(ad+bc−bd)j et ainsiZ[j]est un sous-anneau unitaire de C et puisqueCest commutatif, Z[j]est un anneau commutatif unitaire

Université Mohammed V-Rabat Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Module : Algèbre 6 Corrigé des exercices 1,3,4 et 5 Exercice 1

1) Soient a, b, c, d∈R:a+bj=c+dj. Alors(a− ^b₂) +^b

√3

2 i= (c−^d₂) +^d

√3

2 id'oùb=deta=c.

2) Il sut de vérier queZ[j]est un sous-anneau deC: On a1 = 1 + 0.j ∈Z[j]. Soienta+bj, c+dj∈ Z[j]aveca, b, c, d∈Z. On a(a+bj)−(c+dj) = (a−c)+(b−d)j∈Z[j]. Aussi, puisquej² =−1−j, (a+bj)(c+dj) = (ac−bd) + (ad+bc−bd)j et ainsiZ[j]est un sous-anneau unitaire de C et puisqueCest commutatif, Z[j]est un anneau commutatif unitaire.

3) Il est évident que{1,−1, j,−j,1 +j,−1−j} ⊂ U(Z[j])(on a −1−j=j=j²).

Pour l'autre inclusion, montrons d'abord que six∈ U(Z[j]), alors|x|= 1: soitx=a+bj∈ U(Z[j]). Alors, il existe y=c+dj ∈ U(Z[j])tel que xy = 1 d'où|x|²|y|² = 1. D'autre part, il est évident que |x|² = (a+bj)(a+bj) =a²+b² −ab,|y|² = c²+d² −cd∈ N. Ainsi, |x|² = 1 et par suite

|x|= 1.

On a U(Z[j]) ⊂ {1,−1, j,−j,1 +j,−1−j}, en eet : soit x = a+bj ∈ U(Z[j]), alors |x| = a²+b²−ab= 1d'oùa²−ab+ (b²−1) = 0(*). Il est évident que sia= 0, alorsb=±1 et ainsi x=±j. Supposons quea6= 0. Alors, l'équation (*) posssède des solutions ssi∆ =b²−4(b²−1)≥0, i.e.,3b² ≤4 alorsb∈ {0,−1,1}. Pourb= 0, on aa=±1d'oùx=±1. Pourb=−1,a=−1(car a6= 0) d'où x=−1−j. Pourb= 1,a= 1 d'oùx= 1 +j.

Exercice 3

Remarques préliminaires :

On a I ⊂I+J, en eet : soit i∈I. Alors,i=i+ 0∈I+J. De la même façon, on vérie que J ⊂I+J.

D'après le cours, I.J =< X >, où X ={ij/i∈I, j ∈J}. SoitK un idéal. Pour montrer que

< X >⊂ K, il sut de montrer que X ⊂ K car < X > est le plus petit idéal (au sens de l'inclusion) qui contient la partieX.

Soit K un idéal. Pour montrer queI+J ⊂K, il sut de vérier queI ⊂K et queJ ⊂K, en eet : soiti+j∈I+J, aveci∈I etj∈J. On a alors i∈K etj∈K (carI ⊂K etJ ⊂K) ainsii+j∈K (carK est un idéal).

1) Montrons que IJ⊂I∩J : Soit ij ∈X, avec i∈I etj∈J. alorsij ∈I (cari∈I). De la même façon , on aij ∈J. D'oùij ∈I∩J et ainsi X⊂I∩J. Alors I∩J est un idéal contenantX donc

< X >⊂I∩J, i.e.,IJ ⊂I∩J.

Inversement, Soitx∈I∩J. On aA=I+J, alors1∈I+J ainsi1 =i+j, aveci∈I etj ∈J. On a alorsx=x.1 =x(i+j) =xi+xj. commex∈J eti∈I, alorsxi∈X⊂IJ. Aussi, puisque x∈I etj∈J, alors xj ∈X ⊂IJ donc x∈IJ.

2) a) Soit x, y∈A. On af(x+y) = (x+y,x[+y) = (x+y,xb+by) = (x,x) + (y,b y) =b f(x) +f(y).

De la même façon, on vérie que f(xy) =f(x)f(y). Aussi,f(1) = (1_A/I,1_A/J).

b) Montrons quef est surjectif : Soit(x,y)b un élément quelconque deA/I×A/J. (attention : un élément quelconque de A/I×A/J n'est pas nécessairement de la fome(x,x)b ). On a1 =i+j, où i∈I et j∈J carI +J =A. Alors 1 =i+j =j (puisque i∈I, alors i= 0). De la même façon, on ab1 =bi. Posons a=yi+xj. On a a=yi+xj =xj (yi= 0 caryi ∈I) ainsi a=x (car j = 1). Aussi et en procédant de la même façon, on obtient ba=ybet ainsi f(a) = (x,y)b donc f est surjectif.

Montrons que kerf =I∩J : Soit x∈kerf. Alors f(x) = (x,bx) = (0,b0) d'oùx = 0et bx=b0

ainsix∈I etx∈J donc x∈I∩J.

Comme I+J =A, alors, d'après 1),IJ =I∩J ainsikerf =IJ.

Comme kerf =IJ etImf =A/I×A/J, alors, d'après le premier théorème d'isomorphisme, A/IJ 'A/I×A/J.

c) On poseA=Z, I =mZ, J =nZ. On aI+J =mZ+nZ=Zcarm∧n= 1. Alors, d'après 2) Z/mZ.nZ'Z/mZ×Z/nZet commemZ.nZ=mnZ, alors Z/mnZ'Z/mZ×Z/nZ.

Résultats préliminaires : SoitA etB deux anneaux commutatifs unitaires.

Si A et B sont isomorphes, alors les deux groupes des inversibles U(A) et U(B) sont iso- morphes, en eet : Soit f :A7→B un isomorphisme d'anneaux. On considèref1 :U(A)→ U(B),x7→f(x). Il est évident quex∈Aest inversible ssif(x)est inversible dansB. Alors, f₁ est bien dénie et f₁ est bijective. Aussi,f₁ est un morphisme de groupes (carf est un morphisme d'anneaux).

On vérie aussi facilement que U(A×B) =U(A)× U(B).

En appliquant ces résultats, on obtientU(Z/mnZ)' U(Z/mZ×Z/nZ) =U(Z/mZ)×U(Z/nZ) ainsi|U(Z/mnZ)|=|U(Z/mZ)|.|U(Z/nZ)|doncϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n).

Exercice 4.

1. Il est clair que, dans A,1 + 2i= 0. Alors, 2i=−1. On trouve, en mulipiliant chaque côté par

−i,2 =i. Donc,i= 2i−i=−1−2 =−3. (on peut aussi remarque que3 +i= (1 + 2i)(1−i)∈<

1 + 2i > d'où3 +i= 0 et ainsii=−3).

2. Remarquons d'abord que5 = 3 + 2 =−i+i= 0 (aussi, on peut reamrquer que5 = (1 + 2i)(1− 2i)∈<1 + 2i >d'où5 = 0). Maintenant, on considèrex∈A. Alors, il existe(a, b)∈Z² tel que x =a+ib. Alors, d'après la question précédente, x =a+ib=a−3b. On eectue la division euclidienne dea−3b par5,a−3b=q5 +r avec (q, r) ∈Z×Net 0≤r≤4. Donc, x=r. ce qu'il fallait démontrer.

L'anneauA est de caractéristique5. En eet,5×1 = 5 = 0et il est clair de ce qui précède que k16= 0pour tout 0< k≤4. (On peut aussi dire que puisque5.1 = 5 = 0, alors car(A) divise5 et commecar(A)6= 1, alors car(A) = 5).

3. On a 2×3 = 1 et4² = 1. Alors, tout élément non nul de A est inversible, ce qui implique que A est un corps. Ainsi, l'idéal<1 + 2i >de Z[i]est maximal et par suite il est premier.

Exercice 5.

1. Facile à vérier.

2. On aI ={a+ib/a;b∈Zet a≡b(mod2)}={a+ib/a;b∈Zet f(a+ib) = 0}=Ker(f). Alors, I est un idéal de Z[i]. D'après le premier théorème d'isomorphisme, on aZ[i]/I est isomorphe àf(Z[i]) =Z/2Zqui est un corps. Par suite, I est un idéal maximal deZ[i].

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