Si, de plus, les E j sont de dimension finie, alors toute application k-linéaire f : (E, kk E ) → (F, kk F ) est continue.

2.2 Opérations avec les fonctions continues Chapitre 2 a) f continue ;

b) f continue en 0 ;

c) il existe un C > 0 tel que kf (x)k F ≤ CΠ ^k _j=1 kx j k E

, ∀x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ E.

Si, de plus, les E _j sont de dimension finie, alors toute application k-linéaire f : (E, kk _E ) → (F, kk _F ) est continue.

Proposition 2.1.6

L’espace des applications k-linéaires et continues de E dans F, noté L _k (E, F ), est un espace vectoriel. L’application f 7→ kf k, où

kfk = sup kf (x)k _F ; kx _j k _E

= 1, j = 1, . . . , k, est une norme sur L _k (E, F ).

Proposition 2.1.7

Soient (X, d), (Y _j , d _j ), j = 1, . . . , k, des espaces métriques et f _j : X → Y _j , j = 1, . . . , k. On munit Y = Π ^k _j=1 Y _j d’une distance produit et on pose f = (f ₁ , . . . , f _n ). Alors

f continue ⇔ f _j continue , j = 1, . . . , k.

Cas particulier :

si C(= R ² ) est muni d’une norme, alors f : (X, d) → C est continue ⇔ <f et =f sont continues.

Preuve Soient (x _n ) ⊂ X, x ∈ X, tels que x _n → x. Alors f(x _n ) → f(x) ⇔ f _j (x _n ) → f _j (x), j =

1, . . . , k; d’où l’équivalence à prouver. 2

2.2 Opérations avec les fonctions continues

Proposition 2.2.1

Si f : (X, d) → (Y, D) et g : (Y, D) → (Z, ∆) sont continues, alors g ◦ f : (X, d) → (Z, ∆) est continue.

Preuve Soit U un ouvert de Z. Alors g ⁻¹ (U) est un ouvert de Y et donc (g ◦ f ) ⁻¹ (U ) =

f ⁻¹ (g ⁻¹ (U )) est un ouvert de X. 2

Proposition 2.2.2

Soient (X, d) un espace métrique et (E, kk) un espace normé.

a) Si f ₁ , f ₂ : (X, d) → (E, kk) sont continues, alors f ₁ + f ₂ est continue.

b) Si f : (X, d) → R et g : (X, d) → (E, kk) sont continues, alors f g est continue.

Cas particulier : si g : (X, d) → (E, kk) est continue et λ ∈ R , alors λg est continue.

Preuve

a) On munit E × E de la norme kk ₁ . L’application G : E × E → E, G(y, z) = y + z est linéaire et continue, car kG(y, z )k ≤ k(y, z)k1. On a f ₁ + f ₂ = G ◦ F, où F = (f ₁ , f ₂ ) : (X, d) → E × E est continue ; il s’ensuit que f 1 + f 2 est continue.

– 17 –

2.3 Exemples d’applications continues Chapitre 2 b) H : R ×E → E, H (λ, x) = λx, est bilinéaire et continue, car kH(λ, x)k = |λ|kxk. Comme

f g = H ◦ K, où K : (X, d) → R × E, K = (f, g), on trouve que f g est continue.

2 Proposition 2.2.3

Soient E un e. v. de dimension finie, {e ₁ , . . . , e _n } une base de E et kk une norme sur E. Si f : (E, kk) → (X, d), on définit une nouvelle application, f e : R ⁿ → (X, d), par f(x e ₁ , . . . , x _n ) = f(x ₁ e ₁ + . . . x _n e _n ). Alors f continue ⇔ f e continue.

Autrement dit, vérifier la continuité d’une application définie sur un espace de dimension finie revient à vérifier la continuité d’une application définie sur R ⁿ .

Preuve Soit T : R ⁿ → (E, kk), T (x 1 , . . . , x n ) = x 1 e 1 + . . . x n e n . Alors T est linéaire, donc continue. T est bijective ; son inverse est linéaire, donc continue. On a f e = f ◦ T, d’où f continue

⇒ f e continue. De même, f = f e ◦ T ⁻¹ , et donc f e continue ⇒ f continue. 2

Le résultat suivant est évident.

Proposition 2.2.4

Si f : (X, d) → (Y, D) est continue et A ⊂ X, alors f _|A : (A, d) → (Y, D) est continue.

2.3 Exemples d’applications continues

Exemple 17

Si (X j , d j ), j = 1, . . . , k, sont des espaces métriques et X = Π ^k _j=1 X j est muni d’une distance produit, alors π _j : X → (X _j , d _j ), π _j (x) = x _j , est continue.

En effet, id = (π ₁ , . . . , π _k ) : X → X est clairement continue, et donc π _j l’est aussi.

Exemple 18

Une fonction polynômiale P est continue dans R ⁿ . En effet, P est de la forme P = P

finie a _d

_,...,d

x ^d ₁

. . . x ^d _n

. Il suffit de montrer que chaque monôme x ^d ₁

. . . x ^d _n

est continu, ce qui suit de l’égalité x ^d ₁

. . . x ^d _n

= π ₁ (x)d ₁ . . . π _n (x)d _n .

Définition 2.3.1

Soient (X, d) un espace métrique et A ⊂ X, A 6= ∅. On pose d(x, A) = inf{d(x, a); a ∈ A} (la distance du point x à l’ensemble A).

On remarque que d(x, A) est bien définie et ≥ 0. De plus, d(x, A) = 0 si x ∈ A.

Proposition 2.3.1

a) x 7→ d(x, A) est 1-lipschitzienne.

b) d(x, A) = d(x, A).

c) d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A.

Preuve

– 18 –

2.4 Convergence uniforme Chapitre 2

a) Soient x, y ∈ A. Pour tout a ∈ A on a

−d(x, y) + d(y, a) ≤ d(x, a) ≤ d(y, a) + d(x, y).

Par passage à l’inf , on trouve −d(x, y) + d(y, A) ≤ d(x, A) ≤ d(y, A) + d(x, y), d’où

|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).

b) Clairement, si A ⊂ B, alors d(x, A) ≥ d(x, B). En particulier, d(x, A) ≥ d(x, A). Soit > 0. Il existe un b ∈ A tel que d(x, b) < d(x, A) + /2. Il existe une suite (a _n ) ⊂ A telle que a _n → b. Comme y7 7→ d(x, y) est continue sur X, on trouve d(x, a _n ) → d(x, b). Il existe donc un n 0 tel que d(a n

, b) < /2. Il s’ensuit que

d(x, A) ≤ d(x, a _n

) ≤ d(x, b) + d(b, a _n

) < d(x, A) + . étant arbitraire, on trouve d(x, A) ≤ d(x, A).

c) ” ⇒ ” Si d(x, A) = 0, alors pour tout > 0 il existe un a ∈ A tel que d(x, a) < . Pour = 1/(n + 1), on trouve une suite (a _n ) ⊂ A telle que d(x, a _n ) < 1/(n + 1). On a donc a _n → x, et par conséquent x ∈ A. ” ⇐ ” Si x ∈ A, alors 0 = d(x, A) = d(x, A).

2

2.4 Convergence uniforme

Définition 2.4.1

Soient f n , f : (X, d) → (Y, D). La suite (f n ) converge uniformément vers f ⇔ ∃α n ≥ 0 tels que D(f n(x), f(x)) ≤ α _n , ∀n ∈ N , ∀x ∈ X et α _n → 0. On écrit alors f _n → _u f.

Théorème 2.4.1

Si les fonctions f n sont continues pour tout n et si f n → u f, alors f est continue.

Preuve Soient a ∈ X et > 0. Il existe un n ₀ tel que D(f _n

(x), f(x)) < /3, x ∈ X. Il existe un δ > 0 tel que d(x, a) < δ ⇒ D(f n

(x), f n

(a)) < /3. On trouve que

d(x, a) < δ ⇒ D(f(x), f (a)) ≤ D(f (x), f _n

(x)) + D(f _n

(x), f _n

(a)) + D(f _n

(a), f(a)) < . 2

2.5 Homéomorphismes

Définition 2.5.1

Une application f : (X, d)!(Y, D) est un homéomorphisme ⇔ f continue, bijective et f ⁻¹ continue. On dit alors que (X, d) et (Y, D) sont homéomorphes.

Exemple 19

Comme on l’a déjà vu, si T : (E, kk _E ) → (F, kk _F ) est linéaire et bijective et si E est de dimension finie, alors T est un homéomorphisme.

Le résultat suivant est immédiat.

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2.5 Homéomorphismes Chapitre 2 Proposition 2.5.1

La relation : ”(X, d) est homéomorphe avec (Y, D)” est une relation d’équivalence.

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