Maths expertes – Chapitre 7 Page 1
Chapitre VII : Les nombres complexes : applications
IV - Applications des nombres complexes en géométrie Propriété 11 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗).
𝐴, 𝐵 𝐶 et 𝐷 sont quatre points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 , 𝑧 et 𝑧 . 1) 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ = arg(𝑧 − 𝑧 ) [2𝜋]
2) 𝐶𝐷
𝐴𝐵 = 𝑧 − 𝑧 𝑧 − 𝑧
3) 𝐴𝐵⃗, 𝐶𝐷⃗ = arg 𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 [2𝜋]
Démonstration :
1) On considère le point 𝑀 d’affixe 𝑧 − 𝑧
On sait déjà que le vecteur 𝐴𝐵⃗ a pour affixe 𝑧 − 𝑧
Ainsi 𝐴𝐵⃗ = 𝑂𝑀⃗ donc 𝑢⃗; 𝐴𝐵⃗ = 𝑢⃗; 𝑂𝑀⃗ [2𝜋] = arg(𝑧 − 𝑧 ) [2𝜋]
2) 𝐶𝐷
𝐴𝐵 = |𝑧 − 𝑧 |
|𝑧 − 𝑧 | = 𝑧 − 𝑧 𝑧 − 𝑧
3) 𝐴𝐵⃗, 𝐶𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗, 𝑢⃗ + 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ [2𝜋] = − 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ + 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ [2𝜋] = 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ − 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ [2𝜋]
= arg(𝑧 − 𝑧 ) − arg(𝑧 − 𝑧 )[2𝜋] = arg 𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 [2𝜋]
Propriété 12 : Cas particulier
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗).
𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont 3 points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 et 𝑧 . Le nombre complexe 𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 a pour module𝐴𝐶
𝐴𝐵 et pour argument 𝐴𝐵⃗, 𝐴𝐶⃗ [2𝜋].
Exemple 11 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗).
Soient 𝐴, 𝐵 et 𝐶 et 𝐷 trois points du plan d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 , 𝑧 définies par : 𝑧 = −2i , 𝑧 = − √3 + i , 𝑧 = √3 + i
𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 = √3 + i − (−2i)
− √3 + i − (−2i)= √3 + 3i
− √3 + 3i= √3 + 3i
− √3 + 3i×− √3 − 3i
− √3 − 3i =(√3 + 3i)(− √3 − 3i) 12
=−3 − 3𝑖√3 − 3𝑖√3 + 9
12 = 6 − 6𝑖√3
12 = 1
2− 𝑖√3 2 = 𝑒 𝐴𝐶
𝐴𝐵 = 𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 = 1 donc 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 donc 𝐴𝐵𝐶 est isocèle en 𝐴.
De plus, 𝐴𝐵⃗, 𝐴𝐶⃗ = arg 𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 [2𝜋] = −𝜋 3[2𝜋]
Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc équilatéral.
