Chapitre 22 : applications linéaires

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APPLICATIONS LINÉAIRES

Dans tout ce qui suit,petndésignent des entiers naturels non nuls.

I – Définition

Définition 1 :

On dit que f est une application linéaire de K^p ^dans Kⁿ ^si ∀(λ,µ) ∈ K²^, ∀(u,v) ∈ (K^p)², f(λu+µv)=λf(u)+µf(v) .

On noteL(K^p,Kⁿ) l’ensemble des applications linéaires deK^p dansKⁿ, etL(Kⁿ) l’ensemble des applications linéaires deKⁿ^dansKⁿ^.

Remarque : Comme pour les sous-espace vectoriel , la condition de la définition peut se faire en 2 étapes (défi- nition équivalente) :

– ∀(u,v)∈(K^p)²,f(u+v)=f(u)+f(v).

– ∀λ∈K^,∀u∈K^p^,^f⁽λu)=λf(u).

On parle également demorphismed’espace vectoriel (et d’endomorphismepour les applications linéaires deKⁿ dansKⁿ^).

Propriété 1 :

Si f ∈L(K^p^,Kⁿ^{), alors f}⁽⁰K^p)=0_Kⁿ .

Démonstration : La définition avecλ=1,µ=0 etu=v=0_K^p. Exemple 1 : f1 :

¯

R² −→ R³

(x,y) 7−→ (2x−3y,x−2y,−x+y) , f2 :

¯

R² −→ R²

(x,y) 7−→ (x², 2y−x) , f3:

¯

R⁴ −→ R

(x,y,z,t) 7−→ 4x+3y+2z−t ,f4:

¯

R −→ R²

x 7−→ (1−2x, 3x) . Endomorphismes deR^.

II – Noyau et image

Nous venons de voir que le vecteur nul a pour image le vecteur nul par une application linéaire, mais ce n’est pas forcément le seul à être dans ce cas :

Définition 2 :

Soitf ∈L(K^p,Kⁿ).

On appellenoyaudef l’ensemble des vecteurs deK^pdont l’image parf est le vecteur nul. On le note ker(f)=©

u∈K^p, f(u)=0_Kⁿª .

Exemple 2 : Retour à l’exemple précédent. On constate quelque chose qui se généralise...

Propriété 2 :

Pour tout f ∈L(K^p^,Kⁿ^),^ker(f⁾est un sous-espace vectoriel deK^p^.

Démonstration : L’occasion d’utiliser la définition d’un sous-espace vectoriel et celle de ker(f).

Remarque : ker(f)=K^p ⇐⇒ f =0_L₍_K^p,Kⁿ).

Autre ensemble caractéristique d’une application linéaire : son image.

Définition 3 :

Soitf ∈L(K^p^,Kⁿ^).

On appelleimagedef l’ensemble des vecteurs deKⁿqui sont l’image par f d’un vecteur deK^p^{. On} le note Im (f)=©

v∈Kⁿ^,∃u∈K^p^,^v=f(u)ª

=©

f(u),u∈K^p^ª⊂Kⁿ ^.

Exemple 3 : Retour à l’exemple précédent. On constate encore quelque chose qui se généralise...

(2)

Propriété 3 :

Pour tout f ∈L(K^p,Kⁿ),Im (f)est un sous-espace vectoriel deKⁿ.

Démonstration : L’occasion d’utiliser la définition d’un sous-espace vectoriel et celle de Im (f).

Remarque : Im (f)=© 0_K^pª

⇐⇒f =0_L(K^p^,Kⁿ⁾.

Noyau et image permettent de caractériser l’injectivité et la surjectivité : Propriété 4 :

Soit f ∈L(K^p,Kⁿ^).

f est injective ssiker(f)=© 0_K^pª

.

Démonstration : Par double implication.

Remarque : En ce qui concerne la surjectivité, rien ne change par rapport aux applications vues en général : f est surjective ssi Im (f)=Kⁿ^.

III – Opérations sur les applications linéaires

Propriété 5 :

Soit(f,g)∈(L(K^p^,Kⁿ⁾⁾²^. 1^o) f +g∈L(K^p^,Kⁿ^).

2^o) ∀λ∈K,λf ∈L(K^p,Kⁿ).

Démonstration : Il n’y a qu’à écrire, à partir de la définition.

Remarque : Nous pouvons ainsi dire queL(K^p^,Kⁿ) est stable par combinaison linéaire. Attention : pas de produit d’applications linéaires, cela n’a pas de sens car le produit de vecteurs n’a pas de sens.

De plus, la composée de deux applications linéaires est une application linéaire : Propriété 6 :

Soient q∈N^{, f} ∈L(K^p^,Kⁿ⁾^{et g}∈L¡

Kⁿ^,K^q^¢^. Alors g◦f ∈L¡

K^p^,K^q^¢^.

Démonstration : Encore la définition, et rien de plus.

Remarque : En particulier, la composée d’un endomorphisme par lui-même est un endomorphisme : si f ∈L(Kⁿ), alors on définit les puissances k-ième de f par f⁰ =Id_Kⁿ et pour tout k ∈N^, ^f^k+1= f^k◦f. On montre aisément par récurrence quef^k∈L(Kⁿ^).

Exemple 4 : Montrons que∀(f,g)∈(L(Kⁿ))², ker(f)⊂ker(g◦f), et que Im (g◦f)⊂Im (g).

La composition d’applications linéaires est distributive sur l’addition, et réciproquement : Propriété 7 :

Soit q∈N. Pour toutes applications linéaires f et g deL(K^p^,Kⁿ), et toutes applications linéairesϕet ψdeL¡

Kⁿ^,K^q^¢^:

1^o) ϕ◦(f+g)=ϕ◦f+ϕ◦g . 2^o) (ϕ+ψ)◦f =ϕ◦f+ψ◦f . Démonstration : Tout vient de la linéarité !

Enfin, la bijection réciproque d’une application linéaire bijective est également linéaire :

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Propriété 8 :

Soit f ∈L(K^p^,Kⁿ^).

Si f est bijective, alors p=n et f⁻¹∈L¡ Kⁿ^¢^.

Démonstration : On montre que l’image d’une base deK^p par f est libre dansKⁿ, ce qui donnep ≤n, puis que cette même image est génératrice de Im (f)=Kⁿ, ce qui donnep ≥n. La linéarité s’obtient à partir de la caractérisation def⁻¹et de l’injectivité de f.

Remarque : On retient que seuls les endomorphismes peuvent être bijectifs (on parle alors d’automorphisme), et que dans ce cas la bijection réciproque est également un endomorphisme.

Exemple 5 : Soit f ∈ L(Kⁿ^{) tel que} ∃(a,b) ∈ (K^∗⁾²^, ^¡^f−aId_Kⁿ¢

◦¡

f−bId_Kⁿ¢

= 0_L₍_Kⁿ₎ : montrer que

¡f −bId_Kⁿ¢

◦¡

f −aId_Kⁿ¢

=0_L(Kⁿ⁾puis que f est un automorphisme.

IV – Applications linéaires et matrices

La linéarité entraîne qu’une application linéaire est entièrement définie par l’image d’une base : Théorème 1 :

SoitB=(e1,e2, . . . ,ep)une base deK^p^et^(vi)_1≤i≤pune famille de vecteurs deKⁿ^. Il existe une unique application linéaire f ∈L(K^p^,Kⁿ)telle que∀i∈££

1,p¤¤

, f(ei)=vi. De plus, f est définie par :∀x∈K^p^{, si x}=

p

X

i=1

xiei, alors f(x)=

p

X

i=1

xivi.

Démonstration : Analyse-synthèse.

Le résultat précédent nous dit que, une baseB =¡ ej¢

1≤j≤p deK^p étant donnée, il suffit de connaître les images f(ej) pour entièrement déterminer f, et pour connaître ces images, il suffit d’avoir leurs coordonnées dans une baseB⁰=¡

f_i¢

1≤i≤ndeKⁿ: pour tout j∈££ 1,p¤¤

, f(e_j)= Xn i=1

a_i,_jf_i. Ceci permet de définir une matrice associée à l’application linéairef :

Définition 4 :

Soitf ∈L(K^p,Kⁿ),B=¡ e_j¢

1≤j≤pune base deK^petB⁰=¡ f_i¢

1≤i≤nune base deKⁿ. Pour tout j ∈ ££

1,p¤¤

, il existe des réels ¡ a_i,j¢

1≤i≤n tels que f¡ e_j¢

= Xn i=1

a_i,jf_i : la matrice Mat_B,B⁰(f)=¡

ai,j¢

1≤i≤n

1≤j≤p ∈Mn,p(K) est appeléematrice de l’application linéairef dans les basesB

etB⁰. Remarque :

– Les colonnes de la matrice d’une application linéaire représentent donc les coordonnées des images des vecteurs de la base de l’espace vectoriel de départ dans la base de l’espace vectoriel d’arrivée : le nombre de lignes correspond à la dimension de l’espace d’arrivée, et le nombre de colonnes à la dimension de l’espace de départ. Par ailleurs, Im (f)=Vect¡

C₁, . . . ,C_p¢ .

– La matrice d’un endomorphisme dans une base est une matrice carrée notée Mat_B(f).

– La matrice de l’application identité Id_Kⁿest la matrice identitéI_n. Exemple 6 : f :

¯

R³ −→ R²

(x,y,z) 7−→ (x−y+3z,−x+2y) ,g:

¯

R² −→ R⁴

(x,y) 7−→ (y, 2x+y,−4x,x−3y) . Réciproquement, à toute matrice deMn,p(K) est associée une application linéaire deL(K^p,Kⁿ) : Propriété 9 :

Pour toute matrice M∈Mn,p(K), il existe une unique application linéaire f ∈L(K^p^,Kⁿ⁾dont la ma- trice dans des bases données deK^p^etKⁿ^{est M .}

Démonstration : C’est une application du théorème 1.

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Remarque : Ainsi l’applicationφ:

¯

L(K^p^,Kⁿ⁾ −→ Mn,p(K⁾

f 7−→ Mat_B,B⁰(f) est bijective, les basesBetB⁰étant fixées.

Elle est d’ailleurs linéaire (voir plus loin) : c’est un isomorphisme !

À l’aide de la matrice de l’application linéaire, il est possible d’écrire l’image de tout vecteur : Propriété 10 :

Soit f ∈L(K^p,Kⁿ)et u∈K^p^,BetB⁰des bases respectives deK^p^etKⁿ^. Alors Mat_B⁰¡

f(u)¢

=Mat_B,B⁰(f)×Mat_B(u).

Démonstration : La linéarité def permet de conclure.

Remarque : Ainsi, calculer l’image d’un vecteur par une application linéaire revient à faire un produit matriciel : si Xdésigne la matrice colonne des coordonnées deudans la baseB,Y désigne la matrice colonne des coordonnées def(u) dans la baseB⁰etMla matrice def dans les basesBetB⁰, alors Y =M X .

Exemple 7 : f ∈L¡

R²,R³^¢est l’application linéaire de matrice M =





−2 1

1 2

0 2



dans les bases canoniques : calculerf¡

(−1, 2)¢

puis déterminer l’expression analytique def.

L’intérêt de la notation matricielle est le lien qui existe entre les opérations matricielles et les opérations sur les applications linéaires.

Propriété 11 :

Soit f et g deux applications linéaires deL(K^p^,Kⁿ^{), et}BetB⁰des bases respectives deK^p^etKⁿ^. 1^o) Mat_B,B⁰(f +g)=Mat_B,B⁰(f)+Mat_B,B⁰(g).

2^o) ∀λ∈K^, ^MatB,B⁰(λf)=λMat_B,B⁰(f). Démonstration : Il suffit de décomposerf(ej) etg(ej).

Soit q∈N^{, f} ∈L(K^p^,Kⁿ⁾^{et g}∈L¡

Kⁿ^,K^q^¢^{. On note}B,B⁰etB⁰⁰des bases respectives deK^p^,Kⁿ ^et K^q^.

Alors Mat_B,B⁰⁰(g◦f)=Mat_B⁰_,B⁰⁰(g)×Mat_B,B⁰(f).

Démonstration : La propriété 10 utilisée 2 fois permet de conclure.

Remarque : En particulier, si f ∈L(Kⁿ) et siBest une base deKⁿ, la propriété précédente permet de prouver que, pour toutk∈N^{, Mat}B¡

f^k¢

=³

Mat_B(f)´k

.

Enfin, l’inversibilité de la matrice d’une application linéaire correspond à la bijectivité de l’application asso- ciée :

Soit f ∈L(Kⁿ), etBune base deKⁿ.

f est bijective ssiMat_B(f)est inversible, et dans ce cas on a Mat_B¡ f⁻¹¢

=³

Mat_B(f)´₋1

.

Démonstration : C’est la propriété précédente, avec le fait que la matrice de l’application identité est connue.

Remarque : On retrouve ceci dans l’une des méthodes permettant de déterminer l’inverse d’une matrice M, consistant à partir deY =M Xet chercher à exprimerX en fonction deMen résolvant un système.

(5)

V – Applications linéaires et rang

Définition 5 :

Soitf ∈L(K^p,Kⁿ) etB=(e₁,e₂, . . . ,e_p) une base deK^p.

On appellerang de l’application linéairef le rang de la famille de vecteurs¡

f(e1),f(e2), . . . ,f(ep)¢ : on le note rg¡

f¢

=rg¡

f(e1),f(e2), . . . ,f(ep)¢ .

Remarque : On admet donc dans cette définition que la rang de la famille¡

f(e1),f(e2), . . . ,f(ep)¢

ne dépend pas du choix de la baseB.

Im (f) étant engendré par la famille¡

f(e1),f(e2), . . . ,f(ep)¢

, le rang d’une application linéaire est lié à son image :

Pour tout f ∈L(K^p^,Kⁿ^), ^rg(^f⁾=dim¡ Im (f)¢

.

Remarque : On en déduit que le rang d’une application linéaire est égal au rang de la famille des vecteurs colonnes de la matrice associée.

La propriété concernant le rang d’un système de vecteurs vue dans le chapitre sur les espaces vectoriels con- duit au résultat suivant :

1^o) Pour toute application linéaire f ∈L(K^p^,Kⁿ^), ^rg^¡^f^¢≤p et rg¡ f¢

≤n . De plus, rg¡

f¢

=p ⇐⇒ f injective et rg¡ f¢

=n ⇐⇒ f surjective .

2^o) Pour tout f ∈L(Kⁿ), f bijective⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒rg(f)=n .

Démonstration : Les inégalités de 1^o) viennent de la propriété citée. Cette propriété permet aussi de dire que rg¡

f¢

=p ⇐⇒ ¡

f(e₁),f(e₂), . . . ,f(ep)¢

est libre. On montre alors par double implication que la liberté de cette famille équivaut à l’injectivité def.

Pour la surjectivité, c’est plus immédiat.

Exemple 8 : Rang des applications linéairesf1etf3vues dans l’exemple 1.

Remarque : Le théorème du rang sera vu en 2^ièmeannée et permettra de relier le rang de f et la dimension de son noyau. De plus, retenons que prouver la bijectivité d’un endomorphisme revient à montrer que son noyau est réduit au vecteur nul.

La notion de rang d’une application linéaire, et celle vue pour les matrices se rejoignent : Propriété 16 :

Soit M∈Mn,p(K). On considère f ∈L(K^p^,Kⁿ⁾de matrice M dans des bases données deK^p^etKⁿ^. Alors rg(M)=rg(f).

Remarque :

– Le rang d’une matrice peut donc être vu comme le rang de la famille constituée de ses vecteurs colonnes.

– rg(M)≤min(n,p).

– On rappelleM∈Mn(K) est inversible ssi rg(M)=n, soit ssi les vecteurs colonnes forment une famille libre.

On admet le résultat suivant : Propriété 17 :

Pour toute matrice M∈Mn,p(K^), ^rg(M)=rg¡_t M¢

.

Remarque : Ainsi le rang d’une matrice est aussi le rang de la famille constituée de ses vecteurs lignes.

(6)

Remarque : Tout ce qui concerne les systèmes linéaires peut se traduire à l’aide de l’application linéaire f as- sociée : résoudre le système homogène associé revient à déterminer ker(f) et résoudre le système avec second membre revient à résoudref(x)=b. On distingue alors plusieurs cas :

– Si f est surjective : le système est compatible. Si f est de plus injective, le système admet une solution unique. Sinon, il y a une infinité de solutions, pouvant s’exprimer à l’aide de k=dim¡

ker(f)¢

paramètres.

– Sif n’est pas surjective : le système est compatible ssib∈Im (f). Sib∉Im (f), il n’y a pas de solution, et si b∈Im (f), on est ramené au cas précédent.

Exemple 9 : Sans effectuer aucun calcul, déterminer le rang de la matriceM=





1 −2 1

−3 6 0

2 −4 1



.