Algèbre bilinéaire

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Algèbre bilinéaire

Mohamed HOUIMDI

Université Cadi Ayyad Faculté des Scieces-Semlalia Département de Mathématiques

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(2)

TABLE DES MATIÈRES

1 Formes linéaires – Dualité 2

1.1 Formes linéaires et hyperplans . . . 2

1.5 Espace vectoriel dual . . . 4

1.7 Base duale . . . 7

1.12 Base préduale . . . 10

1.15 Prolongement des formes linéaires . . . 11

1.18 Orthogonalité . . . 12

1.26 Bidual . . . 16

1.29 Transposée d’une application linéaire . . . 17

1.35 Exercices . . . 19

2 Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques 23 2.1 Formes bilinéaires symétriques . . . 23

2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . 23

2.3.1 Matrice d’une forme bilinéaire . . . 24

2.4.1 Ecriture matricielle . . . 25

2.4.2 Changement de base . . . 26

2.5.1 Rang d’une forme bilinéaire . . . 26

2.7.1 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées . . . 27

2.9.1 Orthogonalité . . . 28

2.14.1 Bases orthogonales . . . 31

2.18 Formes quadratiques . . . 32

2.21.1 Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique . . . 35

2.22 Signature d’une forme bilinéaire symétrique . . . 40

2.22.1 bases orthonormales . . . 40

2.25.1 Théorème d’inertie de Sylvestre . . . 41

2.27 Exercices . . . 42

3 Espaces eucldiens 48 3.1 Produit scalaire . . . 48

3.3.1 Notations et règles de calcul . . . 50

3.3.2 Utilisation des bases orthonormales . . . 51

3.4 Inégalité de cauchy-Schwartz . . . 52

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(3)

3.10 Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . 54

3.13 Changement de bases orthonormales - Orientation . . . 56

3.19 Produit vectoriel. . . 58

3.19.1 Formes linéaires d’un espace euclidien . . . 58

3.20.1 Définition et propriètés du produit vectoriel . . . 58

3.25 Exercices . . . 62

4 Endomorphismes d’un espace euclidiens 67 4.1 Endomorphisme adjoint . . . 67

4.5 Projection orthogonale . . . 69

4.5.1 Projection suivant une direction . . . 69

4.7.1 Définition et propriètés d’une projection orthogonale . . . 70

4.10.1 Distance d’un point à un sous-espace vectoriel . . . 74

4.13 Symétrie orthogonale . . . 76

4.13.1 Symétrie suivant une direction . . . 76

4.15.1 Propriètés des symétries orthogonales . . . 76

4.18 Endomorphismes symétriques . . . 78

4.18.1 Définition et propriètés des endomorphismes symétriques . . . 78

4.22.1 Formes bilinéaires symétriques d’un espace euclidien . . . 80

4.27 Endomorphismes orthogonaux . . . 82

4.27.1 Définition et propriètés de base. . . 82

4.32.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 2 . . . 85

4.33.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 3 . . . 86

4.35.1 Cas général . . . 89

4.38 Exercices . . . 91

5 Formes sesquilinéaires - Formes quadratiques hermitiennes 106 5.1 Formes sesquilinéaires - Formes hemitiennes . . . 106

5.1.1 Quelques rappels sur les nombres complexes . . . 106

5.1.2 Définition et propriètés de base. . . 107

5.3.1 Matrice d’une forme sesquilinéaire . . . 108

5.4.1 Ecriture matricielle . . . 109

5.4.2 Changement de base . . . 109

5.5.1 Rang d’une forme sesquilinéaire . . . 110

5.6.1 Formes hermitienne non dégénérée . . . 110

5.8.1 Orthogonalité . . . 111

5.12.1 Bases orthogonales . . . 112

5.16 Formes quadratiques hermitiennes . . . 113

5.19.1 Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique hermitienne . . 115

5.20 Exercices . . . 119

6 Espaces hermitiens 121 6.1 Produit hermitien . . . 121

6.1.1 Définition et exemples . . . 121

6.3.1 Notations et règles de calcul . . . 122

6.3.2 Utilisation des bases orthonormales . . . 123

6.4 Inégalité de cauchy-Schwartz . . . 124

6.8 Endomorphismes d’un espace hermitien . . . 125

6.8.1 Endomorphisme adjoint . . . 125

6.11.1 Endomorphismes normaux . . . 126

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(4)

6.15.1 Endomorphismes hermitiens . . . 129 6.18.1 Endomorphismes unitaires . . . 130 6.23 Exercices . . . 132

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CHAPITRE 1

FORMES LINÉAIRES – DUALITÉ

1.1 Formes linéaires et hyperplans

Uneforme linéairesurEest une application linéaire deE versK.

Définition 1.2.

Remarque 1.2.1

Rappelons que si E est un K-espace vectoriel, on dit que H est un hyperplan de E, sidim(E/H) =1.

Donc si E est de dimension finie, alors

H est un hyperplan de E ⇐⇒dim(H) =dim(E)−1

SoitEunK-espace vectoriel quelconque. Alors

i) Le noyau d’une forme linéaire non nulle surE est un hyperplan deE.

ii) Tout hyperplan deE est le noyau d’au moins une forme linéaire non nulle deE.

iii) Siϕetψsont deux formes linéaires non nulles deE. Alors ker(ϕ) =ker(ψ)⇐⇒ ∃λ∈K : ψ=λϕ Proposition 1.3.

Preuve

i) Soit ϕ une forme linéaire non nul sur E, alors on sait que E/ker(ϕ) est isomorphe à Im(ϕ).

Puisqueϕ6=0, alors Im(ϕ)6={0_K}, donc Im(ϕ) =K. Par suite, E/ker(ϕ)est isomorphe à K, doncdim(E/ker(ϕ)) =1. Ainsi,ker(ϕ)est un hyperplan de E.

ii) (=⇒) Supposons queker(ϕ) =ker(ψ)et soit x₀∈E, tel que x₀∈/ker(ϕ), donc on aura E=ker(ϕ)⊕Vect(x₀)

Soit x∈E avec x=y₀+αx₀, alorsϕ(x) =αϕ(x₀)etψ(x) =αψ(x₀). Puisqueϕ(x₀)6=0, donc on voit queψ(x) = ^ψ(x_ϕ(x⁰⁾

0)ϕ(x)et ceci pour tout x∈E, donc on aura ψ= ψ(x₀)

ϕ(x₀)ϕ

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(6)

(⇐=) Trivial.

Remarque 1.3.1

Le résultat ii) de la proposition précédente se généralise de la manière suivante :

Soient E un K-espace vectoriel quelconque, ϕ et ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_n des formes linéaires non nulles surE. Alors

n

\

i=1

ker(ϕ_i)⊆ker(ϕ)⇐⇒ ∃(λ₁,λ₂, . . . ,λ_n)∈Kⁿ : ϕ=

n i=1

∑

λ_iϕ_i Proposition 1.4.

Preuve

(=⇒) Supposons que

n

T

i=1

ker(ϕ_i)⊆ker(ϕ)et montrons queϕ∈Vect({ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_n}).

Pour cela, on procède par récurrence sur n≥1.

Pour n=1, le résultat est vrai d’après la proposition précédente.

Supposons que n>1et la proprièté vraie pour tout entier m<n.

Première méthode : Pour chaque i∈ {1,2, . . . ,n−1}, soitψ_ila réstriction deϕ_iàker(ϕ_n)et soitψ la restriction deϕàker(ϕ_n), alorsψ₁,ψ₂, . . . ,ψ_n−1 etψ sont des formes linéaires deker(ϕ_n)et on a

n−1

\

i=1

ker(ψ_i)⊆ker(ψ)

Ainsi, d’après l’hypothèse de récurrence, il existe(λ₁,λ2, . . . ,λn−1)∈Kⁿ⁻¹, tel que ψ=

n−1 i=1

∑

λ_iψ_i

Soitβla forme linéaire de E définie par β=ϕ−

n−1 i=1

∑

λ_iϕ_i

Alors pour x∈ker(ϕ_n), on a β(x) =ϕ(x)−

n−1 i=1

∑

λ_iϕ_i(x) =ψ(x)−

n−1 i=1

∑

λ_iψ_i(x) =0

Doncker(ϕ_n)⊆ker(β), donc d’après la proposition précédente, il existeλ_n∈K, tel que β=λnϕn, par suite, on aura

ϕ=

n

∑

i=1

λiϕi

Deuxième méthode : On peut supposer queϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_nsont linéairement indépendants, car sinon, il existe i₀∈ {1,2, . . . ,n}

ϕ_i₀ =

n

∑

i=1 i6=ϕi

α_iϕ_i

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(7)

Donc quitte à réordonner les éléments, on peut supposer que i₀=n, donc on aura ϕ_n=

n−1 i=1

∑

α_iϕ_i

Ainsi, on aura

n−1

T

i=1

ker(ϕ_i)⊆ker(ϕ_n) donc

n−1

T

i=1

ker(ϕ_i)⊆ker(ϕ), par suite d’après l’hypo- thèse de récurrence, il existe(λ₁,λ2, . . . ,λn−1)∈Kⁿ⁻¹, tel que

ϕ=

n−1

∑

i=1

λ_iϕ_i

Donc on aura le résultat.

Supposons, donc, que(ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_n)est libre, donc, d’après l’hypothèse,

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, ^\

j=1 j6=i

ker(ϕ_j)*ker(ϕ_i) Donc pour tout i∈ {1,2, . . . ,n}, il existe y_i∈E, tel que y_i∈ ^T

j=1 j6=i

ker(ϕ_j)et y_i∈/ker(ϕ_i) Si on pose x_i= y_i

ϕi(y_i), alorsϕ_i(x_i) =1et∀j, j6=i=⇒ϕ_j(x_i) =0.

Donc pour tout x∈E, on a

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, ϕ_i(x−

n j=1

∑

ϕ_j(x)x_j) =ϕ_i(x)−ϕ_i(x) =0 Donc

x−

n

∑

j=1

ϕj(x)x_j∈

n

\

i=1

ker(ϕ_i) Par suite,

∀x∈E, x−

n j=1

∑

ϕ_j(x)x_j∈ker(ϕ) Donc

∀x∈E, ϕ(x) =

n

∑

j=1

ϕ(x_j)ϕ_j(x) Donc, si on pose pour tout j∈ {1,2, . . . ,n},λ_j=ϕ(x_j), on aura

ϕ=

n

∑

j=1

λjϕj

(⇐=) Trivial.

1.5 Espace vectoriel dual

SoitE unK-espace vectoriel. On appelleespace vectoriel dualdeE, qu’on noteE^∗, l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires surE.

E^∗=L(E,K) Définition 1.6.

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(8)

Notations

Pour x∈E et pourϕ∈E^∗, on pose

ϕ(x) =<x,ϕ>

Remarque 1.6.1

Si E est de dimension finie, alors on sait que L(E,K)est aussi de dimension finie et on a dim(L(E,K)) =dim(E)×dim(K) =dim(E)

Donc si E est de dimension finie, alors E^∗est aussi de dimension finie et on a dim(E^∗) =dim(E)

Donc, en particulier, si E est de dimension finie, alors E et E^∗sont isomorphes.

Cependant, si E n’est pas de dimension finie, E^∗ peut ne pas être isomorphe à E. (Voir exemple ci-dessous).

Exemples

1. Soit K un corps commutatif, pour tout a∈Kⁿ avec a= (a₁,a₂, . . . ,a_n), soit ϕa l’application définie par,

∀x∈Kⁿ, x= (x₁,x₂, . . . ,x_n) =⇒ϕ_a(x) =

n

∑

i=1

a_ix_i Alorsϕ_aest une forme linéaire sur Kⁿ.

Réciproquement, soit ϕ une forme linéaire sur Kⁿ, alors il existe un unique a∈Kⁿ, tel que ϕ=ϕ_a.

En effet, soit(e₁,e₂, . . . ,e_n)la base canonique de Kⁿet pour chaque i∈ {1,2, . . . ,n}, soit a_i=ϕ(e_i), alors pour x= (x₁,x₂, . . . ,x_n), on a

ϕ(x) =ϕ(

n i=1

∑

x_ie_i) =

n i=1

∑

x_iϕ(e_i) =

n i=1

∑

a_ix_i=ϕa(x)

2. Soit K un corps commutatif, pour chaque x= (x_n)_n≥0 élément de K^N, soit ϕ_x l’application définie sur K[X]par,

i=1 n

∑

j=1

m_{i j}E_{i j}

Soitϕune forme linéaire sur M_n(K).

Pour(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², soit a_{i j} =ϕ(E_ji), alors on a

∀M∈M_n(K), ϕ(M) =ϕ

n i=1

∑

n

∑

j=1

j=1

m_{i j}a_ji

!

=

n i=1

∑

c_ii où MA= (c_{i j})_1≤i,_j≤n

=tr(MA) =tr(AM) Remarque 1.6.2

LeQ-espace vectorielQ[X]n’est pas isomorphe à son dual(Q[X])^∗.

En effet, pour chaque entier n≥0, soit En={P∈Q[X] : deg(P)≤n}, alors on sait que E_n est un Q-espace espace vectoriel de dimension finie=n+1, donc E_nest isomorphe àQⁿ⁺¹. Or on sait que pour tout entier m≥1,Q^mest dénombrable, donc pour tout n≥0, E_nest dénombrable.

PuisqueQ[X] = ^S^∞

n=0

E_net puisque une réunion dénombrables d’ensembles dénombrables est dénom- brable, alorsQ[X]est dénombrable.

D’après l’exemple précédent, on sait que(Q[X])^∗est isomorphe àQ^N, donc si on suppose queQ[X] est isomorphe à son dual, alorsQ^Nserait dénombrable. Ce qui est absurde, car on sait queQ^Nn’est pas dénombrable. (Pour les questions de dénombrabilité, voir annexe).

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(10)

1.7 Base duale

SoientE unK-espace vectoriel de dimension=net(e₁,e₂, . . . ,e_n)une base quelconque de E. Pour chaquei∈ {1,2, . . . ,n}, on définite^∗_i ∈E^∗, par

∀j∈ {1,2, . . . ,n}, <e_j,e^∗_i >=δi j=

(1 si j=i 0 si j6=i Alors(e^∗₁,e^∗₂, . . . ,e^∗_n)est une base deE^∗, appelée base duale deE.

Proposition 1.8.

Preuve

Puisquedim(E^∗) =n, alors il suffit de montrer que(e^∗₁,e^∗₂, . . . ,e^∗_n)est libre. Pour cela, soit (α₁,α₂, . . . ,α_n)∈Kⁿ, tel queα₁e^∗₁+α₂e^∗₂+· · ·+α_ne^∗_n=0. A-t-onα₁=α₂=· · ·=α_n=0?

n i=1

∑

α_ie^∗_i =0=⇒ ∀j∈ {1,2, . . . ,n}, <e_j,

n i=1

∑

α_ie^∗_i >=0

=⇒ ∀j∈ {1,2, . . . ,n},

n

∑

i=1

α_i<e_j,e^∗_i >=0

=⇒ ∀j∈ {1,2, . . . ,n}, α_j=0 (car <e_j,e^∗_i >=δ_{i j})

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie =n, (e₁,e₂, . . . ,e_n) une base de E et (e^∗₁,e^∗₂, . . . ,e^∗_n)sa base duale, alors

i)

∀x∈E, x=

n

∑

i=1

<x,e^∗_i >e_i ii)

∀ϕ∈E^∗, ϕ=

n

∑

i=1

<e_i,ϕ>e^∗_i Proposition 1.9.

Preuve

i) Soit x∈E avec x=

n

∑

i=1

x_ie_i, alors pour tout j∈ {1,2, . . . ,n}, on a

<x,e^∗_j>=

n i=1

∑

x_i<e_i,e^∗_j>=x_j (car <e_i,e^∗_j >=δ_{i j})

ii) Soitϕ∈E^∗avecϕ= ∑ⁿ

i=1

y_ie^∗_i, alors pour tout j∈ {1,2, . . . ,n}, on a

<e_j,ϕ>=

n

∑

i=1

y_i<e_j,e^∗_i >=y_j (car <e_i,e^∗_j>=δ_{i j})

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(11)

Exemples

1. Soient K un corps commutatif et β= (e₁,e₂, . . . ,e_n) la base canonique de Kⁿ. Alors la base dualeβ^∗= (e^∗₁,e^∗₂, . . . ,e^∗_n)est définie par

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, ∀x∈Kⁿ, x= (x₁,x₂, . . . ,x_n) =⇒e^∗_i(x) =x_i Donc pour tout i∈ {1,2, . . . ,n}, e^∗_i est la ı^ième projection de Kⁿsur K.

2. Soitβ= (e₁,e₂, . . . ,e_n)la base canonique de Rⁿ. Dans ce cas, pour tout i∈ {1,2, . . . ,n}, on pose e^∗_i =dx_i, donc dx_iest la ı^ième projection deRⁿsurR:

∀x∈Kⁿ, x= (x₁,x₂, . . . ,x_n) =⇒dx_i(x) =x_i

SoitΩun ouvert deRⁿet soit f :Ω−→Rune fonction différentiable au point x₀∈Ω. Alors on sait que la différentielle f⁰(x₀)au point x₀est une forme linéaire surRⁿet on a

∀h∈Rⁿ, f(x₀+h)−f(x₀) = f⁰(x₀)(h) +o(khk) D’après la proposition précédente, on a

f⁰(x₀) =

n

∑

i=1

<e_i,f⁰(x₀)>dx_i Or, on sait que pour tout i∈ {1,2, . . . ,n}, on a

∀t∈R, f(x₀+te_i)−f(x₀) =t<e_i,f⁰(x₀)>+to(1) Donc

∀t∈R, f(x₀+te_i)−f(x₀)

t =<e_i,f⁰(x₀)>+o(1) Ainsi, on aura

limt→0

f(x₀+te_i)−f(x₀)

t =<e_i,f⁰(x₀)>

On sait que la ı^ièmedérivée partielle au point x₀est définie par

∂f

∂x_i(x₀) =lim

t→0

f(x₀+te_i)−f(x₀) t

Ainsi, on retrouve l’écriture canonique de f⁰(x₀), f⁰(x₀) =

n i=1

∑

∂f

∂x_i(x₀)dx_i

3. Soient K un corps commutatif etβ= (1,X, . . . ,Xⁿ)la base canonique de K_n[X]. Alors la base dualeβ^∗= (e^∗₀,e^∗₁, . . . ,e^∗_n)est définie par,

∀i∈ {0,1, . . . ,n}, ∀P∈K_n[X], P=

n k=1

∑

a_kX^k=⇒e^∗_i(P) =a_i Pour chaque a∈K, soitϕala forme linéaire définie sur K_n[X]par,

∀P∈K_n[X], ϕ_a(P) =P(a) Alors, d’après la proposition précédente, on a

ϕ_a=

n i=0

∑

<Xⁱ,ϕ_a>e^∗_i =

n i=1

∑

aⁱe^∗_i

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(12)

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie =n, (e₁,e₂, . . . ,e_n) une base de E et (e^∗₁,e^∗₂, . . . ,e^∗_n)sa base duale. Soituun endomorphisme deE etA= (a_{i j})_1≤i,j≤nla matrice deupar rapport à la base(e₁,e₂, . . . ,e_n), alors

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², a_{i j} =<u(e_j),e^∗_i >

Proposition 1.10.

Preuve

D’après la proposition précédente, on a

∀j∈ {1,2, . . . ,n}, u(e_j) =

n i=1

∑

<u(e_j),e^∗_i >e_i

Donc, si A= (a_{i j})_1≤i,j≤nla matrice de u par rapport à la base(e₁,e₂, . . . ,e_n), alors

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², a_{i j} =<u(e_j),e^∗_i >

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie =n, (e₁,e₂, . . . ,e_n) une base de E et (e^∗₁,e^∗₂, . . . ,e^∗_n)sa base duale. pour chaque(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², on désigne pare_i⊗e^∗_j l’endomorphisme deEdéfini par,

∀x∈E, (e_i⊗e^∗_j)(x) =<x,e^∗_j>e_i

Alors

A

⁼^{ei⊗e^∗_j : (i,j))∈ {1,2, . . . ,n}²}forme une base deL(E)et on a

∀(i,j))∈ {1,2, . . . ,n}², Mat(e_i⊗e^∗_j,(e₁,e₂, . . . ,e_n)) =E_{i j} où lesE_{i j} sont les matrices élémentaires deM_n(K).

Proposition 1.11.

Preuve

Puisquedim(L(E)) =n², alors il suffit de montrer que

A

est une partie génératrice de L(E). Pour cela, soit u∈L(E)et soit A= (a_{i j})_1≤i,_j≤nla matrice de u par rapport à la base(e₁,e₂, . . . ,e_n). Pour x élément quelconque de E, on sait que

x=

n

j=1

<x,e^∗_j >u(e_j)

=⇒u(x) =

n i=1

∑

n

∑

j=1

a_{i j}(e_i⊗e^∗_j)(x) (ceci pour tout x∈E)

=⇒u=

n i=1

∑

n j=1

∑

a_{i j}e_i⊗e^∗_j Ainsi,

A

est une partie génératrice de L(E).

Soit M= (m_kl)_1≤k,l≤n la matrice de e_i⊗e^∗_j par rapport à la base (e₁,e₂, . . . ,e_n), alors, d’après la proposition préédente, on a

∀(k,l))∈ {1,2, . . . ,n}², m_kl=<(e_i⊗e^∗_j)(e_l),e^∗_k>=<e_l,e^∗_j><e_i,e^∗_k>

Donc on voit que

m_kl=

(1 si k=i et l= j 0 si k6=i ou l6= j Donc M=E_{i j}.

1.12 Base préduale

SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie,β= (e₁,e₂, . . . ,e_n)etγ= (v₁,v₂, . . . ,v_n) deux bases deE,β^∗= (e^∗₁,e^∗₂, . . . ,e^∗_n)etγ^∗= (v^∗₁,v^∗₂, . . . ,v^∗_n)leurs bases duales.

SoitPla matrice de passage deβàγetQcelle deβ^∗àγ^∗. Alors Q=^t(P⁻¹) = (^tP)⁻¹

Lemme 1.13.

Preuve

On pose P⁻¹= (α_{i j})_1≤i,_j≤nα et Q= (q_{i j})_{1≤i,j≤nα}. Alors, d’après la proposition 3.9, on a

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², q_{i j}=<e_i,v^∗_j>

D’autre part, on a

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, e_i=

n k=1

∑

α_kiv_k

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(14)

Ainsi, on aura

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², q_{i j}=<e_i,v^∗_j>

=<

n

∑

k=1

α_kiv_k,v^∗_j>

=

n

∑

k=1

α_ki<v_k,v^∗_j >

=α_ji

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, β= (e₁,e₂, . . . ,e_n) une base de E et (ϕ₁,ϕ2, . . . ,ϕ_n)une base deE^∗ et Qla matrice de passage de la base(ϕ₁,ϕ2, . . . ,ϕn)à la base dualeβ^∗. Alors

i) Il existe une unique base γ = (v₁,v₂, . . . ,v_n) de E, appelée base préduale de (ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_n), telle que∀j∈ {1,2, . . . ,n}, v^∗_j=ϕ_j.

ii) SiPest la matrice de passage de la baseβà la baseγ, alorsP= (^tQ)⁻¹=^t(Q⁻¹).

Théorème 1.14.

Preuve

i) (ϕ₁,ϕ2, . . . ,ϕn)est libre, donc d’après la proposition 3.4, on a

∀j∈ {1,2, . . . ,n},

n

\

i=1 i6=j

ker(ϕ_i)*ker(ϕ_j)

Donc, pour tout j∈ {1,2, . . . ,n}, il existe x_j∈E, tel que x_j∈ ^Tⁿ

i=1 i6=j

ker(ϕ_i)et x_j∈/ker(ϕ_j).

Pour chaque j∈ {1,2, . . . ,n}, soit v_j= x_j

ϕj(x_j), donc on aura

n

∑

j=1

a_jv_j=0=⇒ ∀i∈ {1,2, . . . ,n}, ϕi(

n j=1

∑

a_jv_j) =0

=⇒ ∀i∈ {1,2, . . . ,n}, a_i=0 car ϕ_i(v_j) =δ_{i j} Doncγ= (v₁,v₂, . . . ,v_n)est une base de E et on a∀j∈ {1,2, . . . ,n}, v^∗_j =ϕ_j. ii) Conséquence du lemme précédent.

1.15 Prolongement des formes linéaires

SoientE unK-espace vectoriel quelconque etF un sous-espace vectoriel deE. Alors toute forme linéaire surF se prolonge en une forme linéaire deE.

Théorème 1.16.

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(15)

Preuve

Soitψune forme linéaire sur F et soit G un supplémentaire de F dans E.

Soitϕla forme linéaire définie sur E, par

ϕ:E=F⊕G−→K

x=x₁+x₂7−→ϕ(x) =ψ(x₁) Alorsϕest un prolongement deψà E

SoitE unK-espace vectoriel quelconque. Alors pour toutx∈E, avecx6=0, il existe une forme linéaireϕ∈E^∗, tel que<x,ϕ>=1.

Corollaire 1.17.

Preuve

Soit F =Vect(x)et soitψla forme linéaire définie sur F par,

∀y∈F, y=αx=⇒ψ(y) =α

D’après le théorème précédent,ψse prolonge en une forme linéaireϕsur E. Donc on a ϕ(x) =ψ(x) =1

1.18 Orthogonalité

SoitEunK-espace vectoriel.

i) Pour toute partie non videAdeE, l’orthogonal deA, qu’on noteA^⊥, est la partie deE^∗ définie par

∀ϕ∈E^∗, ϕ∈A^⊥⇐⇒ ∀x∈A, <x,ϕ>=0

ii) Pour toute partie non videBdeE, le pré-orthogonal deB, qu’on noteB^◦, est la partie de E définie par

∀x∈E, x∈B^◦⇐⇒ ∀ϕ∈B, <x,ϕ>=0 Définition 1.19.

Remarque 1.19.1

A^⊥={ϕ∈E^∗ : ∀x∈A, ϕ(x) =0}

B^◦={x∈E : ∀ϕ∈B, ϕ(x) =0}

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(16)

SoitEunK-espace vectoriel. Alors

a) Pour toute partieAdeE et Pour toute partieBdeE, on a A⊆B=⇒B^⊥⊆A^⊥

b) Pour toute partieAdeE,A^⊥ est un sous-espace vectoriel deE^∗. c) Pour toute partieAdeE,A^⊥= (Vect(A))^⊥.

d) Pour toute partieBdeE^∗,B^◦est un sous-espace vectoriel deE.

e) Pour toute partieBdeE^∗,B^◦= (Vect(B))^◦. f) E^⊥={0_E^∗} etE^∗◦={0_E}

Proposition 1.20.

Preuve

a) Supposons que A⊆B et soitϕ∈E^∗, alors on a

ϕ∈B^⊥=⇒ ∀x∈B, ϕ(x) =0

=⇒ ∀x∈A, ϕ(x) =0 car A⊆B

=⇒ϕ∈A^⊥

b) Pour chaque x∈E, soitxe:E^∗−→K l’application définie par

∀ϕ∈E^∗, x(ϕ) =e ϕ(x) Alorsex est une forme linéaire sur E^∗et on a

A^⊥ = ^\

x∈A

ker(x)e Donc A^⊥ est un sous-espace vectoriel de E.

c) A⊆Vect(A), donc d’après a), Vect(A)^⊥⊆A^⊥. Soitϕ∈A^⊥ et soit x∈Vect(A)avec x=

m

∑

i=1

α_ix_i, où x_i∈A, alors on aϕ(x) =

m

∑

i=1

α_iϕ(x_i) =0.

Doncϕ∈(Vect(A)^⊥.

d) On remarque que si B est une partie de E^∗, alors B^◦= ^\

ϕ∈B

ker(ϕ)

Donc B^◦est un sous-espace vectoriel de E.

e) Se démontre de la même manière que c).

f) Siϕ∈E^⊥, alors∀x∈E, ϕ(x) =0, doncϕ=0.

Supposons, par absurde que E^∗◦6={0_E}, donc il existe x6=0, tel que

∀ϕ∈E^∗, ϕ(x) =0

ce qui est absurde, car on sait que si x6=0, alors il existeϕ∈E^∗, telle queϕ(x) =1.

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(17)

SoientEunK-espace vectoriel etF un sous-espace vectoriel deE. Alors i) F^∗est canoniquement isomorphe àE^∗/F^⊥.

ii) (E/F)^∗est canoniquement isomorphe àF^⊥. Proposition 1.21.

Preuve

i) SoitΦ:E^∗−→F^∗l’application qui à chaqueϕ∈E^∗fait correspondre sa réstriction à F.

AlorsΦest linéaire et d’après le théorème de prolongement,Φest surjective.

ϕ∈ker(Φ)⇐⇒ ∀x∈F, ϕ(x) =0

⇐⇒ϕ∈F^⊥

Donc,ker(Φ) =F^⊥. On sait que E^∗/ker(Φ)est isomorphe à Im(Φ), d’où le résultat.

ii) Soit s:E−→E/F la surjection canonique et soitΨ:(E/F)^∗−→E^∗l’application définie par

∀ϕ∈(E/F)^∗, Ψ(ϕ) =ϕ◦s Alors, il est clair queΨest linéaire et queΨest injective.

Pour conclure, montrons que Im(Ψ) =F^⊥.

ψ∈Im(Ψ) =⇒ ∃ϕ∈(E/F)^∗ : ψ=ϕ◦s

=⇒ ∀x∈F, ψ(x) =ϕ(s(x)) =0 car ∀x∈F, s(x) =0

=⇒ψ∈F^⊥

Réciproquement, soitψ∈F^⊥et soitϕ:(E/F)−→K définie par

∀x∈E, ϕ(s(x)) =ψ(x)

Alors ϕ est bien définie, car si s(x) =s(y), alors x−y∈F, donc ψ(x−y) =0 et par suite, ψ(x) =ψ(y), doncϕ(s(x)) =ϕ(s(y)).

Ainsi,ϕ∈(E/F)^∗et on aψ=ϕ◦s.

Doncψ∈Im(Ψ)et par suite,(E/F)^∗est isomorphe à F^⊥.

Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie. Alors pour tout sous-espace vectorielF deE, on a

dim(F) +dim(F^⊥) =dim(E) Corollaire 1.22.

Preuve

Conséquence directe du théorème précédent.

SoientEunK-espace vectoriel,F un sous-espace vectoriel deE etx∈E avecx∈/F. Aloes, il existe une forme linéaireϕsurE, telle que

<x,ϕ>=1 et ∀y∈F, <y,ϕ>=0 Lemme 1.23.

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(18)

Preuve

Soit G un supplémentaire de Vect(x) +F dans E et soit H=F+G, alors E=Vect(x)⊕H et F⊆H.

Soitϕla forme linéaire définie par

ϕ:E=Vect(x)⊕H−→K

z=αx+y7−→ϕ(x) =α Alorsϕ(x) =1et∀y∈F, ϕ(y) =0.

SoientEunK-espace vectoriel. Alors,

i) Pour tout sous-espace vectorielF deE, on a (F^⊥)^◦=F

ii) SiE est dedimension finie, alors pour tout sous-espace vectorielGdeE, on a (G^◦)^⊥=G

Théorème 1.24.

Preuve

i) Il est clair, par définition que F⊆(F^⊥)^◦, donc il suffit de montrer que(F^⊥)^◦⊆F.

Pour cela, supposons, par absurde, qu’il existe x∈E, tel que x∈(F^⊥)^◦et x∈/F. Donc d’après le lemme précédent, il existeϕ∈E^∗, telle queϕ(x) =1et∀y∈F, ϕ(y) =0.

Ainsi,ϕ∈F^⊥ et puisque x∈(F^⊥)^◦, alors, par définition de l’orthogonal, on aϕ(x) =0, ce qui est absurde, carϕ(x) =1.

ii) On voit facilement que G⊆(G^◦)^⊥, donc il suffit de montrer que(G^◦)^⊥⊆G.

Pour cela, nous allons utiliser le fait que G est de dimension finie, donc il existeϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_m, tels que G=Vect({ϕ₁,ϕ2, . . . ,ϕm}).

Soit, maintenant,ϕ∈(G^◦)^⊥et soit x∈E, tel que

ϕ₁(x) =ϕ₂(x) =· · ·=ϕ_m(x) =0

Puisque G =Vect({ϕ₁,ϕ2, . . . ,ϕm}), alors ∀ψ∈ G, ψ(x) =0, par suite x ∈G^◦ et puisque ϕ∈(G^◦)^⊥, alorsϕ(x) =0. Ainsi, nous avons montré que

m

T

i=1

ker(ϕ_i)⊆ker(ϕ), donc d’après la proposition 3.4,ϕ∈Vect({ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_m}).

SoientE un K-espace vectoriel de dimension finie etF un sous-espace vectoriel de codimension p, p=dim(E)−dim(F), alors il existe pformes linéaires,ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_p, linéai- rement indépendantes, telles que

F=

p

\

i=1

ker(ϕ_i) Corollaire 1.25.

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(19)

Preuve

F est de codimension p, doncdim(F^⊥) =p. Soit(ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_p)une base de F^⊥, alors on aura, (F^⊥)^◦=Vect({ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_p})^◦=

p

\

i=1

ker(ϕ_i) D’aute part, d’après le théorème précédent, on a(F^⊥)^◦=F. D’où le résultat.

Remarque 1.25.1

Soient E un K-espace vectorie de dimension finie=n,(e₁,e₂, . . . ,e_n)une base de E, F un sous-espace vectoriel de E de codimension p et ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕp les formes linéaires linéairement indépendantes, telles que F=

p

T

i=1

ker(ϕ_i).

Pour chaque i∈ {1,2, . . . ,p}et chaque j∈ {1,2, . . . ,n}, on pose a_{i j} =ϕ_i(e_j), alors

∀x∈E, x=

n

∑

j=1

x_je_j=⇒ϕ_i(x) =

n

∑

j=1

a_{i j}x_j

Donc x∈F, si et seulement si, les composantes, x₁,x₂, . . . ,x_n, de x dans la base(e₁,e₂, . . . ,e_n), véri- fient le système(S)suivant, de p équations à n inconnues,

(S) :











a₁₁x₁+a₁₂x₂+· · ·+a_1nx_n=0 a₂₁x₁+a₂₂x₂+· · ·+a_2nx_n=0

...

a_p1x₁+a_p2x₂+· · ·+a_pnx_n=0

Ce système qui est de rang p, car(ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_p)est de rang p, s’appelle une représentation carté- sienne du sous-espace vectoriel F.

Exemples

E un K-espace vectorie de dimension finie=n.

1. Une droite vectorielle de E possède une représentation cartésienne sous forme d’un système de rang n−1et de n−1équations.

2. Un hyperplan de E possède une représentation cartésienne sous-forme d’une seule équation : a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_nx_n=0 avec (a₁,a₂, . . . ,a_n)6= (0,0, . . . ,0)

1.26 Bidual

SoitEunK-espace vectoriel, on appellebidualdeE, qu’on noteE^∗∗, le dual deE^∗. E^∗∗= (E^∗)^∗=L(E^∗,K)

Définition 1.27.

Remarque 1.27.1

Considèrons l’application j:E−→E^∗∗ définie par,

∀x∈E, ∀ϕ∈E^∗, <ϕ,j(x)>=<x,ϕ>

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(20)

Alors, il est facile de voir que j est linéaire injective. Donc E s’identifie canoniquement à un sous- espace vectoriel de E^∗∗.

En particulier, si E est de dimension finie, alors j est un isomorphisme, donc, dans ce cas, E s’identifie canoniquement à E^∗∗.

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie=n et j :E −→E^∗∗ l’isomorphisme canonique entreEetE^∗∗. Alors

i) Pour toute baseβdeE, on a j(β) =β^∗∗, oùβ^∗∗= (β^∗)^∗est la base duale deβ^∗dansE^∗∗. ii) Siγest une base deE^∗,γ^∗sa base duale dansE^∗∗etβest sa base préduale dansE, alors

β= j⁻¹(γ^∗) Proposition 1.28.

Preuve

i) Soitβ= (e₁,e₂, . . . ,e_n)une base de E, alors on a

∀k∈ {1,2, . . . ,n}, ∀l∈ {1,2, . . . ,n}, <e^∗_l,j(e_k)>=<e_k,e^∗_l >=δ_kl Donc∀k∈ {1,2, . . . ,n}, j(e_k) = (e^∗_l)^∗.

ii) Puisqueβ^∗=γ, alors, d’après i), j(β) =γ^∗, doncβ= j⁻¹(γ^∗).

1.29 Transposée d’une application linéaire

SoientE etF deuxK-espaces vectoriels et f :E−→Fune application linéaire. On appelle application transposéede f, qu’on note^tf, l’application linéaire deF^∗dansE^∗définie par,

∀ϕ∈F^∗, ^tf(ϕ) =ϕ◦f Définition 1.30.

Remarque 1.30.1

Par définition de l’application transposée d’une application linéaire f , on a

∀x∈E, ∀ϕ∈F^∗, <x,^tf(ϕ)>=< f(x),ϕ>

De plus, ^tf est l’unique application linéaire de F^∗vers E^∗vérifiant cette relation.

En effet, soit g:F^∗−→E^∗une application linéaire telle que

∀x∈E, ∀ϕ∈F^∗, <x,g(ϕ)>=< f(x),ϕ>

Alors, il est clair que∀ϕ∈F^∗, g(ϕ) =ϕ◦f , donc g=^tf .

SoientE,F etGtroisK-espaces vectoriels. Alors a) ∀f ∈L(E,F), ∀g∈L(E,F), ^t(f+g) = ^tf+^tg.

b) ∀λ∈K, ∀f ∈L(E,F), ^t(λf) =λ^tf.

c) ∀f ∈L(E,F), ∀g∈L(F,G), ^t(g◦f) =^tf◦^tg.

Proposition 1.31.

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(21)

Preuve a)

∀ϕ∈F^∗, ^t(f+g)(ϕ) =ϕ◦(f +g) =ϕ◦f+ϕ◦g= ^tf(ϕ) +^tg(ϕ) Donc ^t(f+g) = ^tf+^tg.

b)

∀ϕ∈F^∗, ^t(λf)(ϕ) =ϕ◦(λf) =λ(ϕ◦f) =λ^tf(ϕ) Donc ^t(λf) =λ^tf .

c)

∀ϕ∈G^∗, ^t(g◦f)(ϕ) =ϕ◦(g◦f) = (ϕ◦g)◦f = ^tg(ϕ)◦ f = ^tf(^tg(ϕ)) = (^tf◦^tg)(ϕ) Donc ^t(g◦f) = ^tf◦^tg.

SoientEetF deuxK-espaces vectoriels et f :E−→F une application linéaire. Alors, i) ker(^tf) = (Im(f))^⊥.

ii) Im(^tf) = (ker(f))^⊥. Théorème 1.32.

Preuve i)

ϕ∈ker(^tf)⇐⇒ ^tf(ϕ) =0

⇐⇒ϕ◦f =0

⇐⇒ ∀x∈E, < f(x),ϕ>=0

⇐⇒ϕ∈(Im(f))^⊥

ii) Soitψ∈Im(^tf), alors il existeϕ∈F^∗, telle queψ=^tf(ϕ), donc on aura,

∀x∈ker(f), <x,ψ>=<x,^tf(ϕ)>=< f(x),ϕ>=0 doncψ∈(ker(f))^⊥, par suite, Im(^tf)⊆(ker(f))^⊥.

Réciproquement, soitψ∈(ker(f))^⊥ et soit G un supplémentaire de Im(f)dans F.

Soitϕ:F −→K la correspondance définie par,

ϕ:F =Im(f)⊕G−→K y= f(x) +z7−→ψ(x)

Alorsψdéfinit bien une application, car si y= f(x) +z= f(x⁰) +z, alors x−x⁰∈ker(f), donc ψ(x−x⁰) =0et ainsiψ(x) =ψ(x⁰), et on a

∀x∈E, ϕ(f(x)) =ψ(x) Doncψ=ϕ◦f =^tf(ϕ).

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie=n, β= (e₁,e₂, . . . ,e_n)une base deE etβ^∗sa base duale. Alors pour tout endomorphismeudeE, on a

Mat(^tu,β^∗) = ^tMat(u,β) Théorème 1.33.

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(22)

Preuve

Soient A=Mat(u,β)et B=Mat(^tu,β^∗)avec A= (a_{i j})_1≤i,j≤net B= (b_{i j})_1≤i,j≤n, alors on sait que

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², a_{i j} =<u(e_j),e^∗_i >

D’autre part, on a

∀j∈ {1,2, . . . ,n}, ^tu(e^∗_j) =

n

∑

k=1

b_{k j}e^∗_k Donc,

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², a_ji=<u(e_i),e^∗_j>=<e_i,^tu(e^∗_j)>=

n

∑

k=1

b_{k j}<e_i,e^∗_k>=b_{i j} Donc B= ^tA.

SoientEunK-espace vectoriel,uun endomorphisme deEetF un sous-espace vectoriel de E. Alors,

F est stable paru⇐⇒F^⊥est stable par ^tu Proposition 1.34(Dualité et stabilité).

Preuve

(=⇒) Supposons que F est stable par u. Alors pourϕ∈F^⊥, on a

∀x∈F, <x,^tu(ϕ)>=<u(x),ϕ>=0 (car u(x)∈F etϕ∈F^⊥) Donc ^tu(ϕ)∈F^⊥ et par suite, F^⊥ est stable par^tu.

(⇐=) Supposons que F^⊥est stable par ^tu. Alors pour x∈F, on a

x∈F =⇒ ∀ϕ∈F^⊥, <x,^tu(ϕ)>=0 (car ^tu(ϕ)∈F^⊥)

=⇒ ∀ϕ∈F^⊥, <u(x),ϕ>=0

=⇒u(x)∈(F^⊥)^◦

=⇒u(x)∈F (car, d’après le théorème 3.24,(F^⊥)^◦) Donc F est stable par u.

1.35 Exercices

Exercice 1

Pour chaque entiern≥1,Rn[X]désigne l’ensemble des polynômes à coëfficients réels de degré≤n.

Soitϕl’application définie par,

ϕ:Rn[X]−→R P7−→^R₀¹P(t)dt

1. Montrer queRn[X]est unR-espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? 2. Montrer queϕest une forme linéaire surRn[X].

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(23)

3. Pour chaquei∈ {0,1,2, . . . ,n}, soitϕ_il’application définie par, ϕi:Rn[X]−→R

P7−→P(_nⁱ)

Montrer que∀i∈ {0,1,2, . . . ,n}, ϕ_iest une forme linéaire surRn[X]et que(ϕ₀,ϕ₁, . . . ,ϕ_n)est une base de(R[X])^∗.

4. En déduire qu’il existe des réelsa₀,a₁, . . . ,a_n, tels que

∀P∈Rn[X], Z ₁

0

P(t)dt =

n

∑

i=0

a_iP(i n) Exercice 2

E=R3[X]est muni de sa base canonique(e₀,e₁,e₂,e₃), oùe₀=1,e₁=X,e₂=X² ete₃=X³. Soit F la partie deE définie par,

P∈F⇐⇒P(1) =0 et P⁰⁰(0) =0

a) Vérifier queF est un sous-espace vectoriel deEet déterminer une base deF. b) Quelle est la dimension deF?

c) Montrer que

∀ϕ∈E^∗, ϕ∈F^⊥⇐⇒ϕ(e₀) =ϕ(e₁) =ϕ(e₃) d) Soientϕ₀,ϕ₁,ϕ₂etϕ₃les formes linéaires définies surE par,











ϕ₀=e^∗₂

ϕ₁=e^∗₀+e^∗₁+e^∗₃ ϕ₂=e^∗₁−e^∗₂ ϕ₃=e^∗₂−e^∗₃

Vérifier que(ϕ₀,ϕ₁,ϕ₂,ϕ₃)est une base deE^∗et déterminer sa base préduale(v₀,v₁,v₂,v₃).

Exercice 3

On considère les formes linéairesϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4définies surR3[X]par,

∀P∈R3[X], ϕ1(P) =P(0), ϕ2(P) =P(1), ϕ3(P) =P⁰(0) et ϕ4(P) =P⁰(1) oùP⁰désigne le polynôme dérivé deP.

a) Montrer queγ= (ϕ₁,ϕ₂,ϕ₃,ϕ₄)est une base de(R3[X])^∗. b) Déterminer la base prédualeβdeγdansR3[X].

c) Soitϕla forme linéaire définie surR3[X]par,

∀P∈R3[X], ϕ(P) = Z 1

0

P(t)dt Déterminer les composantes deϕdans la baseγ.

Exercice 4

On désigne par(e₁,e₂,e₃)la base canonique deC2[X]. Rappelons que e₀=1, e₁=X ete₂=X² a) Déterminer(e^∗₀,e^∗₁,e^∗₂)la base duale de(e₀,e₁,e₂).

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(24)

b) Soienta,betctrois points deux à deux distincts deC. On pose

P₁= (X−b)(X−c), P₂= (X−a)(X−c) et P₃= (X−a)(X−b)

Montrer (P₁,P₂,P₃) est une base de C2[X] et trouver les coordonnées d’un polynômeP dans cette base.

c) Déterminer la base duale(P₁^∗,P₂^∗,P₃^∗)de(P₁,P₂,P₃).

d) Soitul’endomorphisme deC2[X]défini par ;

∀P∈C2[X], u(P) =X P⁰+P Déterminer ^tu.

Exercice 5

SoitE=Kn[X]. Dans chacun des cas suivants, montrer queβ= (ϕ₁,ϕ₂, . . . ,ϕ_n)est une base deE^∗et déterminer sa base préduale :

a)

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, ∀P∈E, ϕ_i(P) =P(x_i) x₀,x₁, . . . ,x_nsont des éléments deux à deux distincts deK.

b)

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, ∀P∈E, ϕ_i(P) =P⁽ⁱ⁾(0) c)

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, ∀P∈E, ϕi(P) =P⁽ⁱ⁾(x_i) x₀,x₁, . . . ,x_nsont des éléments deux à deux distincts deK.

Exercice 6

E=Kn[X]etϕune forme linéaire surE.

1. On suppose qu’il existea∈K, tel que

∀P∈Kn[X], ϕ((X−a)P) =0 Montrer qu’il existeα∈K, tel que ∀P∈E, ϕ(P) =αP(a).

2. On suppose qu’il existea∈K, tel que

∀P∈Kn[X], ϕ((X−a)²P) =0

Montrer qu’il existe(α,β)∈K², tels que ∀P∈E, ϕ(P) =αP(a) +βP⁰(a).

Exercice 7

SoientK un corps commutatif etϕ1,ϕ2, . . . ,ϕ_n,n≥2, les formes linéaires deKⁿdéfinies par :

∀x∈Kⁿ, x= (x₁,x₂, . . . ,x_n) =⇒

(∀i∈ {1,2, . . . ,n−1}, ϕ_i(x) =x_i+x_i+1 ϕ_n(x) =x₁+x_n

1. Pour quelles valeurs den,(ϕ₁,ϕ2, . . . ,ϕn)forme une base de(Kⁿ)^∗?

2. Dans le cas où(ϕ₁,ϕ2, . . . ,ϕ_n)forme une base de(Kⁿ)^∗, déterminer sa base préduale.

Exercice 8

Pour chaqueaR, on considère la forme linéaireϕ_adéfinie surR2[X], par :

∀P∈R2[X], ϕ_a(P) =P(a)