Université Mohammed V-Rabat Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Module : Algèbre 6 Série 2
Exercice 1. 1) Soita, b, c, d∈R. Vérier que si a+bj=c+dj, oùj= exp(i2π3), alors a=cet b=d. 2) Montrer que Z[j] ={a+bj/a, b∈Z} est un anneau commutatif unitaire.
3) Montrer que U(Z[j]) ={1,−1, j,−j,1 +j,−1−j}.
Exercice 2. SoitAun anneau commutatif unitaire, I, J deux idéaux deAetE une partie non vide deA. On considère(I:E) ={x∈A/xE⊂I}. Montrer que :
1) (I:E)est un idéal deA contenant I. 2) (I:E) = (I:< E >).
3) (I:J)J ⊂I.
4) Si (Ik)k∈T est une famille d'idéaux deA, alors( T
k∈T
Ik:J) = T
k∈T
(Ik:J).
5) Si K est un idéal deA, alors ((I:J) :K) = (I:J K) = ((I:K) :J)et(I:J+K) = (I:J)∩(I:K). Exercice 3. SoientA un anneau commutatif unitaire,I etJ deux idéaux deAtels que I+J =A. 1) Montrer que I∩J =IJ.
2) Soitf :A→(A/I)×(A/J),x7→(a,ba).
a) Vérier que f est un homomorphisme d'anneaux.
b) Montrer que(A/IJ)'(A/I)×(A/J).
c) Application : Soientm, n∈N:m∧n= 1. Montrer queZmn 'Zm×Zn et en déduire queϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Exercice 4. On considère L'anneau quotientA=Z[i]/ <1 + 2i >. 1) Montrer que −3 =i.
2) Montrer que A={0,1,2,3,4} et déterminer la caractérisque deA. 3) L'idéal<1 + 2i > est-il premier ? est-il maximal ?
Exercice 5. On considère L'applicationf :Z[i]→Z2,a+ib7→a−b, oùa, b∈Z.
1) Montrer que f est un morphisme d'anneaux.
2) En déduire queI={a+ib/a, b∈Zeta≡b (mod 2)} est un idéal maximal deZ[i]. Exercice 6. On considère l'applicationf :Z[i]→Z5[i],a+ib7→a+ib, oùa, b∈Z.
1) Vérier quef est un morphisme d'anneaux.
2) Montrer que I={a+ib/a, b∈5Z} est un idéal deZ[i]et que Z[i]/I'Z5[i]. 3) I est-il premier ?
Exercice 7. On considère l'anneauZ[i√
2] ={a+ib√
2/a, b∈Z} etf :Z[i√
2]→Z2,a+ib√ 27→a. 1). Vérier que f est un homomorphisme d'anneaux.
2). Montrer que< i√
2>est un idéal maximal de Z[i√ 2].
Exercice 8. Déterminer tous les idéaux deZ20. Parmis ces idéaux, donner ceux qui sont premiers et ceux qui sont maximaux.
Exercice 9. Soit K un corps ni.
1) Dire pourquoicar(K) est un nombre premier. On posecar(K) =p.
2) Montrer qu'il existe un sous-corps F deK tel queF etZp sont isomorphes.
3) En déduire que|K|=pk, oùk∈N?.
Exercices Facultatifs Exercice 10. SoitA etB deux anneaux commutatifs unitaires.
1) Vérier que siI etJ sont deux idéaux respectivement de A etB, alors I×J est un ideal deA×B. 2) Montrer que siL est un idéal deA×B, alors L=I×J, oùI etJ sont deux idéaux respectivement deA
etB.
3) Déterminer les idéaux deZ×Zet les idéaux deK×K, oùK est un corps.
Exercice 11. SoitA un anneau commutatif et I un idéal deA. 1) Montrer que si I=< a >, alors I2=< a2>.
2) Montrer que si I=< a, b >, alors I2=< a2, ab, b2>. 3) SoitI=< a, b >tel queI2=I.
a) Montrer que I=I < a >+I < b >.
b) Montrer qu'il existe un élément idempotente deA(i.e., e∈A tel quee2=e) tel que I=< e >. Exercice 12. Soitn >1 un entier eta∈Zn. Montrer queaest un diviseur de zéro ou aest inversible.
Exercice 13. Soit Aun anneau intègre. Montrer que siA ne possède qu'un nombre ni d'idéaux, alorsAest un corps.
Exercice 14. SoitA un anneau commutatif unitaire,I etJ deux idéaux deA. 1) Montrer que si I= (x)etJ = (y), oùx, y∈A, alors IJ= (xy).
2) Montrer que IJ⊂I∩J et donner un exemple où l'inclusion est stricte.
3) On suppose queI+J =A. Montrer queIJ =I∩J.
Exercice 15. SoitA, B deux anneaux commutatifs unitaires etf un morphisme de A vers B,I un idéal de A et(Jk)k∈K une famille d'idéaux deB.
1) Montrer que f−1(f(I)) =I+ kerf.
2) Donner un exemple où I est un idéal deAet f(I)n'est pas un idéal de B.
3) Montrer que si p est un idéal premier deB, alors f−1(p)est un idéal premier de Acontenant kerf. 4) On suppose quef est surjectif.
a) Montrer que si I est un idéal deA, alorsf(I)est un idéal deB.
b) Montrer que sip est un idéal premier deA contenant kerf, alors f(p)est un idéal premier de B. c) Soit mun idéal maximal de B. On considère la correspondancef :A/f−1(m)→B/m,x7→z }| {
f(x). i) Vérier quef(f−1(m)) =m.
ii) Montrer quef est un isomorphisme et en déduire que f−1(m)est un idéal maximal de A.
Exercice 16. Soit A un anneau commutatif unitaire et q un idéal de A tel que q 6= A. On dit que q est primaire si
(∀(x, y)∈A2), (xy∈qetx /∈q⇒ ∃n∈N?:yn ∈q).
1) Déterminer les idéaux primaires deZ.
2) Vérier que sip est un idéal premier deA, alorsp est primaire.
3) Soitqun idéal de Atel queq6=A. Montrer queq est primaire si, et seulement si, tout diviseur de zéro de A/q est nilpotent.
Exercice 17. Soit I etJ deux idéaux d'un anneau A. Montrer que si x∈I∩J, alors xest nilpotent dans A/IJ.
Exercice 18. On considère l'anneau quotientZ[i]/ <2−i >. 1). Vérier que 2 =i.
2). Montrer queA=Z[i]/ <2−i >={a+<2−i > /a∈Z} et calculer la caractéristique deA. 3). Montrer queA={0,1,2,3,4}.
4). Montrer que<2−i >est un idéal maximal.
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Exercice 19. Déterminer la caractéristique de l'anneauZ[i]/ <2 +i >et montrer que<2 +i >est un idéal maximal deZ[i]
Exercice 20. SoitA un anneau booléen, i.e.,A est unitaire et∀x∈A,x2=x. 1) Montrer que Aest commutatif et quecar(A) = 2.
2) Montrer que si x∈A\ {1}, alors xest un diviseur de zéro.
3) En déduire que siA est intègre, alorsA=Z2.
4) Montrer que si p est un idéal premier deA, alors p est maximal.
5) Montrer que tout idéal de type ni deAest principal (ind : montrer que siI= (a, b), alorsI= (a+b+ab)).
Exercice 21. SoitA un anneau commutatif unitaire.I, J deux idéaux deA,
1) SoitI, J deux idéaux deAetp un idéal premier deA. Montrer que si I∩J ⊂p, alors I⊂p ouJ ⊂p. 2) SoitI un idéal deA,petq deux idéaux premiers deA. Montrer que si I6⊂petI6⊂q, alors il existea∈I
tel quea /∈p eta /∈q.
Exercice 22. SoitA un anneau commutatif unitaire.
1) On suppose queAest intègre. Soit(x)et(y)deux idéaux premiers non nuls deA. Montrer que si(x)⊂(y), alors (x) = (y).
2) On suppose que tout idéal propre deA est premier.
a) Dire pourquoi Aest intègre.
b) Montrer queA est un corps.
Exercice 23. Soit A un anneau commutatif unitaire etm un idéal maximal tel que1 +m ⊂U(A). Montrer quem est l'unique idéal maximal deA.
Exercice 24. On considère L'anneau quotient A=Z[i]/ <3−i >. 1) Vérier que3 =i.
2) Montrer que A={a+<3−i > /a∈Z}. 3) Déterminer tous les éléments de A.
4) L'idéal<3−i >est-il premier ? est-il maximal ?
Exercice 25. Soit A un anneau commutatif unitaire et p un nombre premier. Montrer que l'ensemble des éléments deA d'ordre une puissance depest un idéal deA.
Exercice 26.
1) Z5[i] ={a+ib/a, b∈Z5} est-il intègre ?
2) Montrer que si Aest un anneau intègre ni, alors Aest un corps.
3) Montrer que Z3[i] ={a+ib/a, b∈Z3} est un corps.
Exercice 27.
1) Montrer que si Aest un anneau booléen (i.e., ∀a∈A, a2=a), alorsA est commutatif.
2) SoitA est un anneau booléen unitaire. Montrer que sipun idéal premier deA, alorscard(A/p) = 2. Exercice 28. SoitAun anneau commutatif unitaire etm un idéal deAvériant : pour toutx∈A, six /∈m, alors x∈U(A). Montrer que mest l'unique idéal maximal de A.
Exercice 29. Montrer que si K est un corps de caractéristique p6= 0, alors F = {x∈ K/xp =x} est un sous-corps deK.
Exercice 30. Montrer que siK est un corps de cardinal 2n, alors car(K) = 2. Exercice 31. SoitA={a+bi/a∈Z etb∈2Z}.
1). Montrer queA est un sous-anneau de l'anneau Z[i]. 2). Aest-il un idéal de Z[i]?
Exercice 32. Soient A un anneau commutatif unitaire etI un idéal de A. On note √
I ={x∈A/∃n∈N: xn∈I}.
1). Montrer que√
I est un idéal deA.
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2). Déterminer √
8Zet√ 12Z.
3). Soit J un idéal de A. Montrer que√ IJ⊂√
I∩J ⊂√ I∩√
J.
4). SoientB un anneau commutatif unitaire et f :A→B un morphisme d'anneaux surjectif.
a). Montrer que sikerf ⊂I, alors f(√ I) =p
f(I). b). Montrer que siK est un idéal deB, alorsf−1(√
K) =p
f−1(K).
5). On note N(A) l'ensemble des éléments nilpotents de A (un élément a∈A est dit nilpotent s'il existe un entiern >0 tel quean= 0).
a). Montrer queN(A) =p {0}. b). Montrer queN(A/N(A)) ={0}.
Exercice 33. Vérier queI={(a,0)/a∈Z}est un idéal premier de Z×Z.I est-il maximal ? Exercice 34. Déterminer les idéaux premiers et les idéaux maximaux deZ12.
Exercice 35. Montrer que les seuls idéaux d'un corps sont les idéaux triviaux.
Exercice 36.
1). Montrer queI={(3x, y)/x, y∈Z} est un idéal maximal de l'anneau produitZ×Z.
2). J ={(4x, y)/x, y∈Z} est-il un idéal maximal deZ×Z?
Exercice 37. Soit A un anneau commutatif. On considère f : Z → A, k 7→ k.1A, où A est un anneau commutatif unitaire.
1). Vérier que f est un homomorphisme d'anneaux.
2). Montrer que siA est de caractéristiquen >0 (resp.0), alorsAcontient un sous-anneau isomorphe à Zn
(resp. isomorphe àZ).
3). On suppose que A=K est un corps.
a). Montrer que si car(K) =p (resp. carK = 0), alors K contient un sous corps K0 tel que K0 'Zp
(resp.K0'Q).
b). Montrer que l'intersection des sous-corps de K est un sous-corps F de K (F est dit le sous-corps premier deK).
c). Montrer queF est le plus petit sous-corps deK. d). Montrer queF =K0.
Exercice 38. SoitA={ a 0
b a
/a, b∈Z}.
1). Montrer queA est un anneau commutatif unitaire.
2). Montrer queI={ 0 0
b 0
/b∈Z} est un idéal premier deA. Est-il maximal ?
Exercice 39. SoitA un anneau intègre,K=F r(A)etf ∈Aut(A). On considère f :K→K, xs 7→ f(x)f(s). 1). Montrer quef est bien dénie.
2). Montrer quef est un automorphisme deK.
3). Montrer quef est l'unique automorphisme deK tel que∀a∈A,f(a) =f(a).
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