Chapitre VII : Les nombres complexes : applications

(1)

Maths expertes – Chapitre 7 Page 1

Chapitre VII : Les nombres complexes : applications

I – Équations polynomiales

1) Équations du second degré à coefficients réels a) Équation de type 𝑧 = 𝑎

Propriété 1 :

Soit 𝑎 un réel non nul.

L’équation 𝑧 = 𝑎 admet toujours une ou deux solutions dans ℂ : 1) Si 𝑎 = 0, la solution est 0

2) Si 𝑎 > 0, les deux solutions sont les réels : √𝑎 et − √𝑎.

3) Si 𝑎 < 0, les deux solutions sont les imaginaires purs : 𝑖√−𝑎 et −𝑖 √−𝑎 Démonstration :

1) évident

2) 𝑧 = 𝑎 ⇔ 𝑧 = √𝑎 ⇔ 𝑧 − √𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 − √𝑎 𝑧 + √𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 = √𝑎 ou 𝑧 = − √𝑎 3) 𝑧 = 𝑎 ⇔ 𝑧 = − −𝑎 ⇔ 𝑧 = − √−𝑎 ⇔ 𝑧 + √−𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 − 𝑖 √−𝑎 = 0

⇔ 𝑧 − 𝑖√−𝑎 𝑧 + 𝑖√−𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 = 𝑖√−𝑎 ou 𝑧 = −𝑖 √−𝑎 Exemple 1 : L’équation 𝑧 = −3 a pour solutions 𝑖√3 et −𝑖√3.

b) Équation de type 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 Propriété 2 :

Soit 𝑎, 𝑏, 𝑐 trois réels avec 𝑎 ≠ 0.

On considère l’équation (E) : 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 de discriminant ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐.

1) Si Δ > 0, (E) a deux solutions réelles : 𝑧₁ =−𝑏 +√∆

2𝑎 et 𝑧₂ =−𝑏 −√∆ 2𝑎 2) Si Δ = 0, (E) a une seule solution 𝑧₀ =−𝑏

2𝑎 dite "racine double"

3) Si Δ < 0, (E) a deux solutions complexes conjuguées : 𝑧₁ =−𝑏 + 𝑖√−∆

2𝑎 et 𝑧₂ =−𝑏 − 𝑖√−∆

2𝑎

Démonstration :

On commence par écrire la forme canonique du trinôme 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 : 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 +−𝑏 + 4𝑎𝑐

4𝑎 = 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 −𝑏 − 4𝑎𝑐

4𝑎 = 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − ∆ 4𝑎 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − ∆ 4𝑎

(2)

Maths expertes – Chapitre 7 Page 2

1) Si ∆ > 0 :

𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − ∆

4𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − √∆

2𝑎 = 0

⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎−√∆

2𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎+√∆

2𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 + 𝑏

2𝑎−√∆

2𝑎 = 0 ou 𝑧 + 𝑏

2𝑎+√∆

2𝑎 = 0

⇔ 𝑧 = − 𝑏

2𝑎+√∆

2𝑎 =−𝑏 + √∆

2𝑎 ou 𝑧 = − 𝑏

2𝑎−√∆

2𝑎 =−𝑏 − √∆

2𝑎 2) Si ∆ = 0 :

𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 + 𝑏

2𝑎= 0 ⇔ 𝑧 = − 𝑏 2𝑎 3) Si ∆ < 0 :

𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 + −∆

4𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 + √−∆

2𝑎 = 0

⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − 𝑖 √−∆

2𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − 𝑖√−∆

2𝑎 = 0

⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎−𝑖√−∆

2𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎+𝑖√−∆

2𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 + 𝑏

2𝑎−𝑖√−∆

2𝑎 = 0 ou 𝑧 + 𝑏

2𝑎+𝑖√−∆

2𝑎 = 0

⇔ 𝑧 = − 𝑏

2𝑎+𝑖√−∆

2𝑎 =−𝑏 + 𝑖√−∆

2𝑎 ou 𝑧 = − 𝑏

2𝑎−𝑖√−∆

2𝑎 =−𝑏 − 𝑖√−∆

2𝑎

Exemple 2 : L’équation 𝑧 + 𝑧 + 1 = 0 a pour discriminant Δ = −3 < 0 Les solutions sont 𝑧 =−1 + 𝑖√3

2 et 𝑧 = 𝑧 =−1 − 𝑖√3 2 Remarque 1 :

Dans le cas où Δ < 0, il suffit d’exprimer l’une de deux solutions, l’autre s’obtient en prenant le conjugué de la première.

2) Équations du second degré à coefficients complexes (post bac) Propriété 3 : (hors programme)

Soit 𝑎, 𝑏, 𝑐 trois complexes avec 𝑎 ≠ 0.

On considère l’équation (E) : 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 de discriminant ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐.

Notons 𝛿 l’un des deux nombres complexes tels que 𝛿 = Δ 1) Si Δ ≠ 0, (E) a deux solutions complexes : 𝑧₁ =−𝑏 + 𝛿

2𝑎 et 𝑧₂ =−𝑏 − 𝛿 2𝑎 2) Si Δ = 0, (E) a une seule solution 𝑧₀ =−𝑏

2𝑎 dite "racine double"

(3)

Maths expertes – Chapitre 7 Page 3 Démonstration :

𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − ∆

4𝑎 = 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − 𝛿 4𝑎 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − 𝛿

4𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏

2𝑎 − 𝛿

2𝑎 = 0

⇔ 𝑎 𝑧 + 𝑏 2𝑎− 𝛿

2𝑎 𝑧 + 𝑏 2𝑎+ 𝛿

2𝑎 = 0 ⇔ 𝑧 + 𝑏 2𝑎− 𝛿

2𝑎= 0 ou 𝑧 + 𝑏 2𝑎+ 𝛿

2𝑎 = 0

⇔ 𝑧 = − 𝑏 2𝑎+ 𝛿

2𝑎 =−𝑏 + 𝛿

2𝑎 ou 𝑧 = − 𝑏 2𝑎− 𝛿

2𝑎=−𝑏 − 𝛿 2𝑎

Exemple 3 : L’équation 𝑧 − (1 + 2𝑖)𝑧 + 𝑖 − 1 = 0 a pour discriminant Δ = 1 = 1 Ses solutions sont donc :

𝑧 =1 + 2𝑖 + 1

2 = 1 + 𝑖 et 𝑧 =1 + 2𝑖 − 1 2 = 𝑖

Exemple 4 : L’équation 𝑧 + (1 + 3𝑖)𝑧 + 3𝑖 − 6 = 0 a pour discriminant Δ = 8 − 6i.

1^ère étape : Il faut trouver un nombre complexe 𝛿 tel que 𝛿 = Δ Notons 𝛿 = 𝑎 + 𝑖𝑏 et résolvons l’équation 𝛿 = 8 − 6i

𝛿 = 8 − 6i ⇔ 𝑎 − 𝑏 + 2𝑖𝑎𝑏 = 8 − 6𝑖 ⇔ 𝑎 − 𝑏 = 8

2𝑎𝑏 = −6 ⇔ 𝑎 − 𝑏 = 8 𝑎𝑏 = −3

Astuce : pour faciliter la recherche des valeurs de 𝑎 et 𝑏, on ajoute une équation issue de l’égalité des modules : |𝛿 | = |Δ| ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 10

On obtient alors le système : 𝑎 − 𝑏 = 8 𝑎 + 𝑏 = 10

𝑎𝑏 = −3

L’association des deux premières équations nous donne 𝑎 = 9

𝑏 = 1 ⇔ 𝑎 = ±3 𝑏 = ±1 L’équation 𝑎𝑏 = −3 nous dit que 𝑎 et 𝑏 sont de signes contraires :

𝛿 = 3 − 𝑖 ou − 3 + 𝑖

2^ème étape : Il reste à exprimer les solutions : 𝑧 =−𝑏 + 𝛿

2𝑎 =−1 − 3𝑖 + 3 − 𝑖

2 =2 − 4𝑖

2 = 1 − 2𝑖 𝑧 =−𝑏 − 𝛿

2𝑎 = −1 − 3𝑖 − 3 + 𝑖

2 =−4 − 2𝑖

2 = −2 − 𝑖

Remarque 2 : Dans cet exemple, les coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐 ne sont pas réels, les solutions sont complexes mais non conjuguées.

3) Factorisation des polynômes Propriété 4 :

Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois réels avec 𝑎 ≠ 0.

On considère le polynôme 𝑃 tel que, pour tout 𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐

On note 𝑧 et 𝑧 les deux solutions de l’équation 𝑃(𝑧) = 0, avec éventuellement 𝑧 = 𝑧 . Alors, pour tout 𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑧) = 𝑎(𝑧 − 𝑧 )(𝑧 − 𝑧 ).

Démonstration : immédiate d’après la démonstration de la propriété 2

(4)

Maths expertes – Chapitre 7 Page 4 Δ = −36 < 0 donc les solutions de l’équation 𝑃(𝑧) = 0 sont complexes et conjuguées :

𝑧 =8 + 6𝑖

10 = 4 + 3𝑖

5 et 𝑧 = 𝑧 =4 − 3𝑖 5

Ainsi, pour tout 𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑧) = 5(𝑧 − 𝑧 )(𝑧 − 𝑧 ) = 5 𝑧 −4 + 3𝑖

5 𝑧 −4 − 3𝑖 5 II - Les fonctions polynômes

1) Définitions Définition 1 :

Soit 𝑛 un entier naturel et 𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 des réels ou des complexes avec 𝒂_𝒏 ≠ 𝟎.

Une fonction polynôme (ou polynôme) 𝑃 est une fonction définie sur ℂ par une unique écriture polynomiale de la forme :

∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑧) = 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 + ⋯ + 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 + 𝑎

Les nombres 𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 sont appelés coefficients du polynôme 𝑃.

Le polynôme nul est le polynôme 𝑃 tel que ∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑧) = 0.

Si 𝑃 n’est pas le polynôme nul, l’entier 𝑛 est appelé le degré de 𝑷.

On appelle racine de 𝑷 tout nombre complexe 𝑧 tel que 𝑃(𝑧 ) = 0.

Exemple 6 :

𝑃(𝑧) = −3𝑖 est un polynôme constant, il est de degré 0.

𝑃(𝑧) = 3𝑧 − 𝑖𝑧 + 5 + 3𝑖 est un polynôme de degré 2 𝑃(𝑧) = −5𝑧 est un monôme de degré 4.

Propriété 5 :

Un polynôme est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

2) Factorisation par 𝑧 − 𝑎 Définition 2 :

Soit 𝑎 un nombre complexe.

On dit qu’un polynôme 𝑃 est factorisable (ou divisible) par 𝑧 − 𝑎 s’il existe un polynôme 𝑄 tel que

∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑄(𝑧)

Exemple 7 :

1) 𝑃(𝑧) = 𝑧 − 9 est factorisable par (𝑧 − 3) car 𝑃(𝑧) = (𝑧 − 3)(𝑧 + 3).

Il est aussi factorisable par (𝑧 + 3).

2) 𝑃(𝑧) = 𝑧 + 4 = 𝑧 − 4𝑖 = 𝑧 − (2𝑖) = (𝑧 − 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖).

Le polynôme 𝑃 est donc factorisable par (𝑧 − 2𝑖) et (𝑧 + 2𝑖).

Propriété 6 :

Pour tout nombre complexe 𝑧 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑧 − 𝑎 est factorisable par 𝑧 − 𝑎.

On a : 𝑧 − 𝑎 = (𝑧 − 𝑎)(𝑧 + 𝑎𝑧 + 𝑎 𝑧 + ⋯ + 𝑎 𝑧 + 𝑎 ) = (𝑧 − 𝑎) 𝑎 𝑧

(5)

Maths expertes – Chapitre 7 Page 5 Démonstration :

Rappelons la formule 1 − 𝑞 = (1 − 𝑞)(1 + 𝑞 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞 ) qui peut aussi s’écrire sous la forme : 𝑞 − 1 = (𝑞 − 1)(𝑞 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞 + 𝑞 + 1) (*)

Si 𝑎 = 0, l’égalité est évidente …

Si 𝑎 ≠ 0, appliquons l’égalité (*) à 𝑞 = : 𝑧

𝑎 − 1 = 𝑧

𝑎 − 1 𝑧

𝑎 + 𝑧

𝑎 + ⋯ + 𝑧

𝑎 + 𝑧 𝑎 + 1 Multiplions alors dans cette égalité par 𝑎 :

𝑎 𝑧

𝑎 − 1 = 𝑎 𝑧

𝑎 − 1 𝑧

𝑎 + 𝑧

𝑎 + ⋯ + 𝑧

𝑎 + 𝑧 𝑎 + 1

⇔ 𝑧 − 𝑎 = 𝒂 𝑧

𝑎 − 1 × 𝒂^{𝒏 𝟏} 𝑧

𝑎 + 𝑧

𝑎 + ⋯ + 𝑧

𝑎 + 𝑧 𝑎 + 1

⇔ 𝑧 − 𝑎 = (𝑧 − 𝑎) 𝑎 𝑧

𝑎 + 𝑎 𝑧

𝑎 + ⋯ + 𝑎 𝑧

𝑎 + 𝑎 𝑧

𝑎 + 𝑎

⇔ 𝑧 − 𝑎 = (𝑧 − 𝑎) 𝑎 𝑧

𝑎 + 𝑎 𝑧

𝑎 + ⋯ + 𝑎 𝑧

𝑎 + 𝑎 𝑧

𝑎 + 𝑎

⇔ 𝑧 − 𝑎 = (𝑧 − 𝑎)(𝑧 + 𝑎𝑧 + ⋯ + 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 + 𝑎 ) Autre méthode : on manipule les sommes :

(𝑧 − 𝑎) 𝑎 𝑧 = 𝑧 𝑎 𝑧 − 𝑎 𝑎 𝑧

= 𝑎 𝑧 − 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑧 − 𝑎 𝑧 ⁽ ⁾

= 𝑎 𝑧 − 𝑎 𝑧

𝒏

𝟏

= 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 − 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧

= 𝑧 + 𝑎 𝑧 − 𝑎 − 𝑎 𝑧 = 𝑧 − 𝑎

Exemple 8 :

1) 𝑃(𝑧) = 𝑧 − 32 = (𝑧 − 2)(𝑧 + 2𝑧 + 4𝑧 + 8𝑧 + 16)

2) 𝑃(𝑧) = 𝑧 + 27𝑖 = 𝑧 − (−27𝑖) = 𝑧 − (3𝑖) = (𝑧 − 3𝑖)(𝑧 + 3𝑖𝑧 − 9) Propriété 7 :

Le polynôme 𝑃 est factorisable par (𝑧 − 𝑎) si et seulement si 𝑎 est une racine de 𝑃.

Démonstration : Il faut démontrer que :

𝑎 est une racine de 𝑃 ⇔ il existe un polynôme 𝑄 tel que ∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑄(𝑧) Dans le sens « ⇐ » c’est immédiat, en effet :

𝑃(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑄(𝑧) ⟹ 𝑃(𝑎) = (𝑎 − 𝑎)𝑄(𝑎) = 0 ⟹ 𝑎 est racine de 𝑃

(6)

Maths expertes – Chapitre 7 Page 6 Notons 𝑃(𝑧) = 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 + ⋯ + 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 + 𝑎

𝑎 est racine de 𝑃 ⟹ 𝑃(𝑎) = 0 ⟹ 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + ⋯ + 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 = 0 𝑃(𝑧) = 𝑃(𝑧) − 𝑃(𝑎)

= 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 + ⋯ + 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧 + 𝑎 − (𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + ⋯ + 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 )

= 𝑎 (𝑧 − 𝑎 ) + 𝑎 (𝑧 − 𝑎 ) + ⋯ + 𝑎 (𝑧 − 𝑎 ) + 𝑎 (𝑧 − 𝑎) Donc d’après la propriété 6 :

𝑃(𝑧) = 𝑎 (𝑧 − 𝑎) 𝑎 𝑧 + 𝑎 (𝑧 − 𝑎) 𝑎 𝑧 + ⋯ + 𝑎 (𝑧 − 𝑎)(𝑧 + 𝑎) + 𝑎 (𝑧 − 𝑎)

= (𝑧 − 𝑎)

⎝

⎜

⎛𝑎 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑎 𝑧 + ⋯ + 𝑎 (𝑧 + 𝑎) + 𝑎

( ) ⎠

⎟

⎞

= (𝑧 − 𝑎)𝑄(𝑧) Propriété 8 :

Un polynôme 𝑃 non nul de degré 𝑛 admet au plus 𝑛 racines distinctes.

Remarque 3 : Si un polynôme de degré 𝑛 s’annule pour au moins 𝑛 + 1 racines distinctes, alors c’est le polynôme nul.

III – Racines nièmes de l’unité Définition 3 :

Soit 𝑛 un entier naturel non nul.

On appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe 𝑧 tel que 𝑧 = 1.

Remarque 4 :

Le nombre 1 est solution de l’équation 𝑧 = 1.

Les racines n-ièmes de l’unité sont les racines du polynôme 𝑧 − 1.

Propriété 9 :

L’équation 𝑧 = 1 admet exactement 𝑛 racines n-ièmes distinctes.

Ce sont les nombres complexes de la forme 𝑒 avec 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧.

Démonstration :

Notons 𝑧 = 𝑟𝑒 ⇔ 𝑧 = 𝑟 𝑒

𝑧 = 1 ⇔ 𝑟 𝑒 = 1 ⇔ 𝑟 𝑒 = 1𝑒 ⇔ 𝑟 = 1

𝑛𝜃 = 0 + 2𝑘𝜋 ⇔

𝑟 = 1 car 𝑟 > 0 𝜃 =2𝑘𝜋

𝑛 où 𝑘 ∈ ℤ On obtient ainsi 𝑒 avec 𝑘 ∈ ℤ.

Il reste à montrer que ces valeurs sont au nombre de 𝑛.

Montrons que les éléments de 𝑒 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ sont deux à deux distincts : 𝑒 = 𝑒 ⇔ 2𝑘𝜋

𝑛 ≡ 2𝑘 𝜋

𝑛 [2𝜋] ⇔ 𝑘 ≡ 𝑘 [𝑛] ⇔ 𝑘 − 𝑘′ ≡ 0[𝑛]

(7)

Maths expertes – Chapitre 7 Page 7 Or 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ et 𝑘′ ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ donc −𝑛 < 𝑘 − 𝑘 < 𝑛 et donc 𝑘 − 𝑘 = 0 ⇔ 𝑘 = 𝑘′

Tous les éléments de cet ensemble sont donc 2 à 2 distincts.

Montrons maintenant que ce sont les seules, autrement dit, montrons que les racines n-ièmes de 1 s’écrivent toutes sous la forme 𝑒 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ :

Un racine n-ième de 1 s’écrit sous la forme 𝑧 = 𝑒 avec 𝑎 ∈ ℤ

Effectuons la division euclidienne de 𝑎 par 𝑛 : 𝑎 = 𝑛𝑞 + 𝑟 où 𝑟 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧

𝑧 = 𝑒 = 𝑒 ⁽ ⁾ = 𝑒 𝑒 = 𝑒 𝑒 = 𝑒 où 𝑟 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧

Définition 4 :

On note 𝑈 l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.

Ainsi, 𝑈 = 𝑒 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧

Remarque 5 :

En posant 𝑧 = 𝑒 , 𝑈 = {𝑧 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧} = {1; 𝑧 ; 𝑧 ; … ; 𝑧 } Exemple 9 :

1) 𝑈 = {1 ; −1}

2) 𝑈 = {1 ; 𝑗; 𝑗 } en posant 𝑗 = 𝑒 3) 𝑈 = {1 ; 𝑖; −1; −𝑖}

Remarque 6 :

1) Si 𝑧 ∈ 𝑈 alors 𝑧̅ ∈ 𝑈

2) Dans le cas où 𝑛 est pair, si 𝑧 ∈ 𝑈 alors −𝑧 ∈ 𝑈 Propriété 10 :

Les points images des éléments de 𝑈 appartiennent au cercle trigonométrique.

Si 𝑛 ≥ 3, ce sont les sommets d’un polygone régulier à 𝑛 sommets.

Exemple 10 :

1) Pour 𝑛 = 3, les racines cubiques de 1 ont pour images les sommets d’un triangle équilatéral :

2) Pour 𝑛 = 4, les racines quatrièmes de 1 ont pour images les sommets d’un carré :

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Maths expertes – Chapitre 7 Page 8 Propriété 11 :

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗).

𝐴, 𝐵 𝐶 et 𝐷 sont quatre points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 , 𝑧 et 𝑧 . 1) 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ = arg(𝑧 − 𝑧 ) [2𝜋]

2) 𝐶𝐷

𝐴𝐵 = 𝑧 − 𝑧 𝑧 − 𝑧

3) 𝐴𝐵⃗, 𝐶𝐷⃗ = arg 𝑧 − 𝑧

𝑧 − 𝑧 [2𝜋]

Démonstration :

1) On considère le point 𝑀 d’affixe 𝑧 − 𝑧

On sait déjà que le vecteur 𝐴𝐵⃗ a pour affixe 𝑧 − 𝑧

Ainsi 𝐴𝐵⃗ = 𝑂𝑀⃗ donc 𝑢⃗; 𝐴𝐵⃗ = 𝑢⃗; 𝑂𝑀⃗ [2𝜋] = arg(𝑧 − 𝑧 ) [2𝜋]

2) 𝐶𝐷

𝐴𝐵 = |𝑧 − 𝑧 |

|𝑧 − 𝑧 | = 𝑧 − 𝑧 𝑧 − 𝑧

3) 𝐴𝐵⃗, 𝐶𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗, 𝑢⃗ + 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ [2𝜋] = − 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ + 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ [2𝜋] = 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ − 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ [2𝜋]

= arg(𝑧 − 𝑧 ) − arg(𝑧 − 𝑧 )[2𝜋] = arg 𝑧 − 𝑧

𝑧 − 𝑧 [2𝜋]

Propriété 12 : Cas particulier

𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont 3 points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 et 𝑧 . Le nombre complexe 𝑧 − 𝑧

𝑧 − 𝑧 a pour module𝐴𝐶

𝐴𝐵 et pour argument 𝐴𝐵⃗, 𝐴𝐶⃗ [2𝜋].

Exemple 11 :

Soient 𝐴, 𝐵 et 𝐶 et 𝐷 trois points du plan d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 , 𝑧 définies par : 𝑧 = −2i , 𝑧 = − √3 + i , 𝑧 = √3 + i

𝑧 − 𝑧

𝑧 − 𝑧 = √3 + i − (−2i)

− √3 + i − (−2i)= √3 + 3i

− √3 + 3i= √3 + 3i

− √3 + 3i×− √3 − 3i

− √3 − 3i =(√3 + 3i)(− √3 − 3i) 12

=−3 − 3𝑖√3 − 3𝑖√3 + 9

12 = 6 − 6𝑖√3

12 = 1

2− 𝑖√3 2 = 𝑒 𝐴𝐶

𝐴𝐵 = 𝑧 − 𝑧

𝑧 − 𝑧 = 1 donc 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 donc 𝐴𝐵𝐶 est isocèle en 𝐴.

De plus, 𝐴𝐵⃗, 𝐴𝐶⃗ = arg 𝑧 − 𝑧

𝑧 − 𝑧 [2𝜋] = −𝜋 3[2𝜋]

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc équilatéral.