Chapitre VII: Loi des grands nombres

Chapitre VII:

Loi des grands nombres

1. La loi des grands nombres

Théorème (La loi des grands nombres)

Soit(Xn)_n≥1des v.a. i.i.d. de carré intégrable, et posons µ=E(X1), et σ²=σ²_X1. SoitSn=Pn

j=1Xj. On a alors

n→∞lim S_n

n = lim

n→∞

1 n

n

X

j=1

X_j=µ p.s. et dansL².

Remarque

Puisqu’on a convergence p.s. etL²on a aussi convergence en probabilité.

Théorème (La loi des grands nombres)

Soit(Xn)_n≥1des v.a. i.i.d. de carré intégrable, et posons µ=E(X1), et σ²=σ²_X1. SoitSn=Pn

j=1Xj. On a alors

n→∞lim S_n

n = lim

n→∞

1 n

n

X

j=1

X_j=µ p.s. et dansL².

Remarque

Puisqu’on a convergence p.s. etL² on a aussi convergence en probabilité.

Théorème (La loi des grands nombres)

Soit(Xn)_n≥1des v.a. i.i.d. et soitµ∈R. PosonsSn=Pn

j=1Xj. La suite

S_n

n converge p.s. vers µsi et seulement si E(X₁) =µ. Dans ce cas, la convergence a aussi lieu dansL¹.

2. Le théorème-limite central

L’idée

SoitX1, . . . ,Xj, . . .des v.a. i.i.d. de variance finieσ² et de moyenneµ, et soitSn=Pn

j=1Xj. Alors sinest grand, la loi deSn est approximativement uneN(nµ,nσ²).

Théorème (Théorème-limite central)

Soit(X_n)_n≥1des v.a.r. i.i.d. avecE(X₁) =µetVar(X₁) =σ²∈(0,∞).

Soit

Sn=

n

X

j=1

Xj et Yn=Sn−nµ σ√

n . Alors, les v.a. Yn convergent en loi vers une v.a. N(0,1).

Corollaire

Soit(Xn)_n≥1des v.a.r. i.i.d. avecE(X1) =µetVar(X1) =σ²∈(0,∞).

Alors pour touta>0on a P

h

µ∈[ ¯X_n− aσ

√n,X¯_n+ aσ

√n]i

→ Z a

−a

e^−x2/2 dx

√2π , avecX¯_n=S_n/n.