Applications linéaires

(1)

Applications linéaires

Rédaction incomplète. Version 0.9

le 28 février 2020

Plan

I. Applications linéaires . . . . 1

1. Dénitions . . . . 1

2. Opérations . . . . 2

3. Noyau et image . . . . 2

II. Applications linéaires en dimension nie. . . . 3

1. Prolongement linéaire . . . . 3

2. Bases et dimensions usuelles . . . . 4

3. Isomorphismes . . . . 4

4. Théorème du rang . . . . 6

III. Projecteurs - Symétries - Anités . . . . 6

IV. Formes et hyperplans . . . . 7

1. En dimension quelconque . . . . 7

2. En dimension nie . . . . 9

Index

éliminer, 9 anité, 7 algèbre, 2

application linéaire, 1 automorphisme, 1 base de L(E, F ) , 4 base duale, 4 dual, 7

endomorphisme, 1 espace dual, 2 forme linéaire, 1, 7 homomorphisme, 1

hyperplan, 2, 7

image d'une application linéaire, 2 isomorphisme, 1

noyau d'une application linéaire, 2 projecteur, 6

projection, 6 résoudre, 9 symétrie, 6

théorème du prolongement linéaire, 3 théorème du rang, 6

théorème noyau-image, 5

Le cours d'algèbre linéaire (hors calcul matriciel) est réparti sur trois documents : Espaces vectoriels (sans dimension), Dimensions des espaces vectoriels et Applications linéaires (ce texte). La partie Sous-espaces anes d'un espace vectoriel permet d'interpréter géométriquement l'algèbre linéaire.

I. Applications linéaires

1. Dénitions

Dénition (application linéaire). Une application linéaire est une application entre deux espaces vectoriels sur le même corps et qui transporte les opérations.

Soit E et F deux K -espaces vectoriels. Une application linéaire de E dans F est une application f vériant :

∀(x, y) ∈ E

²

, ∀λ ∈ K : f (x + y) = f (x) + f (y), f(λx) = λf (x).

Remarque. Si f est une application linéaire de E dans F alors f (0

_E

) = 0

_F

. Le raisonnement est le même que pour les morphismes de groupe.

Dénition (vocabulaire et notations). On utilise aussi le terme homomorphisme à la place d' application linéaire . L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E, F ) .

Un endomorphisme est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même. On note L(E) au lieu

de L(E, E) .

(2)

Un isomorphisme est une application linéaire bijective.

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. L'ensemble des automorphismes de E est noté GL(E) . Une forme linéaire sur le K -espace vectoriel E est une application linéaire de E dans K . L'ensemble des

formes linéaires sur E est noté E

^∗

.

Exemples. 1. La fonction lim est une forme linéaire du R-espace vectoriel des suites convergentes à valeurs réelles.

2. Soit F = K[X ] et a ∈ K , l'application de Φ de F dans K qui à un polynôme P associe P e (a) est une forme linéaire.

3. L'application



 

 

C

⁰

([a, b]) → R f 7→

Z

b a

f (t) dt est une forme linéaire.

4. Soit E un K -espace vectoriel et A = (a

₁

, · · · , a

_p

) une famille de vecteurs de E . L'application

Φ

_A

:

( K

^p

→ E

(λ

₁

, · · · , λ

_p

) 7→ λ

₁

x

₁

+ · · · + λ

_p

x

_p

est linéaire.

5. Soit E un K -espace vectoriel et (A

1

, · · · , A

p

) une famille de sous-espaces de E . L'application ( A

₁

× · · · × A

_p

→ E

(a

1

, · · · , a

p

) 7→ a

1

+ · · · + a

p

est linéaire.

6. Les applications coordonnées dans une base sont des formes linéaires.

2. Opérations

Proposition. Soit E et F deux K -espaces vectoriels, L(E, F ) est stable pour l'addition fonctionnelle et la multiplication externe fonctionnelle.

L'ensemble des applications linéaires L(E, F ) est un sous-espace vectoriel de F(E, F ) .

Preuve. Il faut vérier la stabilité de L(E, F ) pour les deux opérations. Soit f et g dans L(E, F ) et λ ∈ K . On doit montrer que f +g et λf sont linéaires. Cela résulte immédiatement de la dénition de l'addition fonctionnelle et de la multiplication fonctionnelle par un scalaire.

Remarques. On en déduit que L(E, F ) est un K -espace vectoriel.

L'ensemble E

^∗

= L(E, K) des formes linéaires est un K -espace vectoriel appelé espace dual de E .

Proposition. Soit E , F , G trois K -espaces vectoriels, soit f linéaire de E dans F et g linéaire de F dans G . Alors g ◦ f est linéaire de E dans G .

Soit f un isomorphisme de E dans F . Alors la bijection réciproque f

⁻¹

est linéaire de F dans E . Preuve. Montrons que g ◦ f est linéaire.

∀(a, b) ∈ E

²

: g ◦ f (a + b) = g (f (a) + f (b)) linéarité de f

= g ◦ f (a) + g ◦ f (b) linéarité de g.

De même pour g ◦ f (λa) = λg ◦ f (a) .

Montrons que la bijection réciproque f

⁻¹

est linéaire.

∀(x, y) ∈ F

²

, x + y = f (f

⁻¹

(x)) + f (f

⁻¹

(y)) = f f

⁻¹

(x) + f

⁻¹

(y)

( linéarité de f )

⇒ f

⁻¹

(x + y) = f

⁻¹

(x) + f

⁻¹

(y).

Le raisonnement est analogue pour f

⁻¹

(λx) .

(3)

Remarque. Dans l'ensemble L(E) des endomorphismes trois opérations sont dénies : l'addition fonctionnelle ( + ), la composition ( ◦ ) et une multiplication externe ( . ) par un élément du corps K . Les règles de calculs usuelles sont valides mais la composition ◦ n'est pas commutative : (L(E), +, ◦) est un anneau, (L(E), +, .) est un K - espace vectoriel. On dénit une structure de K -algèbre en imposant certaines propriétés entre la composition et la multiplication externe. Elles sont vériées pour (L(E), +, ◦, .) qui est une K -algèbre.

Remarque. Rappelons les propriétés purement ensemblistes : la composée de deux applications injectives est injective, la composée de deux applications surjectives est surjectives, la composée de deux applications bijectives est bijective. Ceci reste valable lorsque les applications sont linéaires.

3. Noyau et image

Dénition (Noyau et image d'une application linéaire). Soit E et F deux K -espaces vectoriels et f linéaire de E dans F . L'image de f est l'image directe de E par f . Le noyau de f est l'image réciproque (ensembliste) du singleton réduit au vecteur nul.

Im(f ) = f (E) = {f (x), x ∈ E} , ker(f ) = {x ∈ E tq f(x) = 0

_F

} .

Proposition. Im(f ) est un sous-espace vectoriel de F et f est surjectif si et seulement si Im(f ) = F . ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E et f est injectif si et seulement si ker(f ) = {0

E

} .

Preuve. La propriété Im f = F traduit exactement que f est surjective.

Supposons f injective. L'élément 0

F

admet alors un unique antécédent qui est 0

E

. Cela signie ker f = {0

E

} . Réciproquement, supposons ker f = {0

E

} . Soit x et y dans E avec la même image. Alors

f (x) = f (y) ⇒ f (x) − f (y) = 0

F

⇒ f (x − y) = 0

F

⇒ x − y ∈ ker f = {0

E

} ⇒ x − y = 0

E

⇒ x = y.

Exemples A × B → E tq (a, b) → a +b . Pour a

₁

, · · · , a

_p

xés, K

^p

dans E (λ

₁

, · · · , λ

_p

) associe λ

₁

a

₁

+· · · + λ

_p

a

_p

. Dénition (hyperplan). Un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

II. Applications linéaires en dimension nie

1. Prolongement linéaire

Proposition 1 (Théorème du prolongement linéaire). Soit (e

1

, . . . , e

p

) une base d'un K -espace vectoriel E , soit (y

1

, . . . , y

p

) une famille quelconque de p vecteurs d'un espace vectoriel F . Il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que

∀i ∈ J 1, p K , ∀j ∈ J 1, p K : f (e

i

) = y

i

.

Preuve. La démonstration de ce résultat n'est pas proposée. Elle ne présente pas de dicultés mais il est plus ecace d'utiliser d'abord ce théorème dans divers exercices (par exemple compléter les rédactions ébauchées au dessous). En deuxième lecture, en revenant sur cette démonstration, elle apparaîtra comme évidente.

Proposition 2 (Complément au prolongement linéaire). Avec les notations du théorème de prolongement linéaire, f surjective ⇔ (y

₁

, · · · , y

_p

) génératrice , f injective ⇔ (y

₁

, · · · , y

_p

) libre .

Preuve. Supposons f surjective et montrons que (y

₁

, · · · , y

_p

) est génératrice.

Pour tout y ∈ F , il existe x ∈ E tel que y = f (x) (surjectivité). Ce vecteur x se décompose dans la base (e

1

, · · · , e

p

) de E . Il existe λ

1

, · · · , λ

p

dans K tels que

x = λ

1

e

1

+ · · · + λ

p

e

p

⇒ y = f (x) = λ

1

f (e

1

) + · · · + λ

p

f (e

p

) = λ

1

y

1

+ · · · + λ

p

y

p

. Supposons (y

1

, · · · , y

p

) est génératrice et montrons que f est surjective.

Pour tout y ∈ F , comme (y

1

, · · · , y

p

) est génératrice, il existe λ

1

, · · · , λ

p

dans K tels que

y = λ

1

y

1

+ · · · + λ

p

y

p

= λ

1

f (e

1

) + · · · + λ

p

f (e

p

) = f (λ

1

e

1

+ · · · + λ

p

e

p

) ∈ Im(f ).

(4)

Supposons f injective et montrons que (y

1

, · · · , y

p

) est libre.

Pour tout (λ

1

, · · · , λ

p

) ∈ K

^p

. Si λ

1

y

1

+ · · · λ

p

y

p

= 0

F

alors

λ

₁

e

₁

+ · · · λ

_p

e

_p

∈ ker f = {0

E

} ⇒ λ

₁

e

₁

+ · · · λ

_p

e

_p

= 0

_E

⇒ λ

₁

= · · · = λ

_p

= 0

_K

car (e

₁

, · · · , e

_p

) est libre.

Supposons (y

₁

, · · · , y

_p

) est libre et montrons que f est injective.

Pour tout x ∈ ker E , comme (e

₁

, · · · , e

_p

) est génératrice, il existe λ

₁

, · · · , λ

_p

dans K tels que x = λ

1

e

1

+ · · · + λ

p

e

p

⇒⇒ 0

F

= f (x) = λ

1

f (e

1

) + · · · + λ

p

f (e

p

) = λ

1

y

1

+ · · · + λ

p

y

p

⇒ λ

1

= · · · = λ

p

= 0

K

(car (y

1

, · · · , y

p

) est libre) ⇒ x = 0

E

.

Remarque. Si on se donne une famille de p vecteurs (x

1

, x

2

, . . . , x

p

) d'un K -espace vectoriel E , la proposition précédente dénit (avec la base canonique de K

^p

comme base de l'espace de départ) une application linéaire Φ de K

^p

dans E .

Φ((λ

₁

, · · · , λ

_p

)) =

p

X

i=1

λ

_i

a

_i

L'image de cette application est Vect(a

₁

, · · · , a

_p

) , elle est injective si et seulement si la famille est libre.

Proposition 3 (Variante du théorème de prolongement linéaire). Soit A

1

, A

2

, · · · , A

p

des sous-espaces vectoriels d'un K -espace vectoriel E tels que E = A

1

⊕· · ·⊕A

p

. Soit F un K -espace vectoriel et, pour i ∈ J 1, p K, f

i

∈ L(A

i

, F ) . Il existe alors une unique application linéaire f ∈ L(E, F ) telle que

∀i ∈ J 1, p K , f |

A_i

= f

i

.

Preuve. Ce résultat se démontre par analyse-synthèse. Il est facile à prouver à condition de maitriser les projections attachés à une décomposition en somme directe (partie III.).

2. Bases et dimensions usuelles

Proposition 4 (base duale). Soit (a

1

, · · · , a

p

) une base d'un K -espace vectoriel E . La famille (α

1

, · · · , α

p

) des fonctions coordonnées attachées à cette base est une base de l'espace vectoriel E

^∗

.

Preuve. Il s'agit de montrer que toute ϕ ∈ E

^∗

se décompose de manière unique comme combinaison linéaire des α

i

. Raisonnons par analyse-synthèse.

Analyse. Supposons que ϕ se décompose. Soit λ

1

, · · · , λ

p

∈ K tels que ϕ = λ

1

α

1

+ · · · + λ

p

α

p

Il s'agit d'une égalité entre deux fonctions linéaires de E dans K . Prenons la valeur en a

i

avec i ∈ {1, · · · , p} . On obtient ϕ(a

_i

) = λ

_i

car α

_j

(a

_i

) = δ

_i,j

. On en déduit l'unicité de la décomposition éventuelle. La seule possible est

ϕ = ϕ(a

₁

)α

₁

+ · · · + ϕ(a

_p

)α

_p

Synthèse. Considérons l'application ψ = ϕ − ϕ(a

₁

)α

₁

+ · · · +ϕ(a

_p

)α

_p

. La propriété α

_j

(a

_i

) = δ

_i,j

entraine alors que ψ(a

_i

) = 0

_E

pour tous les i . Or les a

_i

forment une base et ψ est linéaire donc ψ = 0 .

Proposition 5 (base de L(E, F ) ). Soit A = (a

1

, · · · , a

p

) une base d'un K -espace vectoriel E , soit B = (b

1

, · · · , b

q

) une base d'un K -espace vectoriel F . Pour tout couple (i, j) ∈ {1, 2, · · · , p} × {1, 2, · · · , q} , on dénit une fonction f

i,j

de E dans F à l'aide du théorème de prolongement linéaire par les relations

∀k ∈ {1, · · · , p} : f

i,j

(a

k

) =

( 0

_F

si k 6= i

b

j

si k = i

La famille (f

i,j

)

(i,j)∈{1,2,···,p}×{1,2,···,q}

est une base de L(E, F ) .

(5)

Preuve. Cette démonstration n'est pas conseillée en première lecture.

Montrons par analyse-synthèse que toute f ∈ L(E, F ) se décompose de manière unique.

Analyse. Supposons

f = X

i,j

λ

i,j

f

ij

Pour tout i

₀

∈ J 1, p K f (a

_i₀

) = X

i,j

λ

_i,j

f

_i_j

(a

_i₀

) = X

j

λ

_i₀_,j

b

_j

car seul les i = i

₀

contribuent vraiment

Cette relation entraine que les λ

i₀,j

sont les coordonnées dans B de f (a

i₀

) . Comme i

0

est quelconque, ceci assure l'unicité de tous les coecients.

Synthèse. Les coecients étant choisis comme dans la question précédente, soit g P

i,j

λ

i,j

f

i_j

. Par dénition f et g coïncident sur les vecteurs de A , ils sont donc égaux par prolongement linéaire.

Proposition 6. Soit E et F des K -espaces vectoriels de dimension nie. Les espaces E

^∗

et L(E, F ) sont de dimensions nies avec

dim(E

^∗

) = dim(E), dim(L(E, F )) = dim(E) dim(F )

Preuve. Il sut de compter les nombres de vecteurs des bases données par les propositions 4 et 5.

3. Isomorphismes

Proposition 7. Soit (a

1

, a

2

, · · · , a

n

) une base d'un K -espace vectoriel E , soit f une application linéaire de E dans un K -espace vectoriel F . L'application f est un isomorphisme si et seulement si la famille (f (a

1

), · · · , f (a

n

)) est une base de F .

Preuve. C'est une conséquence immédiate du complément du prolongement linéaire (prop 2 ).

Proposition 8. Soit (x

1

, x

2

, · · · , x

n

) une famille de vecteurs d'un K -espace vectoriel F . Soit ϕ l'application

ϕ :

( K

ⁿ

→ F

(λ

1

, · · · , λ

n

) → λ

1

x

1

+ · · · + λ

n

x

n

Alors (x

₁

, x

₂

, · · · , x

_n

) est une base si et seulement si ϕ est un isomorphisme.

Preuve. On peut voir cette proposition comme un cas particulier de la précédente avec K

ⁿ

comme espace de départ et la base canonique comme famille (a

1

, · · · , a

n

) .

On peut aussi la voir comme une reformulation de la caractérisation d'une base. Une famille est une base si et seulement si un vecteur quelconque se décompose de manière unique comme une combinaison linéaire de vecteurs de la famille.

Proposition 9. Soit E et F deux K -espaces vectoriels de même dimension (nie) et f ∈ L(E, F ) . Alors f injective ⇔ f surjective ⇔ f bijective .

Preuve. Soit A = (a

₁

, · · · , a

_p

) une base de E . D'après le complément au théorème de prolongement linéaire (II. 1.

prop. 1),

f injective ⇔ (f (a

₁

), · · · , f (a

_p

)) libre , f surjective ⇔ (f (a

₁

), · · · , f (a

_p

)) génératrice .

Comme dim F = dim E = p , une seule de ces deux propriétés assure que (f (a

₁

), · · · , f (a

_p

)) est une base donc que f est un isomorphisme.

Remarque. L'hypothèse est vériée en particulier pour un endomorphisme d'un espace de dimension nie ( F = E ).

On peut reformuler alors la proposition avec le vocabulaire de l'anneau L(E)

¹

. Proposition 10. Soit E de dimension nie et f ∈ L(E) , alors :

f inversible ⇔ f inversible à gauche ⇔ f inversible à droite

1ou de l'algèbreL(E). UneK-algèbre est à la fois un anneau et unK-espace vectoriel. Les exemples d'algèbre à connaître sont L(E)etK[X].

(6)

Preuve. S'il existe g ∈ L(E) tel que f ◦ g = Id

E

alors f est surjective donc bijective et en composant par la bijection réciproque f

⁻¹

on obtient g = f

⁻¹

.

S'il existe h ∈ L(E) tel que h ◦ f = Id

_E

alors f est injective donc bijective et en composant par la bijection réciproque f

⁻¹

on obtient h = f

⁻¹

.

Comme la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme et que la bijection réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme, on obtient la proposition suivante

Proposition 11. Tout K -espace vectoriel de dimension n est isomorphe à K

ⁿ

.

Deux K -espaces vectoriels de dimension nie sont isomorphes si et seulement si ils sont de même dimension.

Si un K -espace vectoriel E est isomorphe à un K -espace vectoriel F de dimension nie, alors E est de dimension nie et dim E = dim F .

Preuve. Tout K -espace vectoriel de dimension n est isomorphe à K

ⁿ

d'après la proposition 8.

Si deux K -espaces sont de dimension n , ils sont tous les deux isomorphes à R

ⁿ

donc isomorphes entre eux.

Si E et F sont isomorphes avec E de dimension n donc isomorphe à R

ⁿ

alors F est aussi isomorphe à R

ⁿ

donc de dimension n .

Deux espaces de dimensions diérentes ne peuvent pas être isomorphe à cause de la condition susante de dépen- dance.

Théorème 1 (Théorème noyau-image). Soit E et F deux K -espaces vectoriels. Soit f une application linéaire de E dans F . Soit A un sous-espace vectoriel supplémentaire de ker f dans E . Alors, l'application ϕ dénie par :

ϕ :

( A → Im f a → f(a) est un isomorphisme.

Preuve. Montrons d'abord que la fonction est injective. Pour tout a ∈ ker ϕ : 0

E

= ϕ(a) = f (a) . Donc a ∈ ker f ∩ A = {0

E

}.

Montrons ensuite qu'elle est surjective. Pour tout y ∈ Im f , il existe un x ∈ E (pas forcément dans A à priori) tel que f (x) = y . Comme A et ker f sont supplémentaires, x se décompose. Il existe a ∈ A et u ∈ ker f tels que x = a + u . alors :

y = f (x) = f (a) + f (u) = f (a) = ϕ(a) ce qui prouve que ϕ est surjective.

Remarque. Dans le théorème noyau-image, on ne suppose pas les espaces de dimension nie.

4. Théorème du rang

Théorème 2 (Théorème du rang). Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie. Soit F un K -espace vectoriel quelconque et f une application linéaire de E dans F . Alors Im(f ) est de dimension nie. De plus :

dim E = dim(Im f ) + dim(ker f ).

Dénition. Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie, F un K -espace vectoriel quelconque et f une application linéaire de E dans F . Le rang de f (noté rg(f ) ) est la dimension de Im(f ) .

Le théorème du rang se reformule donc en

dim E = rg f + dim(ker f ).

Preuve. Considérons un supplémentaire A du noyau de ker f dans E . On sait que dans un espace de dimension nie, de tels supplémentaires existent et que :

dim E = dim(ker f ) + dim A.

D'après le théorème noyau-image, ce supplémentaire A est isomorphe à Im f qui est donc de dimension nie et égale

à dim A . On obtient le théorème du rang en remplaçant dim A par rg f dans la relation entre les dimensions.

(7)

III. Projecteurs - Symétries - Anités

Dénition (projecteur, symétrie). Un projecteur est un endomorphisme p tel que p ◦ p = p . Une symétrie est un endomorphisme s tel que s ◦ s = Id .

Les projections sont attachées à une décomposition de l'espace en sous-espaces supplémentaires.

Dénition. Soit A et B supplémentaires dans un K -espace vectoriel E . Chaque vecteur se décompose de manière unique. Cela permet de dénir des fonctions p

A,B

, p

B,A

s

A,B

par :

∀x ∈ E, x = p

A,B

(x)

| {z }

∈A

+ p

B,A

(x)

| {z }

∈B

, s

A,B

= p

A,B

− p

B,A

.

On dit que p

A,B

est la projection sur A parallèlement à B , que p

B,A

est la projection sur B parallèlement à A et que s

_A,B

est la symétrie par rapport à A dans la direction B .

On vérie facilement les propriétés suivantes à partir de la dénition : Les projections p

_A,B

et p

_B,A

sont des endomorphismes de E .

Pour tout a ∈ A , p

_A,B

(a) = a , p

_B,A

(a) = 0

_E

, s

_A,B

(a) = a . Pour tout b ∈ B , p

_A,B

(b) = 0

_E

, p

_B,A

(b) = b , s

_A,B

(b) = −b .

p

A,B

+ p

B,A

= Id

E

, p

B,A

◦ p

B,A

= p

A,B

◦ p

B,A

= 0

_L(E)

,

ker p

_A,B

= B, Im p

_A,B

= A, ker p

_B,A

= A, Im p

_B,A

= B, p

_A,B

◦ p

_A,B

= p

_A,B

, p

_B,A

◦ p

_B,A

= p

_B,A

, s

A,B

◦ s

A,B

= Id

E

, A = {x ∈ E tq s

A,B

(x) = x} = ker

s

A,B

− Id

E

,

B = {x ∈ E tq s

A,B

(x) = −x} = ker

s

A,B

+ Id

E

. On en déduit en particulier que les projections sont des projecteurs et que s

A,B

est bien une symétrie.

On peut généraliser la dénition des projections à une somme directe de plus de deux sous-espaces.

Dénition. Soit A

1

, · · · , A

p

des sous-espace de E en somme directe. Chaque vecteur de E se décompose de manière unique dans la somme. Cela permet de dénir des projections p

1

, · · · , p

p

par :

∀x ∈ E, x = p

1

(x) + · · · + p

p

(x).

Ici encore, on vérie facilement que les p

_i

sont linéaires et que ce sont des projecteurs. En fait A

_i

et ⊕

j6=i

A

_j

sont supplémentaires et p

_i

est la projection sur A

_i

parallèlement à ⊕

j6=i

A

_j

.

Montrons maintenant que les relations p ◦ p = p et s ◦ s = Id

_E

induisent toujours une somme directe.

Proposition. Soit p ∈ L(E) tel que p ◦ p = p . Les sous-espaces Im p et ker p sont supplémentaires et p est la projection sur Im p parallèlement à ker p .

Preuve. Montrons par analyse-synthèse que les sous-espaces sont supplémentaires.

Analyse. Pour tout x ∈ E . Si x = u + v avec u ∈ Im p et v ∈ ker p . Comme u ∈ Im p , il existe u

1

∈ E tel que u = p(u

1

) . Composons par p :

x = u + v ⇒ p(x) = p(u) + p(v) = p ◦ p(u

₁

) + 0

_E

= p(u

₁

) = u ⇒

( u = p(x) v = x − p(x) . Ceci prouve l'unicité d'une éventuelle décomposition de x .

Synthèse. Tout x ∈ E se décompose en x = p(x) + (x − p(x)) . Il est évident que p(x) ∈ Im p . Montrons que x − p(x) ∈ ker p . Cela résulte de

p(x − p(x)) = p(x) − p ◦ p(x) = p(x) − p(x) = 0

_E

.

Ceci achève de montrer que Im p et ker p sont supplémentaires. De plus la projection de x sur Im p parallélement à ker p est la composante dans Im p de la décomposition c'est à dire p(x) .

Proposition. Soit s ∈ L(E) tel que s ◦s = Id

E

. Les sous-espaces ker(s −Id

E

) et ker(s+ Id

E

) sont supplémentaires

et s est la symétrie par rapport à ker(s − Id

E

) dans la direction ker(s + Id

E

) .

(8)

Preuve. Montrons par analyse-synthèse que les sous-espaces sont supplémentaires.

Analyse. Pour tout x ∈ E . Si x = u + v avec u ∈ ker(s − Id

E

) et v ∈ ker(s + Id

E

) . Composons par s :

x = u + v ⇒ s(x) = s(u) + s(v) = u − v ⇒



 

  u = 1

2 (x + s(x)) v = 1

2 (x − s(x)) .

Ceci prouve l'unicité d'une éventuelle décomposition de x .

Synthèse. Tout x ∈ E se décompose en x =

¹₂

(x + s(x)) +

¹₂

(x − s(x)) . Notons u =

¹₂

(x + s(x)) et v =

¹₂

(x − s(x)) . Alors :

s(u) = 1

2 (s(x) + s ◦ s(x)) = 1

2 (s(x) + x) = u ⇒ u ∈ ker(s − Id

E

).

s(v) = 1

2 (s(x) − s ◦ s(x)) = 1

2 (s(x) − x) = −v ⇒ v ∈ ker(s + Id

E

).

Ceci achève de montrer que ker(s − Id

_E

) et ker(s + Id

_E

) sont supplémentaires. Notons les respectivement A et B . On a déjà exprimé les projections :

p

_A,B

= 1 2 (Id

E

+s) p

B,A

= 1

2 (Id

E

−s)



 

 

⇒ s

A,B

= p

A,B

− p

B,A

= s.

Donc s est bien la symétrie par rapport à A dans la direction B .

Dénition (anité). Soit A et B des sous-espaces supplémentaires. Les applications de la forme p

A,B

+ λp

B,A

avec λ ∈ K sont appelés des anités de base A , de direction B et de rapport k .

Les anités englobent les projections et les symétries. Dans le plan, étant donné une ellipse, il existe une anité qui transforme l'ellipse en cercle. Son rapport est le quotient du grand-axe sur le petit-axe.

IV. Formes et hyperplans

1. En dimension quelconque

Soit E un K -espace vectoriel. On rappelle qu'une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans K . L'ensemble des formes linéaires sur E est noté E

^∗

(dual de E ) au lieu de L(E, K) .

Dénition (hyperplan). Un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Remarques. Le noyau de la forme linéaire nulle sur E est E tout entier.

Une forme linéaire α non nulle est surjective. En eet, il existe alors un vecteur u ∈ E tel que α(u) 6= 0 . On vérie immédiatement que, pour tout λ ∈ K , le vecteur

_α(u)^λ

u est un antécédent de λ pour α .

Proposition 12. Soit H un hyperplan et D une droite vectorielle qui n'est pas incluse dans H . Les sous-espaces H et D sont alors supplémentaires.

En particulier, si u est un vecteur qui n'est pas dans H = ker α , la droite Vect(u) est un supplémentaire de H . L'unique décomposition d'un vecteur x de E est

x = x − α(x) α(u) u

| {z }

∈kerα

+ α(x) α(u) u

| {z }

∈Vect(u)

Preuve. Par dénition d'un hyperplan, il existe une forme linéaire non nulle α et un vecteur non nul u tels que H = ker α et D = Vect(u) . Le fait que D 6⊂ H se traduit par α(u) 6= 0 . On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse. Soit x un vecteur de E . S'il se décompose dans H + D , il existe h ∈ H = ker α et λ ∈ K tels que x = h + λu ⇔ α(x) = α(x) + λα(u) ⇒ λ = α(x)

α(u) et h = x − λu.

(9)

Ce qui assure l'unicité de la décomposition.

Synhèse. Écrivons une décomposition idiote : x = α(x)

α(u) u

| {z }

∈D

+

− α(x) α(u) u + x

| {z }

=h

avec α(h) = − α(x)

α(u) α(u) + α(x) = 0

K

donc h ∈ ker α = H . Ce qui assure l'existence de la décomposition.

Proposition 13. Soit D une droite vectorielle. Tout sous-espace vectoriel supplémentaire de D est un hyperplan.

Preuve. Soit H un supplémentaire de D et u un vecteur non nul de D . On doit trouver ou fabriquer une forme linéaire α telle que H = ker α .

Tout vecteur de E se décompose de manière unique dans D + H ; cela permet de dénir une application α de E dans K par :

∀x ∈ E, x = α(x)u + un vecteur de H

On vérie par unicité de la décomposition que α est linéaire. Elle est à valeurs dans K c'est donc une forme linéaire.

De plus, par sa dénition même,

x ∈ ker α ⇔ x ∈ H donc H = ker α.

Remarque. Si u et v sont deux vecteurs non nuls, la famille (u, v) est liée si et seulement si il existe λ 6= 0 tel que v = λu . En particulier, pour des formes linéaires dans E

^∗

, cela permet de démontrer le résultat suivant.

Proposition 14. Soit α et β deux formes linéaires non nulles. La famille (α, β) est liée si et seulement si ker α = ker β .

Preuve. Si (α, β) est liée, comme aucune des deux n'est nulle, il existe λ 6= 0

K

tel que β = λα . On en déduit ker α = ker β .

Réciproquement, si ker α = ker β = H , il existe u ∈ E tel que α(u) 6= 0

K

. Montrons que β(u)α − α(u)β = 0

_L(E,K)

ce qui assure (car α(u) 6= 0

K

) que la famille (α, β) est liée. Pour montrer cette relation, considérons des éléments de E :

∀x ∈ E, x = α(x)

α(u) u + h

|{z}

∈H=kerβ

⇒ β(x) = α(x)

α(u) β(u) ⇒ β (u)α(x) − α(u)β(x) = 0.

Toutes les équations d'un même hyperplan sont proportionnelles.

2. En dimension nie

On rappelle que si (a

1

, · · · , a

n

) est une base d'un espace vectoriel E , la famille des formes coordonnées (α

1

, · · · , α

n

) est une base de E

^∗

appelée base duale de (a

1

, · · · , a

n

) .

Proposition 15. Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et A un sous-espace vectoriel de E . Alors A est un hyperplan si et seulement si dim(A) = n − 1 .

Preuve. Si A est un hyperplan, c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle. Une forme linéaire non nulle de E est de rang 1 donc son noyau est de dimension dim E − 1 .

Réciproquement, si A est un sous-espace de dimension n − 1 dans un espace E de dimension n . Considérons une base (a

₁

, · · · , a

_n−1

) de A et complétons la en une base A = (a

₁

, · · · , a

_n−1

, a

_n

) de E . Notons α

₁

, · · · , α

_n

les formes coordonnées dans la base A . Alors

A = Vect(a

₁

, · · · , a

_n−1

) = ker α

_n

.

Proposition 16. L'intersection de m hyperplans dans un espace de dimension n est un sous-espace dont la

dimension est supérieure ou égale à n − m .

(10)

Preuve. Les hyperplans sont les noyaux de formes linéaires α

1

, · · · α

m

. On considère l'application Φ :

( E → K

^m

x 7→ (α

1

(x), · · · , α

m

(x)) .

Cette application est linéaire, son noyau est l'intersection des hyperplans, son image est un sous-espace vectoriel de K

ⁿ

. Le théorème du rang fournit l'inégalité demandée.

dim E = dim (ker α

1

∩ · · · ∩ ker α

m

) + rg Φ

|{z}

≤m

⇒ dim (ker α

1

∩ · · · ∩ ker α

m

) ≥ dim E − m.

Proposition 17. Pour tout m ∈ J 1, n K, dans un espace de dimension n , tout sous-espace de dimension n − m est l'intersection de m hyperplans.

Preuve. Soit E un espace de dimension n et A un sous-espace de dimension n − m . On peut compléter une base (a

₁

, · · · , a

_n−m

) de A en une base

B = (a

₁

, · · · , a

_n−m

, b

₁

, · · · , b

_m

)

de E . Considérons sa base duale (formes coordonnées) que l'on note de la manière suivante : B

^∗

= (α

1

, · · · , α

_n−m

, β

1

, · · · , β

m

)

Un vecteur x est dans ker(β

1

) ∩ · · · ker(β

m

) si et seulement si ses coordonnées (dans la base B ) selon b

1

, · · · , b

m

sont nulles. Cela traduit qu'il appartient à A . On en tire

A = ker(β

₁

) ∩ · · · ker(β

_m

)

Remarque. On peut remarquer dans la démonstration de la proposition précédente que le sous-espace A de dimension n − m est l'intersection d'une famille libre de m hyperplans.

Passer de la dénition d'un sous-espace comme intersection d'hyperplans à une dénition par des vecteurs revient à trouver une base de ce sous-espace. Pour faire cela, on doit résoudre un certain système.

Exemple (à compléter).

Pour passer de la dénition d'un sous-espace comme engendré par une famille de vecteurs à une dénition comme intersection d'hyperplans, on doit trouver les équations dont le sous-espace est l'ensemble des solutions.

Pour faire cela, on doit éliminer les inconnues d'un certain système.

Exemple (à compléter).

La proposition suivante est hors programme. Elle est proposée comme un exercice traité en classe autour des démonstrations des propositions 16 et 17.

Proposition 18. Soit ϕ

₁

, · · · , ϕ

_m

une famille de formes linéaires dans un espace E de dimension nie n . dim (ker(ϕ

1

) ∩ · · · ∩ ker(ϕ

m

)) = n − m ⇔ (ϕ

1

, · · · , ϕ

m

) libre .

Preuve. Notons A = ker(ϕ

1

) ∩ · · · ∩ ker(ϕ

m

) . Supposons dim A = n − m et considérons

Φ :

( E → K

^m

x 7→ (ϕ

1

(x), · · · , ϕ

m

(x)) .

Comme son noyau est A , elle est surjective d'après le théorème du rang. Notons b

₁

, · · · , b

_m

les images réciproques par Φ des vecteurs de la base canonique de K

^m

de sorte que

∀(i, j) ∈ J 1, m K

2

, α

i

(b

j

) = δ

i,j

.

Ces vecteurs permettent de montrer que (α

1

, · · · , α

m

) est libre. En eet, pour tous (λ

1

, · · · , λ

m

) ∈ K

^m

,

λ

1

α

1

+ · · · + λ

m

α

m

= 0

E^∗

⇒





 ∀j ∈ J 1, m K , (λ

1

α

1

+ · · · + λ

m

α

m

)(b

j

)

| {z }

=λ

= 0

K





 .

(11)

Réciproquement, supposons (ϕ

1

, · · · , ϕ

m

) libre dans E

^∗

et complétons cette famille en une base (ϕ

1

, · · · , ϕ

n

) de l'espace E

^∗

des formes linéaires. Considérons

Ψ :

( E → K

ⁿ

x 7→ (ϕ

1

(x), · · · , ϕ

n

(x)) .

Le noyau de Ψ est l'intersection des noyaux des ϕ

_i

. Les ϕ

_i

engendrent E

^∗

donc en particulier toutes les formes coordonnées dans une base de E . Si un vecteur x est dans l'intersection des ker ϕ

_i

, toutes ses coordonnées dans une base de E sont nulles donc il est nul. La fonction Ψ est donc injective. Elle est surjective à cause de dim E = n = dim K