deg 0 :=−∞; mais les expressions td(0) et cd(0)ne sont pas définies. Ces notations servent surtout siAest un anneau intègre :

Proposition 6.1.4 SoitAun anneau intègre et soientP,Q∈A. Alors : deg(P+Q)≤max(degP,degQ),

deg(PQ) =degP+degQ, td(PQ) = (tdP)(tdQ), cd(PQ) = (cdP)(cdQ).

De plus, sidegP6=degQ, la première inégalité devient une égalité. Plus généralement, le seul cas où ce n’est pas une égalité est celui où td(P) =−td(Q).

Preuve. -La démonstration est entièrement mécanique et laissée au lecteur.

Corollaire 6.1.5 Les inversibles deA[X]sont les éléments deA^∗(l’anneauAétant toujours sup- posé intègre).

Preuve. -En effet, siPQ=1 alors deg(P) +deg(Q) =0, donc deg(P) =deg(Q) =0,i.e. PetQ sont constants : la conclusion vient facilement.

Les exemples suivants montrent que l’hypothèse d’intégrité n’est pas superflue.

Exemples 6.1.6 1. PrenonsA=Z/6Z,P:=1+˙2XetQ:=1+˙3X. AlorsPQ=1+˙5X, donc degPQ=degP+degQ−1.

2. PrenonsA=Z/4ZetP:=1+˙2X. AlorsP²=1, doncPest inversible.

Exercice 6.1.7 (Cours) Montrer que quatre formules restent vraies sur un anneau quelconque (non supposé intègre), à condition, pour les trois dernières, que l’on suppose que cd(P)ou cd(Q) n’est pas diviseur de zéro.

6.1.2 Division euclidienne dans A[X]

Proposition 6.1.8 SoitAun anneau commutatif. (On ne suppose pasAintègre !)

(i) SoitP∈A[X]non nul, de terme dominant td(P) =aXⁿ. Pour toutF∈A[X], il existek∈Net

Q,R∈A[X]tels que : (

a^kF=PQ+R, degR<degP. On peut prendrek:=max(0,1+degF−degP).

(ii) Sia=cd(P)est inversible, on peut prendrek=0; etQ,Rsont alors uniques.

Preuve. -(i) Si degF<degP, on prendk=0,Q=0 etR=F.

Si degF≥degP, on élimine le terme dominant en posantF₁:=aF−cd(F)X^degF−degPP, qui est de degré degF₁<degF. Par récurrence, on peut donc supposer quea^k1F₁=PQ₁+R, degR<degP, avec k₁:=max(0,1+degF₁−degP). On en tire a^kF=PQ+R aveck=k₁+1 etQ=Q₁+ a^k1cd(F)X^degF−degP.

(ii) Siaest inversible, on déduit de l’égalité précédenteF=P(a^−kQ) +a^−kR, avec dega^−kR= degR<degP. Pour prouver l’unicité, on supposePQ+R=PQ₁+R₁avec degR,degR₁<degP.

On a alors degP(Q−Q₁)<degP, ce qui n’est possible que siQ−Q₁=0 : en effet, le coefficient dominanta=cd(P)ne peut vérifiera×cd(Q−Q₁) =0.

Exemples 6.1.9 1. On prend A=Z[X], P=2X+1 et F =X³+X²+X+1. Alors 8F= P(4X²+2X+3) +5.

2. On prendA=K[X,Y],P=XY+1 etF=X³+X²+X+1. Le calcul se mène ainsi : Y F=X²P+F1,oùF1= (Y−1)X²+Y X+Y,

Y F₁= (Y−1)X P+F₂,oùF₂= (Y²−Y+1)X+Y², Y F₂= (Y²−Y+1)P+F₂,oùF₂=Y³−Y²+Y−1,

Y³F=Y²(Y F−F₁) +Y(Y F1−F₂) +Y F₂=P(Y²X²+Y(Y−1)X+ (Y²−Y+1)) + (Y³−Y²+Y−1).

3. SiP∈Z[X]est tel queP(i) =0 alorsP∈(X²+1)Z[X].

Exercice 6.1.10 Comment déduire rigoureusement le premier exemple du second ?

6.2 Polynômes sur un anneau factoriel

Dans toute cette section, l’anneauAest supposé factoriel. On suppose de plus choisi un en- semblePde représentants des irréductibles deApour la relation d’association (voir les sections 5.1 et 5.3 du chapitre 5). On noteraP⁺l’ensemble des produits d’éléments deP:

P⁺:={p1· · ·pk|k∈Net p₁, . . . ,pk∈P}.= (

∏

p∈P

p^rp|(rp)∈N^(P) )

.

Ainsi, pour une famille quelconque(ai)d’éléments deA,lepgcd desa_iest bien défini et c’est un élément deP⁺; et lesaisont premiers entre eux dans leur ensemble si, et seulement si, leur pgcd est égal à 1.

Exercice 6.2.1 (Cours) Démontrer ces affirmations concernantK.

Définition 6.2.2 (i) On appellecontenud’un polynôme non nul deA[X]le pgcd de ses coefficients.

On noterac(F)le contenu du polynômeF.

(ii) Le polynôme non nul deA[X]est ditprimitif si ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Le polynômeFest donc primitif sic(F) =1.

Lemme 6.2.3 Tout polynôme non nulF∈A[X]s’écrit de manière uniqueF=cF, où˜ c∈P⁺et oùF˜ est primitif ; le facteurcest égal au contenuc(F).

Preuve. -L’égalité∑a_iXⁱ=c∑a˜_iXⁱavecc∈P⁺et les ˜a_ipremiers entre eux dans leur ensemble équivaut à∀i, ai=ca˜i, donccdoit être le pgcd desai.

Théorème 6.2.4 (Gauß) (i) Le produit de deux polynômes primitifs est un polynôme primitif.

(ii) SoientF,G∈A[X]deux polynômes non nuls. Alorsc(FG) =c(F)c(G)etFGf =F˜G.˜

Preuve. -(i) SupposonsF,G∈A[X]primitifs. On va démontrer par l’absurde que les coefficients deFG sont premiers entre eux dans leur ensemble. Sinon, il existerait p∈Pqui divise tous les coefficients deFG. Notant Bl’anneau intègreA/(p), cela revient à dire que l’imageFGdeFG par le morphismeA[X]→B[X]est nulle. Mais cette image est égale àF×G, doncFouGest nul, i.e. pdivisec(F)ouc(G), contradiction. (On peut aussi raisonner plus directement : siai, resp.bj

sont les coefficients deF, resp.Gnon multiples depde plus grands indices, alors le coefficient de FGd’indicei+jn’est pas multiple de p.)

(ii) On écrit en vertu le lemme ci-dessusF=c(F)F˜ etG=c(G)G, d’où˜ FG=c(F)C(G)F˜G˜= c(FG)FG, d’où, puisque ˜f FG˜ est primitif, les égalités voulues (toujours en vertu du lemme).

Extension au corps des fractions. Soit K le corps des fractions deA. On noteraP^∗ le sous- groupe deK^∗engendré parP:

P^∗= (

∏

p∈P

p^rp|(rp)∈Z^(P) )

.

Tout élément a∈K^∗ admet alors une unique écriture a=εa^′ avec ε∈A^∗ et a^′ ∈P^∗. D’autre part, toute famille(ai)d’éléments non tous nuls deK admet un unique “pgcd”c∈P^∗tel que les bi:=c⁻¹aisont des éléments deApremiers entre eux dans leur ensemble.

Corollaire 6.2.5 (i) Tout polynôme non nul F ∈K[X] admet une unique écriture F =cF, où˜ c∈P^∗et oùF˜∈A[X]est primitif.

(ii) On a encore les formulesc(FG) =c(F)c(G)etFGf =F˜G.˜

La constantec(F)∈P^∗est encore appeléecontenu de F.

Corollaire 6.2.6 SoitF∈K[X]. AlorsF∈A[X]⇔c(F)∈A.

Corollaire 6.2.7 SoitF∈K[X]. AlorsFK[X]∩A[X] =FA[X].˜

Lemme 6.2.8 (i) Les éléments irréductibles deAsont premiers dansA[X].

(ii) Les polynômesF∈A[X]qui sont primitifs dansA[X]et irréductibles dansK[X]sont premiers dansA[X].

Preuve. -(i) Soit p∈P(il suffit évidemment de considérer ce cas). Si p|FG,F,G∈A[X]alors on peut écrireFG= pH, H ∈A[X], donc, en prenant les contenus : pc(H) =c(F)c(G), donc p|c(F)c(G)dansA, donc p|c(F)oup|c(G)dansA(car pest premier dansA) donc p|Fou p|G dansA[X](clair).

(ii) SoitH∈A[X] primitif dansA[X] et irréductible dansK[X]et supposons queH|FG, F,G∈ A[X]. AlorsH|FGdansK[X]; commeH est irréductible, donc premier, dansK[X], on en déduit par exemple queH|F dansK[X](le cas où H|G se traitant de la même manière). On écrit donc F=HL,HL∈K[X]. En prenant les contenus, on trouve quec(F) =c(H)c(L) =c(L), puisqueH est primitif. Doncc(L)∈A, doncL∈A[X], doncH|FdansA[X].

Théorème 6.2.9 L’anneauA[X]des polynômes sur l’anneau factorielAest factoriel. Ses irréduc- tibles sont d’une part les éléments irréductibles deA, d’autre part les polynômes primitifs dans A[X]qui sont irréductibles dansK[X].

Preuve. -Tout d’abord, il est clair que tout élément irréductible deA[X]est de l’une des formes indiquées. D’après le lemme, on voit donc que tout élément irréductible deA[X]est premier.

Soit maintenantF∈A[X] non nul et non inversible. Si degF=0, c’est un élément de l’anneau factorielA, donc un produit d’irréductibles deA, donc deA[X]. Si degF≥1, c’est un produit d’ir- réductibles deK[X]:F=G₁· · ·Gk. On en déduit que ˜F=G˜₁· · ·G˜k; or chaque ˜Giest irréductible dansK[X](car associé àGi) et primitif (par définition) donc ˜F est un produit d’irréductibles de A[X]. Il en est de même dec(F)(premier cas, ou cas spécialc(F) =1), donc deF=c(F)F.˜ Corollaire 6.2.10 Les anneauxZ[X1, . . . ,Xn]etK[X1, . . . ,Xn]sont factoriels.

Exercice 6.2.11 Vérifier que tout élément irréductible deA[X]est de l’une des formes indiquées.

Choix d’un ensemble de représentants des irréductibles deA[X]. Il suffit de prendre les élé- ments dePd’une part, et d’autre part les polynômes primitifs dansA[X]qui sont irréductibles dans K[X]en imposant de plus que leur coefficient dominant soit dansP⁺.

6.3 Idéaux premiers de C[ X , Y ]

On va décrire, en vue d’applications à la géométrie, tous les idéaux premiers deC[X,Y]. Le résultat demeure d’ailleurs valable si l’on remplaceCpar n’importe quel corps algébriquement clos. Notons que C[X,Y]est factoriel d’après la section précédente.

Lemme 6.3.1 SoitSune partie multiplicative d’un anneau intègreAne contenant pas0et soitB:=S⁻¹A (qui n’est donc pas trivial).

(i) Pour tout idéal premierPdeAtel queS∩P=/0, l’idéalQ:=S⁻¹PdeBest premier.

(ii) Pour tout idéal premierQdeB, l’idéalP:=Q∩AdeAest premier etS∩P=/0.

(iii) Les applicationsP7→S⁻¹PetQ7→Q∩Asont des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’en- semble des idéaux premiers deAqui ne rencontrent pasSet l’ensemble de tous les idéaux premiers de B=S⁻¹A.

Preuve. -La démonstration des assertions (i) et (ii) est entièrement mécanique et laissée au lecteur, ainsi que la preuve que, siQest un idéal premier deS⁻¹A, alorsQ=S⁻¹(Q∩A).

Il reste à vérifier que, siPest un idéal premier deAqui ne rencontre pasS, on aP= (S⁻¹P)∩A. Il est évident queP⊂(S⁻¹P)∩A. Soit réciproquementx∈(S⁻¹P)∩A. Doncx=p/s∈Aavecp∈Pets∈S.

Puisquesx=p∈Pets6∈P, on ax∈P(c’est un idéal premier), ce qu’il fallait démontrer.

Soit maintenantPun idéal premier deC[X,Y] =A[X], oùAdésigne l’anneau principalC[Y]. L’idéal P∩AdeAest premier (c’est le noyau du morphisme composéA→A[X]→A[X]/P, ce qui fait deA/(P∩ A)un sous-anneau de l’anneau intègreA[X]/P). Il est donc soit trivial, soit maximal et de la forme< f>

où f∈Aest premier.

Premier cas :P∩A=<f>. Ici,f(Y)est un polynôme irréductible, donc du premier degré (puisqueC est algébriquement clos) et l’on peut prendref=Y−b,b∈C. On a doncY−b∈P, donc(Y−b)A[X]⊂P.

L’idéal premierPest donc l’image réciproque d’un idéal premier de l’anneau : A[X]/(Y−b)A[X] ="

A/ <Y−b>

[X] =C[X], i.e.l’idéal trivial ou bien un<X−a>,a∈C.

En conclusion, dans ce cas,P=<X−a,Y−b>ouP=<Y−b>.

Deuxième cas :P∩A={0}. NotonsS:=A\ {0}etKle corps des fractions deA. D’après le lemme, P=Q∩A[X]oùQest un idéal premier deK[X], qui est principal. SiQest trivial, alorsPl’est également.

Sinon,Qest engendré par un polynôme irréductibleF(X)deK[X]. Appliquant les résultats de la section précédente, on voit quePest engendré par ˜F,i.e.par un polynôme irréductible deC[X,Y].

Théorème 6.3.2 les idéaux premiers deC[X,Y]sont l’idéal trivial{0}, les idéaux principaux<F>, où F(X,Y)est irréductible et les idéaux<X−a,Y−b>,a,b∈C.

Corollaire 6.3.3 Les idéaux maximaux de deC[X,Y]sont les idéaux<X−a,Y−b>,a,b∈C.

Corollaire 6.3.4 (Nullstellensatz de Hilbert, ici en dimension deux) SoitIun idéal propre deC[X,Y]. Il existe alors(a,b)∈C²tel que∀F∈I,F(a,b) =0.

Preuve. -En effet,Iest inclus dans un idéal maximal<X−a,Y−b>.

6.4 Exercices sur le chapitre 6

Exercice 6.4.1 SoientAun anneau intègre etSune partie multiplicative deA. Montrer que(S⁻¹A)[X]

etS⁻¹(A[X])sont isomorphes. On donnera un sens précis à la deuxième notation.

Exercice 6.4.2 1) Quels sont les facteurs irréductibles deX⁴−1, deX⁴+1, deX⁴+X²+1 dans Z[X], dansQ[X], dansR[X], dansC[X]?

2) Soita∈Z\ {0}. Montrer queX⁴+aX²−1 est irréductible dansZ[X].

Exercice 6.4.3 Montrer que le polynôme 1+aX est inversible dansA[X]si, et seulement si,aest nilpotent. Si 1+aX n’est pas inversible et siMun idéal maximal qui ne le contient pas (pourquoi en existe-t’il ?), montrer que P:=A∩M est un idéal premier de Aqui ne contient pas a. En déduire une nouvelle preuve du fait que le nilradical est l’intersection des idéaux premiers.

Exercice 6.4.4 Soitx∈Q. Quel est le noyau du morphismeP7→P(x)deZ[X]dansQ?

Exercice 6.4.5 Pour que l’anneau A[X]soit principal, il faut, et il suffit, queAsoit un corps. À quelle conditionA[X]est-il un corps ?

Exercice 6.4.6 SoitAun anneau factoriel et soita∈A. L’anneauA[X]/ <X²−a>est-il intègre ? Intégralement clos ? Factoriel ?

Exercice 6.4.7 1) SoientAun anneau factoriel etp∈Aun irréductible. SoitP=a₀Xⁿ+· · ·+an∈ A[X]tel quep6 |a0,p|a1, . . . ,p|anetp²6 |an. Démontrer quePest irréductible (critère d’Eisenstein).

2) Soitp∈Nun nombre premier. Démontrer que le polynômeP:=X^p−1+· · ·+1 est irréductible.

(Appliquer le critère d’Eisenstein au polynômeP(X+1).)

Exercice 6.4.8 SoientAun anneau factoriel de corps des fractionsK etF,G∈K[X]unitaires tels queFG∈A[X]. Démontrer queF,G∈A[X].

Exercice 6.4.9 1) Soit v une valuation discrète sur le corps commutatifK, autrement dit, une application deKdansZ∪{+∞}telle que :v⁻¹(+∞) ={0};v(a+b)≥min(v(a),v(b)); etv(ab) = v(a) +v(b). Montrer quev⁻¹(N∪ {+∞})est un anneau de valuation discrète, autrement dit un anneau local (cf.l’exercice 3.6.8 du chapitre 3) principal qui n’est pas un corps.

2) SoientAun anneau de valuation discrète et pun générateur de son idéal principal. On note : v_p(a):=sup{m∈N| p^m|a}. Montrer quev_ps’étend en une valuation discrète sur le corps des fractions de A, telle que A=v⁻¹(N∪ {+∞}). Vérifier que cette construction est la réciproque de la construction précédente. Montrer que tout idéal non nulI de Aest engendré par p^m, où m:=minvp(I).

Exercice 6.4.10 1) Dans l’anneauA:=Z[X]/ <2(X²−1)>, on note ˙2 la classe de 2 etxla classe deX. Vérifier que les éléments ˙2 ety:=˙2xengendrent le même idéal. Vérifier que, siy=˙2x^′, alorsx^′=x+ (x²−1)upour un certainu∈A.

2) NotonsU(X)∈Z[X]un antécédent deuetX^′=X+ (X²−1)U(X), qui est donc un antécédent dex^′dansZ[X]. Montrer que l’image deX^′par la surjection canoniqueZ[X]→F₂[X]est égale à l’image dex^′par la surjection canoniqueA→Z[X]/ <2>, modulo l’identification naturelle de Z[X]/ <2>avecF₂[X]. En déduire que, six^′est inversible dansA, alors l’imageX+ (X²−1)U deX^′dansF₂[X]est inversible. Vérifier que c’est impossible.

3) Les éléments ˙2 etysont-ils associés ?