Chapitre 2 : NOMBRES COMPLEXES

Chapitre 2 : NOMBRES COMPLEXES

I- Ensemble ℂ des nombres complexes 1) Forme algébrique

Définition Un nombre complexe est un nombre de la forme Z = x + iy où x et y sont des réels et i un nombre vérifiant _i²₌₋₁

Cette écriture Z = x + iy s'appelle la forme algébrique de Z :

• x s'appelle la partie réelle de Z notée Re(Z)

• y s'appelle la partie imaginaire de Z notée Im(Z) A noter :

• L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ .

• Si la partie réelle d'un nombre complexe Z est nulle, on a Z = iy . Z est alors appelé un imaginaire pur

2) Inverse d'un nombre complexe

Tout nombre complexe Z admet un unique inverse noté 1 Z .

Pour obtenir la forme algébrique d'un quotient dans ℂ, on multiplie le numérateur et le dénominateur du quotient par l'expression conjuguée du dénominateur .

Exemple :

4+12 i = 1(4−2 i) (4+2 i)(4−2 i) =

5+2 i 1+3 i =

3- Nombre complexe conjugué Définition

On appelle nombre complexe conjugué de Z = x + iy le nombre complexe, noté Z , tel que Z = x – iy Propriété des conjugués

Pour tous nombres complexes Z et Z’, on a :

1) Z=Z 2) Z+Z'=Z+Z' 3) ZZ '=Z×Z'

4) Zⁿ=Zⁿ pour tout n ∈ ℕ^* , 5) pour Z' ≠ 0,

(

)

(

)

• Les propriétés 1 , 2 et 3 se démontrent avec la forme algébrique Z×Z' =

Z×Z' =

• La propriété 4) se démontre par récurrence Initialisation :

• Démontrer la propriété 5) à l'aide de l'égalité Z×1 Z=1

Exemples : Ecrire en fonction de Z les conjugués des nombres complexes suivant : z⁴−5z+3 i−4 =

z_{−2 i} z+4 i−2 =

II- Techniques opératoires a) Complexes égaux

Théorème Soient Z = x + i y et Z' = x' + i y' deux nombres complexes.

Z = Z' ⇔

{

L'écriture d'un nombre complexe est unique

La démonstration de cette propriété est en ligne . C'est une propriété utile quand il faut résoudre une équation où Z et son conjugué Z sont présents :

Exemple 1 : Résoudre l'équation Z+2 Z=3−4 i On écrit Z = x+ i y d'où Z = x – i y. On remplace alors dans l'équation :

x+iy+2(x−iy)=3−4 i 3x₋iy₌3−4 i

On identifie alors les parties réelles et imaginaires :

{

{

Ainsi , S = { 1 + 4i }

Exemple 2 : Résoudre l'équation Z²=Z×Z On écrit Z = x + iy donc Z=x−iy d'où

(x+iy)²=(x+iy)(x−iy) x²+2 ixy−y²=x²−(iy)²

x²−y²+2 ixy=x²+y²

On identifie alors les parties réelles et imaginaires :

{

^{

S = { x + 0i avec x ∈ℝ }

b) Nombres réels , nombres imaginaires purs Définition :

• Im(Z) = 0 ⇔ Z=Z on dit que Z est réel • Re(Z) = 0 ⇔ Z = – Z on dit que Z est un imaginaire pur

c) Le binôme de Newton

Propriété : Quels que soient les nombres complexes a et b , on a : (a+b)ⁿ =

∑

k=0

n

(

)

Cette formule porte le nom de binôme de Newton

Les coefficients

(

)

(

)

(

)

(

)

p =0 p =1 p =2 p = 3 p =4 p = 5 p =6 …. p =0 p =1 p =2 p = 3 p =4 p = 5 p =6 ….

n = 0

(

)

n = 1



 



n = 2



 

 



n = 3



 

 

 

 ^⇔

n = 4



 

 

 

 



n = 5



 

 

 

 

 



n = 6 1 6 15 20 15 6 1

Exemple : (1+i)⁴ =

∑

k=0

4

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

= i⁴+4 i³+6 i²+4 i+1 = 1−4 i−6+4 i+1 = −4