Cas général

Soient E un espace euclidien de dimension n≥2 et u un endomorphisme orthogonal de E. Alors, il existe des entiers ≥ 0, p, q et r, avec p+q+2r =n, et il existe une base orthonormale deEdans laquelle la matriceAdeus’écrit sous la forme :

A=

oùI_petI_qsont les matrices identités d’ordres respectives petq, et où ∀i∈ {1, . . . ,r}, ∃θ_i∈]−π,π] : A_i=

Pour la démonstration de ce théorème, nous avons besoin du lemme suivant :

SoientE un espace euclidien etuun endomorphisme orthogonal deE. Alorsupossède au moins un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

Lemme 4.37.

Preuve

Soit v=u+u^∗, alors v est un endomorphisme symétrique, donc v possède au moins une valeur propre λ∈R.

H.R "Supposons que n >2 et que le théorème vrai pour tout un endomorphisme orthogonal d’un espace euclidien de dimension<n".

Soient E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme orthogonal de E, alors d’après le lemme précédent, u possède au moins un sous-espace F stable par u, de dimension

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1 ou 2. On

choisit donc F de dimension minimale.

Sidim(F) =1, alors F=Vect(e₁), avecke₁k=1, et puisque F est stable par u, alors il existeλ∈R, tel que u(e₁) =λe₁, doncλest une valeur propre de u, par suiteλ=±1.

F étant stable par u, donc F^⊥est aussi stable par u, avecdim(F^⊥) =n−1.

Soit v la réstriction de u à F^⊥, alors v est un endomorphisme orthogonal de F^⊥, donc, d’après l’hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormale (e₂, . . . ,e_p,e_p+1, . . . ,e_p+q, . . . ,e_n−1) de F^⊥dans laquelle la matrice de v s’écrit sous la forme :

A=

Si, maintenant, dim(F) =2, puisque F a été choisi de dimension minimal, alors tout sous-espace stable par u serait de dimension≥2. On en déduit donc que u ne possède aucune valeur propre.

Soient v la réstriction de u à F et w la réstriction de u à F^⊥. Alors v et w sont deux endomrphismes orthogonaux de F et F^⊥ respectivement.

dim(F) =2, donc la matrice A1de v par rapport à une base orthonormale(e₁,e₂)de F s’écrit sous de F^⊥ dans laquelle la matrice de w s’écrit sous la forme :



Donc la matrice A de u dans la base(e₁,e₂, . . . ,e_n)s’écrit sous la forme :

SoientE un espace préhilbertien,u:E −→E etv:E−→Edeux applications telles que

∀x∈E,∀y∈E, <u(x),y>=<x,v(y)>

Montrer queuetvsont linéaires et quev=u^∗. Exercice 61

SoientE un espace euclidien orienté de dimension 3,a∈Eetul’endomorphisme deE défini par :

∀x∈E, u(x) =a∧(a∧x) 1. Détermineru^∗,uest-t-il symétrique ?

2. Déterminer les valeurs et les vecteurs propres deu.

Exercice 62

SoientE un espace euclidien de dimensionnet un endomorphisme deE. Pour toute base orthonor-maleβ= (e₁,e₂, . . . ,e_n), on pose

a) Montrer queS(β)ne dépend pas de la base orthonormale choisie.

b) Montrer que si(e₁,e₂, . . . ,e_n)est une base orthonormale deE et si(v₁,v₂, . . . ,v_n)est un système de vecteurs deE, tels que

n i=1

∑

kv_i−e_ik²<1 alors(v₁,v₂, . . . ,v_n)est une base deE.

Exercice 63

1. Montrer que siuest un endomorphisme inversible d’un espace euclidien E, alors il existe une base orthonormale(e₁,e₂, . . . ,e_n)deE, tel que(u(e₁),u(e₂), . . . ,u(e_n))soit une base orthogo-nale deE.

2. Montrer que pour toute matriceA∈GL_n(R), il existe deux matrices orthogonalesPetQ, telles quePAQsoit diagonale.

Exercice 64

SoientE un espace euclidien et f :E−→Rune application continue, telle que

∀x∈E,∀y∈E, <x,y>=0=⇒ f(x+y) = f(x) +f(y)

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1. On suppose que f est paire. Montrer qu’il existeα∈R, tel que

∀x∈E, f(x) =αkxk² 2. On suppose que f est impaire. Montrer que f est linéaire.

3. En général, montrer qu’il existeα∈Ret il existe une forme linéaireϕ, tels que

∀x∈E, f(x) =ϕ(x) +αkxk² Exercice 65 (Endomorphismes de trace nulle)

SoientE un espace euclidien de dimensionn≥1,(e₁,e₂, . . . ,e_n)une base orthonormale deE etuun endomorphisme deE de trace nulle.

On propose de montrer qu’il existe une base orthonormale dans laquelle les coefficients diagonaux de la matrice deusont tous nuls.

1. Calculertr(u)à l’aide de la base(e₁,e₂, . . . ,e_n).

2. Montrer qu’il existe i et j, avec i6= j, tels que <u(e_i),e_i> et <u(e_j),e_j > sont de signes opposés.

3. Pourθ∈[0,^π₂], on posee(θ) = (cosθ)e_i+ (sinθ)e_j. Vérifier queke(θ)k=1.

4. Pourθ∈[0,^π₂], on pose f(θ) =<e(θ),u(e(θ))>. Montrer qu’il existe au moins unθ∈[0,^π₂], tel que f(θ) =0.

5. En déduire le résultat.

Exercice 66

SoientE un espace euclidien etuun endomorphisme deE, tel queu²=0.

1. Montrer que ker(u+u^∗) =ker(u)∩ker(u^∗).

2. Montrer queu+u^∗est inversible si, et seulement si, ker(u) =Im(u).

Exercice 67

SoientE un espace euclidien,uun endomorphisme deE, tel que

∀x∈E, ku(x)k ≤ kxk Montrer que

a) ∀x∈E, ku^∗(x)k ≤ kxk.

b) ∀x∈E, u(x) =x⇐⇒u^∗(x) =x.

c) E=ker(u−Id_E)⊕Im(u−Id_E).

Exercice 68

SoientE un espace euclidien et pun projecteur deE. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : i) pest une projection orthogonale,

ii) ∀x∈E,∀y∈E, <p(x),y>=<x,p(y)>, iii) ∀x∈E, kp(x)k ≤ kxk.

Exercice 69

SoientE un espace euclidien et(e₁,e₂, . . . ,e_n)une base orthonormale deE.

1. Soit pun projecteur orthogonal de Ł de rang 1. Calculer ∑ⁿ

i=1

kp(e_i)k².

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2. Soit pun projecteur deE, tel que ∑ⁿ

i=1

kp(e_i)k²=1. Montrer que pest orthogonal.

Exercice 70

Soient petqdeux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidienE.

1. Montrer que p◦q◦pest autoadjoint.

2. Montrer que(Im(p) +ker(q))^⊥=Im(q)∩ker(p).

3. Montrer que p◦qest diagonalisable.

Exercice 71

SoientEun espace euclidien,uun endomorphisme deEet(α,β)∈R², tels queu^∗◦u+αu+βu^∗=0.

1. Montrer que siα6=β, alors il existe une projection orthogonale pet il existe λ∈R, tels que u=λp.

2. Montrer que siα=β, alors ker(u)etIm(u)sont orthogonaux.

Exercice 72

SoientE un espace euclidien,uun endomorphisme deE.

1. a) Montrer que ker(u^∗◦u) =ker(u)etIm(u^∗◦u) =Im(u^∗).

b) En déduire que ker(u◦u^∗) =ker(u^∗)etIm(u◦u^∗) =Im(u).

2. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : i) u◦u^∗◦u=u,

ii) u^∗◦uest un projecteur orthogonal deE, iii) u◦u^∗est un projecteur orthogonal deE, iv) ker(u)^⊥={x∈E : ku(x)k=kxk}.

Exercice 73

SoientAetBsymétriques deM_n(R). Montrer que

((tr(AB+BA))²≤4tr(A²)tr(B²) Exercice 74

SoientE un espace euclidien etuun endomorphisme symétrique défini positif. Montrer que

∀x∈E, kxk⁴≤<u(x),x><u⁻¹(x),x>

Donner une condition necessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité.

Exercice 75

Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme symétrique de E avec u défini positif. On considère l’application f :E−→Rdéfinie par :

∀x∈E, f(x) =<u(x),x><u⁻¹(x),x>

1. Déterminer le minimum de f sur la sphère unitéSdeE. 2. En quels points deSce minimum est-t-il atteint ? Exercice 76

Déterminer les minimums suivants 1. inf

(x,y)∈R²

(x+y−2)²+ (x−1)²+ (2x+y−1)²

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2. inf

(x,y)∈R²

x+3y+2z−1)²+ (x+3y−2z+1)²+ (x−3y+2z+1)²+ (x−3y+2z−1)² 3. inf

(a,b)∈R²

R₁

0(t²−at−b)²dt.

4. inf

(a,b)∈R²

R_π

−π(1−acost−bsint)²dt. 5. inf

(a,b)∈R²

R₁

−1(t²−3t+1−at−b)²dt.

6. inf

(a,b)∈R²

R₁

0(tlog(t)−at−b)²dt. 7. inf

(a,b,c)∈R³

R_∞

0 (t³+at²+bt+c)²e^−tdt Exercice 77

Soitul’endomorphisme deR³dont la matrice par rapport à la base canonique est définie par :

A=





1 0 4 0 1 1 0 0 0





1. Montrer queuest un projecteur deR³dont on déterminera le noyau et l’image.

2. uest-il une projection orthogonale pour le produit scalaire usuel deR³? 3. Soitqla forme quadratique définie surR³par :

q(x) =x²₁+11x²₂+6x²₃−6x₁x₂+2x₁x₃−2x₂x₃ a) Montrer queqdéfinit un produit scalaire surR³.

b) Montrer queuest une projection orthogonale par rapport à ce produit scalaire.

c) Trouver une autre forme quadratique pour laquelleuest une projection orthogonale.

Exercice 78

SoitE un espace euclidien de dimension 3, muni d’une base orthonormaleβ= (e₁,e₂,e₃).

1. Déterminer la matrice, par rapport àβ, de la projection orthogonale par rapport au plan d’équa-tionx+y+z=0.

2. Déterminer la matrice, par rapport àβ, de la symétrie orthogonale par rapport au plan déquation x=z.

Exercice 79

E=R³muni de son produit scalaire usuel etF le plan vectoriel d’équationx+y+z=0.

1. Déterminer une base orthonormale deF.

2. DéterminerF^⊥et en donner une base orthonormale.

3. Déterminer la matrice, dans la base canonique deR³, de la projection orthogonale psurF.

4. Déterminer la matrice, dans la base canonique deR³, de la symétrie orthogonalespar rapport àF.

Exercice 80

SoitA∈M_n(R)et soitB=^tA+A.

On suppose qu’il existe

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k∈N^∗, tel queB^k=0. Montrer queAest antisymétrique.

Exercice 81

R⁴est muni de son produit scalaire usuel etF le sous-espace deR⁴défini par : F={(x,y,z,t)∈R⁴ : x+y+z+t=x−y+z−t=0}

1. Déterminer une base orthogonormale deF^⊥.

2. Déterminer, par rapport à la base canonique deR⁴, la matrice de la projection orthogonale sur F.

3. Déterminer, par rapport à la base canonique deR⁴, la matrice de la symétrie orthogonale par rapport àF.

4. Calculerd(x,F)oùx= (1,2,3,4).

Mêmes questions pour le sous-espace vectorielF={(x,y,z,t)∈R⁴ : x+y+z+t=x+2y+3z+4t}.

Exercice 82

SoitA= (a_{i j})_1≤i,j≤nune matrice deM_n(R)symétrique définie positive. Montrer que siλ₁,λ₂, . . . ,λ_n sont les valeurs propres deA, non necessairement deux à deux distintes, alors on a

n

∑

i=1

λ²_i =

n

∑

i=1 n

∑

j=1

a²_{i j} Exercice 83

AetBdeux matrices réelles symétrique positives. Montrer que 0≤tr(AB)≤tr(A)tr(B).

Exercice 84

A= (a_{i j})_1≤i,j≤netB= (b_{i j})_1≤i,j≤ndeux matrices réelles symétrique positives. SoitC= (c_{i j})_1≤i,j≤n, telle que

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}, c_{i j} =a_{i j}b_{i j} Montrer queCest symétrique positive.

Exercice 85

SoitAune matrice deM_n(R).

1. Montrer que que siAest symétrique positive, alors tr(A)≥n(det(A)¹ⁿ 2. Montrer que

tr(^tAA)≥n(det(A)²ⁿ Exercice 86

SoitA∈M_n(C).

1. On suppose qu’il existem∈N^∗, tel queA^msoit symétrique définie positive. Montrer queAest diagonalisable.

2. On suppose que dim(ker(A²) =1 et qu’il existe m∈N^∗, tel que A^m soit symétrique positive.

Montrer queAest diagonalisable.

Exercice 87

SoientAetBdeux matrices deM_n(R), telles que^tAA=^tBB.

1. On suppose que A est inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale P, telle que B=PA.

2. Montrer que ce résultat reste vraie sans l’hypothèseAinversible.

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Exercice 88

1. Montrer que si A∈ M_n(R) est une matrice symétrique, alors exp(A) est symétrique définie positive.

2. Montrer que siB∈M_n(R)est une matrice symétrique définie positive, alors il existe une matrice symétriqueA∈M_n(R), telle queB=exp(A).

3. Montrer que siAetB sont deux matrices symétriques deM_n(R), telles que exp(A) =exp(B), alorsA=B.

Exercice 89

SoitA∈M_n(R), telle queA^tAA=I. Montrer queAest inversible etAsymétrique et déterminerA.

Exercice 90

Soientq₁etq₂deux formes quadratiques surRⁿ de matrices respectives, par rapport à la base cano-nique deRⁿ,AetB. On suppose queq₁est définie positive.

1. Montrer qu’il existe un unique endomorphismeudeRⁿ,q₁-symétrique, tel que

∀x∈Rⁿ,∀y∈Rⁿ, ϕ₂(x,y) =ϕ₁(u(x),y) oùϕ₁etϕ₂sont respectivement les formes polaires associées àq₁etq₂.

2. SoitM la matrice deupar rapport à la base canonique deRⁿ. DéterminerM en fonction deA etB.

3. Soit f :Rⁿ\ {0} −→Rl’application définie par :

∀x∈Rⁿ\ {0}, f(x) =q₂(x) q₁(x)

Montrer que f possède un minimum et un maximum absolus qu’on déterminera en fonction des valeurs propres deu.

4. Déterminer les extremums surR²\ {0}des fonctions suivantes : f(x,y) = xy

x²+xy+y² et g(x,y) = x²−10xy+4y² x²−xy+y² Exercice 91 (Matrice et déterminant de Gram)

SoientEun espace préhilbertien réel,(v₁,v₂, . . . ,v_n)un système de vecteurs deE. On définit ce qu’on appelle la matrice de Gram associée à ce système par

Gram(v₁,v₂, . . . ,v_n) = (<v_i,v_j>)_1≤i,j≤n Le déterminant de Gram associé au système(v₁,v₂, . . . ,v_n)est défini par :

G(v₁,v₂, . . . ,v_n) =det(Gram(v₁,v₂, . . . ,v_n)) 1. Montrer queGram(v₁,v₂, . . . ,v_n)est symétrique positive.

2. Montrer queGram(v₁,v₂, . . . ,v_n)et(v₁,v₂, . . . ,v_n)ont même rang.

On pourra introduire le sous-espaceF =Vect(v₁,v₂, . . . ,v_n)et considérer l’application u:F−→Rⁿdéfinie par :

∀x∈F, u(x) = (<x,v₁>, <x,v₂>, . . . , <x,v_n>) 3. Montrer que

(v₁,v₂, . . . ,v_n)est libre⇐⇒G(v₁,v₂, . . . ,v_n)6=0

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4. On suppose que(v₁,v₂, . . . ,v_n)est libre. Montrer que a) G(v₁,v₂, . . . ,v_n)>0.

b)

∀x∈E, d(x,F) = s

G(x,v₁,v₂, . . . ,v_n) G(v₁,v₂, . . . ,v_n) 5. On appelle matrice de Hilbert, la matriceA= (a_{i j})_1≤i,j≤ndéfinie par :

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}, a_{i j}= 1 i+j+1 Montrer queAest une matrice symétrique définie positive.

(On pourra remarquer quea_{i j} =^R₀¹t^i+jdt) Exercice 92

SoientAetBdeux matrices symétriques positives deM_n(R). Montrer que det(A+B)≥det(A) +det(B)

Exercice 93 (Inégalité de Hadamard) SoitA= (a_{i j})_1≤i,j≤nune matrice deM_n(R).

1. Montrer que siAest définie positive, alors

∀i∈ {1,2, . . . ,n}, a_ii>0 2. Montrer que siAest positive, alors

det(A)≤

tr(A) n

n

3. On suppose queAest définie positive et on poseB= (b_{i j})_1≤i,j≤n, avec

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}, b_{i j}= a_{i j}

√a_iia_{j j} a) Montrer queBest positive.

b) En déduire l’inégalité de Hadamard :

det(A)≤

n

∏

i=1

a_ii Exercice 94

SoientE un espace euclidien de dimensionn.

1. Soituun endomorphisme symétrique, tel que ∀x∈E, <u(x),x>=0. Montrer queu=0.

2. Soientu₁,u₂, . . . ,u_p, p≤n, des endomorphismes symétriques deE, tels que







rg(u₁) +rg(u₂) +· · ·rg(u_p) =n et

∀x∈E, <x,u₁(x)>+<x,u₂(x)>+· · ·+<x,u_p(x)>=<x,x>

Montrer que :

a) u₁+u₂+· · ·+u_p=Id_E,

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b) E=Im(u₁)⊕Im(u₂)⊕ · · · ⊕Im(u_p),

c) Pour touti∈ {1,2, . . . ,p},u_iest la projection orthogonale surIm(u_i).

Exercice 95

SoitA= (a_{i j})_1≤i,j≤nla matrice deM_n(R)définie par :

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², a_{i j} =min(i,j) Montrer queAest symétrique définie positive.

Exercice 96 (Décomposition pôlaire)

SoientE un espace euclidien etuun endomorphisme deE.

1. On suppose queuest symétrique positif.

a) Montrer qu’il existev∈L(E), tel queu=v^∗v.

b) Montrer qu’il existe un unique endomorphismew, symétrique positif, tel queu=w². c) Montrer que siuest symétrique défini positif et sivest un endomorphisme symétrique, alors

u⁻¹◦vest diagonalisable.

2. On suppose queuest un automorphisme deE.

a) Montrer queu^∗◦uest symétrique défini positif.

b) Montrer qu’il existe un endomorphisme orthogonalret un endomorphisme symétrique dé-fini positifw, tel queu=r◦w.

c) Montrer queretwsont uniques.

d) En déduire que pour toute matriceA∈GL_n(R), il existeR∈O_n(R)et il existeS∈S⁺⁺_n (R), avecRetSuniques, telles queA=RS.

Exercice 97

SoientE un espace euclidien orienté de dimension 3 etβ= (e₁,e₂,e₃)une base orthonormale directe deE. Déterminer la matrice, par rapport àβdes endomorphismes suivants :

a) La projection orthogonale sur le plan vectoriel d’équationx+y+z=0.

b) La symétrie orthogonale par rapport au plan vectoriel d’équation 2x+3y+z=0.

c) Le demi-tour d’axeVect(e₁+e₂+e₃).

d) La rotation d’axeVect(e₂+e₃)et d’angle ^π₂.

e) La rotation d’axeVect(e₁+e₂+e₃)qui transformee₁ene₂. Exercice 98

On munitR³de sa structure euclidienne usuelle et de sa base canonique(e₁,e₂,e₃). Soitula rotation deR³d’axe∆=Vect(e₁−e₂+e₃), telle queu(e₁) =e₃.

1. Déterminer l’angle deu.

2. Déterminer la matriceMdeupar rapport à la base canonique deR³.

3. Déterminer une base orthonormale deR³dans laquelle la matrice Adeus’écrit sous la forme canonique :

A=





1 0 0

0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ





Exercice 99

SoientE un espace euclidien orienté de dimension 3 etu∈L(E). Montrer queuest une rotation, si, et seulement si,

∀x∈E,∀y∈E, u(x∧y) =u(x)∧u(y)

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Exercice 100

R³ est muni de sa structure euclidienne canonique. Soient r une rotation de R³ d’axeVect(x₀) et d’angleθetuun endomorphisme orthogonal deR³.

1. Montrer queu◦r◦u⁻¹est une rotation dont on déterminera l’axe et l’angle.

2. En déduire le centre deSO₃(R).

Exercice 101

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endomorphisme u dont la matrice A par rapport à la base canonique est définie par :

a) A=

Soienta∈Retul’endomorphisme deR³de matriceA, par rapport à la base canonique deR³, définie par :

a) Pour quelles valeurs dea, l’endomorphismeuest orthogonal.

b) Dans le cas oùuest orthogonal, déterminer la nature et les éléments caractéristiques deu.

Exercice 103

Exercice 104

Soienta∈]−1,1[etM_ala matrice définie par :

M_a=





a² a√

1−a² √ 1−a² a√

1−a² 1−a² −a²

√

1−a² −a 0





1. Montrer que pour touta∈]−1,1[,M_aest une matrice orthogonale. Est-elle diagonalisable ? 2. Calculer tr(M_a)etdet(M_a).

3. En déduire les valeurs propres de M_a et la nature géométrique de l’endomorphisme associé canoniquement àM_a.

Exercice 105

Soitaun vecteur unitaire d’un espace euclidienE,α∈Ret f_α:E−→E l’application définie par :

∀x∈E, f_α(x) =x+α<x,a>a 1. Montrer que{f_α : α∈R}est stable pour la loi de composition.

2. Montrer que

∀α∈R,∀β∈R, f_α◦f_β= f_β◦ f_α 3. Calculer f_α^ppour tout p∈N.

4. Montrer que

f_α est inversible⇐⇒α6=−1 Quelle est la nature de f₋₁?

5. Montrer que

f_α est orthogonal⇐⇒α∈ {0,−2}

Quelle est la nature de f₋₂? Exercice 106

Soitaun vecteur unitaire d’un espace euclidien orientéE de dimension 3. On considère l’application f :E −→E définie par :

∀x∈E, f(x) =<x,a>a+a∧x Montrer que f est un endomorphisme orthogonal et préciser sa nature.

Exercice 107

SoitE un espace euclidien de dimension 3, muni d’une base orthonormaleβ= (e₁,e₂,e₃).

Déterminer la matrice, par rapport à la baseβ, de la rotation d’axeVect(e₁+e₂+e₃)et d’angleθ=^2π₃. Exercice 108

SoitA∈M_n(R)une matrice antisymétrique. Montrer que a) I+Aest inversible.

b) (I+A)⁻¹(I−A)∈SO_n(R).

c) det(I+A)>0.

Exercice 109

SoientE un espace euclidien,uun endomorphisme deE. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

i)

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∀(x,y)∈R², <x,y>=0=⇒<u(x),u(y)>=0,

ii) ∃k≥0 : ∀x∈E, ku(x)k=kkxk,

iii) uest la composée d’une homothétie et d’une isométrie.

Exercice 110

SoitA= (a_{i j})_1≤i,j≤nune matrice orthogonale. Montrer que

1≤i,

∑

j≤n

a_{i j}

≤n≤

∑

1≤i,j≤n

|a_{i j}| ≤n³² Exercice 111

SoientE un espace euclidienv∈E un vecteur non nul,α∈Retul’endomorphisme deEdéfini par :

∀x∈E, u(x) =x+α<x,v>v

1. Donner une condition necessaire et suffisante sur α et v pour que u soit un endomorphisme orthogonal.

2. On suppose queuest orthogonal et queα6=0. Donner une interprétation géométrique deu.

Exercice 112

SoientE un espace euclidien etuun endomorphisme deE.

1. Montrer que siuest un endomorphisme antisymétrique, alors exp(u)est une rotation deE.

2. Réciproquement, montrer que si u est une rotation de E, alors, il existe un endomorphisme antisymétriquevdeE, tel queu=exp(v).

Exercice 113

Pour tout nombre réela, on considère la forme quadratiqueq_adéfinie surR³par,

∀(x,y,z)∈R³, q_a(x,y,z) =a(x²+y²) +2z²−2xy−2xz+2yz 1. On suppose quea=1.

a) En utilisant la méthode de Gauss, écrireq₁sous forme de carrés.

b) Montrer queq₁est positive.q₁est-elle définie positive ? c) Montrer que∀(x,y,z)∈R³, q₁(x,y,z)≥z².

d) Déterminer l’ensembleCdes vecteursq₁-isotropes.

2. On suppose queaest quelconque.

a) Vérifier que ∀(x,y,z)∈R³, q_a(x,y,z) =q₁(x,y,z) + (a−1)(x²+y²) et en déduire que si a>1, alorsq_aest définie positive.

b) Calculerq_a(v), pour touta∈R, oùvest un vecteurq₁-isotrope non nul.

c) Déduire, de ce qui précède, les valeurs du paramètreapour lesquelles la forme quadratique q_aest définie positive ?

3. On suppose queq=2 et on munitR³du produit scalaire défini parq₂. Ce produit scalaire sera noté<·,·>

a) Déterminer la matrice deq₂par rapport à la base canonique(e₁,e₂,e₃)deR³. b) Soientu=e₂+e₃etF={u}^⊥.

i) Quelle est la dimension deF? Trouver une base deF.

ii) Déterminer la matrice, par rapport à la base canonique, de la projection orthogonale surF.

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iii) Calculer la distance dee₁àF.

Exercice 114

SoitE un espace euclidien de dimensionn. On dit qu’un endomorphisme udeE est antisymétrique siu^∗=−u.

1. Montrer que siuest antisymétrique alors∀x∈E, <u(x),x>=0.

2. Réciproquement, montrer que si∀x∈E, <u(x),x>=0, alorsuest antisymétrique.

3. On suppose queuest antisymétrique.

a) Montrer que ker(u)^⊥=Im(u).

b) Montrer que siλ∈Rest une valeur propre deu, alorsλ=0.

c) Montrer que siuest inversible, alorsnest pair.

d) Montrer queuest de rang pair.

4. On suppose que E est orienté de dimension 3 et que (e₁,e₂,e₃) est une base orthonormale directe deE.

a) Soitaun vecteur deE, aveca=αe₁+βe₂+γe₃, et soitul’endomorphisme défini par,

∀x∈E, u(x) =a∧x i) Montrer queuest antisymétrique.

ii) Déterminer, en fonction dea, ker(u)etIm(u).

iii) Déterminer, en fonction deα,βetγ, la matrice deupar rapport à la base(e₁,e₂,e₃).

b) Réciproquement, soituun endomorphisme antisymétrique non nul deE. On se propose de montrer qu’il existe un uniquea∈E, tel que

∀x∈E, u(x) =a∧x i) Montrer que dim(ker(u)) =1.

ii) On suppose que ker(u) =Vect(x₀)aveckx₀k=1 et soienty₀etz₀deux vecteurs deE, tels que(x₀,y₀,z₀)soit une base orthonormale directe deE. Montrer que

u(y₀) =<u(y₀),z₀>x₀∧y₀ et u(z₀) =<u(y₀),z₀>x₀∧z₀ iii) On posea=<u(y₀),z₀>x₀. Montrer queaest l’unique vecteur deE, tel que

∀x∈E, u(x) =a∧x

Exercice 115

Soientαetβdeux nombres réels etqla forme quadratique définie surR³par :

∀x∈R³, q(x) =x²₁+αx²₂+ (α+β+3)x²₃+2x1x₂+4x1x₃+2(α+1)x₂x₃ 1. Déterminer la matriceMdeqpar rapport à la base canonique(e₁,e₂,e₃)deR³.

2. Calculer le déterminant deM et préciser les valeurs des paramètresα et β pour lesquelles la forme quadratiqueqest non dégénérée.

3. On supposeα=β=0.

a) En appliquant la méthode de Gauss, décomposerqsous forme de carrés.

b) Déterminer le cône des vecteurs isotropesC_q.

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c) C_qest-t-il un sous-espace vectoriel deE? Pourquoi ? 4. On supposeα6=1 etβ6=0.

a) En appliquant la méthode de Gauss, décomposerqsous forme de carrés.

b) Pour quelles valeurs des paramèrtresαetβ, la forme quadratiqueqdéfinit-t-elle un produit scalaire surR³?

c) Dans le cas où q définit un produit scalaire sur R³, déterminer une base q-orthogonale (v₁,v₂,v₃).

Pour quelles valeurs deαetβ,(v₁,v₂,v₃)définit une baseq-orthonormale ? 5. Dans toute la suite, on supposeα=2 etβ=1.

a) Justifier queqdéfinit un produit scalaie surR³.

b) Déterminer leq-orthogonal deF, oùF=Vect(e₁+e₂,e₁−e₃).

c) Déterminer, par rapport à la base canonique deR³, la matriceAde la projectionq-orthogonale surF.

e) La matriceAest-elle symétrique ? Pourquoi ?

f) Déterminer, par rapport à la base(v₁,v₂,v₃), la matriceBde la projectionq-orthogonale sur F.

g) La matriceBest-elle symétrique ? Pourquoi ? Exercice 116

SoientEun espace euclidien orienté de dimension 3,aetbdeux vecteurs non nuls deE. On considère l’endomorphismeudeE défini par :

∀x∈E, u(x) =a∧(b∧x) 1. Déterminer l’endomorphisme adjointu^∗.

2. En déduire que si(a,b)est lié, alorsuest symétrique.

3. Réciproquement, montrer que siuest symétrique, alors(a,b)est lié.

4. Montrer queuest un projecteur, si, et seulement si,<a,b>=−1.

5. Montrer queuest un projecteur orthogonal, si, et seulement si,b=− a kak² 6. On suppose queuest un projecteur orthogonal. Déterminer ker(u)etIm(u) Exercice 117

SoientE un espace euclidien etuun endomorphisme deE, tel queu^∗◦u=u◦u^∗. 1. Montrer que pour toutx∈E, on aku(x)k=ku^∗(x)k.

2. Montrer que ker(u^∗) =ker(u).

3. Montrer que pour toutλ∈R, on a ker(u−λId_E) =ker(u^∗−λId_E).

4. Montrer que siλ∈Rest une valeur propre deuet siE_λest le sous-espace propre associé, alors E^⊥

λ est stable paru.

5. Dans toute la suite, on suppose que dim(E) =2 et queu^∗◦u=u◦u^∗.

a) Montrer que siupossède une valeur propre réelle, alors upossède une base orthonormale formée de vecteurs propres.

b) On suppose queun’a aucune valeur propre réelle.

i) Montrer queu^∗+upossède au moins une valeur propre réelleλ∈R. ii) Montrer que le sous-espace propreE_λest stable paru.

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iii) Montrer que dim(E_λ) =2 et queu^∗+u=λId_E.

iv) En déduire que la matriceAdeupar rapport à n’importe quelle base orthonormale de E, sécrit sous la forme :

A=

a −b

b a

, où (a,b)∈R²

Exercice 118

SoientE un espace euclidien etuun automorphisme deE, tel que

∀x∈E, ∀y∈E, <x,y>=0=⇒<u(x),u(y)>=0

1. Soitβ= (e₁,e₂, . . . ,e_n)une base orthonormale quelconque deE etA= (a_{i j})_1≤i,j≤nla matrice deu^∗upar rapport à la baseβ. Montrer que

∀(i,j)∈ {1,2, . . . ,n}², i6= j=⇒a_{i j}=0

2. Montrer que pour toutx∈E, il existeα(x)∈R, tel que(u^∗◦u)(x) =α(x)x.

3. Montrer qu’il existeα>0, tel queu^∗◦u=αId_E.

4. Montrer qu’il existek>0 et il existe un endomorphisme orthogonalv, tel queu=kv.

Exercice 119

Le corpsCdes nombres complexes est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel réel, de sa base canonique(1,i), oùiest le nombre complexe vérifianti²=−1, et de son produit scalaire usuel :

∀(z,z⁰)∈C², <z,z⁰>=Re(zz⁰) Soit f :C−→Cune applicationR-linéaire.

1. a) Montrer qu’il existe(α,β)∈C², tel que∀z∈C, f(z) =αz+βz.

b) Déterminer la trace et le déterminant de f en fonction deαetβ.

2. Soitz∈C, montrer que

(z,z)est libre⇐⇒z²∈/R 3. Déterminer f^∗.

4. Quelles sont les valeurs deαetβpour lesquelles : a) f est un endomorphisme symétrique ?

b) f est un endomorphisme orthogonal ? c) f est une rotation ?

d) f est une symétrie orthogonale ?

5. On supposeβ6=0. Déterminer les valeurs deαetβpour lesquelles f est une projection ortho-gonale.

Exercice 120

SoitE un espace euclidien muni d’une base orthonormale(e₁,e₂, . . . ,e_n). Pour toutσ∈S_n, on définit l’endomorphismeu_σdeE par :

∀x∈E, x=

n

∑

i=1

x_ie_i=⇒u_σ(x) =

n

∑

i=1

x_σ(i)e_i

1. Montrer que pour toutσ∈S_n,u_σ est un endomopphisme orthogonal deE.

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2. Montrer qu’il existe une valeur propre réelle commune à tous lesu_σ.

2. Montrer qu’il existe une valeur propre réelle commune à tous lesu_σ.

Dans le document Algèbre bilinéaire (Page 92-109)