Endomorphismes normaux

SoitEun espace hermitien, on dit qu’un endomorphismeudeEest normal, siu^∗◦u=u◦u^∗. Définition 6.12.

Remarque 6.12.1

1. Une matrice A∈M_n(C)est dite normale, si A^∗A=AA^∗.

2. Soient E un espace hermitien,β= (e₁,e₂, . . . ,e_n)unebase orthonormalede E, u un endomor-phisme de E et A=Mat(u,β), alors

u est normal⇐⇒A est normale

3. Si u est un endomorphisme normal, alors pour toutλ∈C, λId_E−u est normal.

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SoitA∈M_m,n(C), telle que tr(AA^∗) =0. AlorsA=0.

Lemme 6.13.

Preuve

Posons A= (a_{i j})_{1≤i≤m,1≤j≤n}, A^∗= (b_{i j})_{1≤i≤n,1≤j≤m} et AA^∗= (c_{i j})_1≤i,j≤m, donc on aura

∀i∈ {1,2, . . . ,n},∀j∈ {1,2, . . . ,m}, b_{i j}=a_ji Ainsi, on aura

tr(AA^∗) =

n

∑

j=1

c_{j j}

=

n j=1

∑

n i=1

∑

a_{i j}b_ji

!

=

n

∑

j=1 n

∑

i=1

a_{i j}a_{i j}

!

=

n j=1

∑

n i=1

∑

|a_{i j}|²

!

=

n i=1

∑

n j=1

∑

|a_{i j}|²

Puisque tr(AA^∗) =0, alors pour tout(i,j)∈ {1,2, . . . ,m}², |a_{i j}|²=0. D’où le résultat.

Soient un espace hermitien etuun endomorphisme normal deE, alors i) ∀x∈E, ku(x)k=ku^∗(x)k.

ii) ker(u) =ker(u^∗).

iii) ∀λ∈C, ker(λId_E−u) =ker(λId_E−u^∗).

iv) SiF un sous-espace stable paru, alorsF^⊥ est aussi stable paru.

Proposition 6.14.

Preuve

i) Soit x∈E, alors on a

ku(x)k²=<u(x),u(x)>=<u^∗(u(x)),x>=<u(u^∗(x)),x>=<u^∗(x),u^∗(x)>=ku^∗(x)k² ii) Soit x∈E, alors on a

x∈ker(u)⇐⇒u(x) =0

⇐⇒ ku(x)k=0

⇐⇒ ku^∗(x)k=0

⇐⇒u^∗(x) =0

⇐⇒x∈ker(u^∗)

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iii) Soit λ ∈C, puisque u^∗◦u= u◦u^∗, alors on voit facilement, par un simple calcul, qu’on a

Soit M la matrice de u par rapport à baseβ. Puisque F est stable par u, alors M s’écrit sous la forme : Donc pour montrer que F^⊥ est stable par u il suffit de montrer que B=0.

La baseβest orthonormale, donc Mat(u^∗,β) =M^∗. Par conséquent on aura,

SoitEun espace hermitien. Alors pour tout endomorphisme normal deE, il existe une base orthonormale deEformée de vecteurs propres deu.

Théorème 6.15.

Preuve

On procède par récurrence sur n, avec n=dim(E).

Pour n=1, il n’y a rien à démontrer.

H.R "Supposons que n>1et que tout endomorphisme normal sur un espace hermitien de dimension<n, possède une base orthonormale formée de vecteurs propres".

Soit E un espace hermitien de dimension n et soit u un endomorphisme normal de E.

Le corpsCest algèbriquement clos, donc u possède au moins une valeur propreλ∈C.

Soit E₁un vecteur propre associé àλ, alors F=Vect(e₁)est stable par u, donc d’après la proposition précédente, F^⊥ est stable par u.

Soit v la réstriction de u à F^⊥, alors v est un endomorphisme normal de F^⊥, car u est normal.

On a dim(F^⊥) =dim(E)−dim(F) =n−1, donc d’après l’hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormale(e₂, . . . ,e_n)de F^⊥ formée de vecteurs propres de v.

Ainsi,(e₁,e₂, . . . ,e_n)est une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u.

Remarque 6.15.1

Toute matrice normale est diagonalisable sur

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C.

6.15.1 Endomorphismes hermitiens

SoientEun espace hermitien etuun endomorphisme deE.

i) On dit queuest hermitien (ou autoadjoint), siu^∗=u.

ii) On dit queuest antihermitien, siu^∗=−u.

Définition 6.16.

Remarque 6.16.1

1. Une matrice A∈M_n(C)est dite hermitienne, si A^∗=A.

2. Soitβunebase orthonormalede E et soit A=Mat(u,β), alors (u est hermitien)⇐⇒(A est hermitienne) 3. Tout endomorphisme hermitien est normal.

Soient E un espace hermitien et u un endomorphisme hermitien de E. Alors toutes les valeurs propres deusont réelles.

Proposition 6.17.

Preuve

Soitλ∈Cune valeur propre de u, alors il existe x₀∈E, tel que u(x₀) =λx₀. Donc, on aura

<u(x₀),x₀>=<x₀,u^∗(x₀)>=⇒<u(x₀),x₀>=<x₀,u(x₀)> (car u^∗=u)

=⇒<λx₀,x₀>=<x₀,λx₀>

=⇒λkx₀k²=λkx₀k²

=⇒λ=λ (car kx₀k²6=0)

=⇒λ∈R

Soient E un espace hermitien. Alors pour tout endomorphisme hermitien u, il existe une base orthonormale deE dans laquelle la matriceAdeus’écrit sous la forme :

A=















λ₁ 0 0 . . . 0

0 λ₂ 0 . . . 0

0 . .. ... ... ...

... . .. ... ... 0

0 0 . . . 0 λ_n















oùλ₁,λ₂, . . . ,λ_n∈R. Théorème 6.18.

Preuve

Il suffit de remarquer que tout endomorphisme hermitien est normal.

Remarque 6.18.1

Toute matrice hermitienne est diagonalisable sur

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C.

6.18.1 Endomorphismes unitaires

SoientEun espace hermitien etuun endomorphisme deE.

On dit queuest unitaire, siu^∗u=Id_E. Définition 6.19.

Remarque 6.19.1

1. Une matrice A∈M_n(C)est dite unitaire, si A^∗A=I.

2. Soitβunebase orthonormalede E et soit A=Mat(u,β), alors (u est unitaire)⇐⇒(A est unitaire) 3. Tout endomorphisme unitaire u est inversible et on a u⁻¹=u^∗. 4. Tout endomorphisme unitaire est normal.

Soient E un espace hermitien etu un endomorphisme deE. Alors propositions suivantes sont équivalentes :

i) uest unitaire,

ii) ∀x∈E, ku(x)k=kxk,

iii) ∀x∈E, ∀y∈E, <u(x),u(y)>=<x,y>.

Proposition 6.20.

Preuve

i)=⇒ii) Supposons que u est unitaire, donc pour tout x∈E, u^∗(u(x)) =x.

Soit x∈E, alors on a

ku(x)k²=<u(x),u(x)>=<u^∗(u(x)),x>=<x,x>=kxk² ii)=⇒iii) Supposons que∀x∈E, ku(x)k=kxk.

Soient x∈E et y∈E, alors, d’après l’identité de polarisation, on a

<u(x),u(y)>= 1 4

n k=1

∑

i^kki^ku(x) +u(y)k²

= 1 4

n

∑

k=1

i^kku(i^kx) +u(y)k²

= 1 4

n

∑

k=1

i^kku(i^kx+y)k²

= 1 4

n k=1

∑

i^kki^kx+yk²

=<x,y>

iii)=⇒i) Supposons que∀x∈E, ∀y∈E, <u(x),u(y)>=<x,y>.

Soient x∈E et y∈E, alors on a

∀x∈E, ∀y∈E, <u(x),u(y)>=<x,y>=⇒ ∀x∈E, ∀y∈E, <u^∗(u(x)),y>=<x,y>

=⇒ ∀x∈E, ∀y∈E, <(u^∗u)(x),y>=<x,y>

=⇒ ∀x∈E, ∀y∈E, <(u^∗u)(x)−x,y>=0

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Fixons x∈E, alors on aura

∀y∈E, <(u^∗u)(x)−x,y>=0 Le produit hermitien est non dégénérée, donc on aura

∀x∈E, (u^∗u)(x)−x=0 Donc pour tout x∈E, on a(u^∗u)(x) =x. D’où le résultat.

Remarque 6.20.1

Soit E un espace hermitien, u un endomorphisme uniaire de E etλ∈Cune valeur propre de u, alors

|λ|=1.

En effet, siλest une valeur propre de u, alors il existe x₀∈E, avec x₀6=0, tel que u(x₀) =λx₀, donc d’après la proposition précédente, on a

kx₀k=ku(x₀)k=kλx₀k=|λ|kx₀k x₀6=0, donckx₀k 6=0et par suite|λ|=1.

SoitEun espace hermitien etuun endomorphisme deE.

i) Siu est unitaire, alors l’image paru d’une base orthonormale deE est une base ortho-normale deE.

ii) S’il existe une base orthonormaleβdeE, telle queu(β)soit une base orthonormale de E, alorsuest unitaire.

Proposition 6.21.

Preuve Exercice

Remarque 6.21.1

1. La matrice de passage d’une base orthonormale à une base orthonormale est une matrice unitaire.

2. Pour tout matrice normale A∈M_n(C), il existe une matrice diagonale D∈M_n(C)et une ma-trice unitaire P∈M_n(C), telle que A=P^∗DP.

3. Pour tout matrice hermitienne A∈M_n(C), il existe une matrice diagonale D∈M_n(C) et une matrice unitaire P∈M_n(C), telle que A=P^∗DP.

Soit E un espace hermitien. Alors pour tout endomorphisme unitaire u, il existe une base orthonormale deEdans laquelle la matriceU deus’écrit sous la forme :

U=















e^iθ1 0 0 . . . 0

0 e^iθ2 0 . . . 0

0 . .. ... ... ... ... . .. ... ... 0

0 0 . . . 0 e^iθn















oùθ₁,θ₂, . . . ,θ_n∈R. Théorème 6.22.

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Preuve

Un endomorphisme unitaire est normal, donc il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de u. Soit U la matrice de u par rapport à cette base, alors U est diagonale et les éléments diagonaux de U sont tous de module1, donc chaque élément diagonal s’écrit sous la forme e^iθ avec un certainθ∈R.

6.23 Exercices

Exercice 128

Soientnun entier≥1 eth:Cn[X]×Cn[X]−→Cl’application définie par :

∀(P,Q)∈C[X]², h(P,Q) = 1 2π

Z _π

−πP(e^iθ)Q(e^iθ)dθ 1. Montrer quehdéfini un produit scalaire surCn[X].

2. Montrer que(1,X, . . . ,Xⁿ)est une base orthonormale pour ce produit scalaire.

3. SoitP=a₀+a₁X+· · ·+a_n−1Xⁿ⁻¹+Xⁿ. a) CalculerkPk².

b) SoitM= sup

|z|=1

|P(z)|. Montrer queM≥1 et étudier le cas d’égalité.

Exercice 129

1. Montrer que pour toute matriceM∈M_n(C), il exixte deux matrices hermitiennes uniquesAet B, telles queM=A+iB.

2. Montrer que siM=A+iB, oùAetBsont hermitiennes, alors (M est normale)⇐⇒AB=BA Exercice 130

Pour tout entiern≥3, on considère le groupeGdes racinesn^ième de l’unité dansC. Posonsω=e^i2πn , alors on sait que

G={1,ω,ω², . . . ,ωⁿ⁻¹}

On désigne parE l’ensemble de toutes les applications deGdansC. Pour(f,g)∈E², on pose

< f,g>=

n−1

∑

k=0

f(ω^k)g(ω^k) 1. Montrer queEest unC-espace vectoriel de dimension finie=n.

2. Montrer que<·,·>définit un produit hermitien surE.

3. Pour toutk∈ {0,1, . . . ,n−1}, on définit l’application f_k:G−→C, par :

∀z∈G, f_k(z) = z^k

√n et on considère l’applicationU :E−→E, définie par :

∀f ∈E,∀z∈G, U(f)(z) = f(ωz)

a) Montrer queU est un endomorphisme unitaire deE et déterminerU^∗.

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b) Montrer que pour toutk∈ {0,1, . . . ,n−1}, f_kest un vecteur propre deU.

c) En déduire que(f₀,f₁,f₂, . . . ,f_n−1)est une base orthonormale deE.

4. Pour chaqueλ∈[0,1], on poseA_λ=Id_E−λU−(1−λ)U^∗.

a) Montrer que pour toutλ∈[0,1],A_λest un endomorphisme normal.

b) Pour quelle valeur deλ,A_λ est-t-il un endomorphisme hermitien ? c) Dans le cas oùA_λ est hermitien, montrer que

∀f ∈E, <A_λ(f),f >≥0 Exercice 131

On munitM_n(C)de son produit hermitien usuel :

∀(A,B)∈M_n(C)², <A,B>=tr(A^∗B) On désigne par

U

nle groupe des matrices unitaires d’ordren. Montrer que

∀U ∈

U

n, ∀A∈M_n(C), kUAk=kAUk=kkU^∗AUk Exercice 132

SoitU une matrice unitaire deM_n(C), tel que−1 n’est pas valeur propre deU.

1. Montrer queU+I est inversible.

2. On poseH=−i(U+I)⁻¹(U−I). Montrer queH est hermitien.

3. Quel est le lien entre les valeurs propres deHet celles deU? Exercice 133

SoitE un espace hermitien. Pour tout endomorphismeudeE, on pose kuk= sup

kxk=1

ku(x)k

1. Soituun endomorphisme deE. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : i) uest hermitien etkuk ≤1,

ii) Il existe un endomorphisme unitairehdeu, tel queu= ¹₂(h+h^∗).

2. En déduire que tout endomorphisme deE, s’écrit comme combinaison linéaire de quatres en-domorphismes unitaires.

Exercice 134

1. Montrer que pour toute matrice unitaireU, il existe une matrice hermitienneH, telle que U =e^iH.

2. Montrer que pour toute matrice complexeA, il existe une matrice hermitienne définie positive Ret une matrice hermitienneH, telles queA=e^iHR.

Exercice 135

SoientE un espace hermitien etu un endomorphisme de E. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

i) uest normal,

ii) ∀x∈E, ku(x)k=ku^∗(x)k,

iii) Tout sous-espace vectoriel stable paruest aussi stable paru^∗, iv) Tout sous-espace vectorielF stable paru,F^⊥est aussi stable paru,

v)

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Il existeP∈C[X], tel queu^∗=P(u).

INDEX

angle non orienté formé par les vecteurs,37 base orthonormale directe,33

déterminant de Gram,70 double produit vectoriel,41 Ecriture matricielle,3 Egalité de la médiane,38

endomorphismes de trace nulle,66 espaces euclidiens,25

formeσ-sesquilinéaire,24 forme bilinéaire,1

forme bilinéaire antisymétrique,1 forme bilinéaire symétrique,1 forme bilinéare positif,25 Identité de Jacobi,41 Inégalité d’Hadamard,31

inégalité de cauchy-Schwartz,28 inégalité de Hadamard,70,71 Matrice d’une forme bilinéaire,2 matrice de Hilbert,70

matrice et déterminant de Gram,70 matrice orthogonale,33

orientation,32 produit scalaire,25 rotation,58

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