Test sur les nombres complexes Les questions

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 1

Test sur les nombres complexes Les questions

1. Placer au hasard un pointM d’affixeztel que |z|= 3. Construire alors le point d’affixez². 2. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que|z|=|z−1|. 3. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que|z|=

1 z

.

4. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que arg_z−^z+1_2i = 0[π].

5. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que _z−2i^z+1 ∈iR.

6. SoitM un point d’affixez et M^′ le point d’affixe z^′ = (1 +i)z+ (3−4i). Comment placer le pointM^′ à partir deM?

7. Quel est l’argument principal dez=−2(1 + e^iπ7) ?

8. Calculer (2 +i)³. En déduire les racines cubiques de 2 + 11i.

9. Résoudre e^z= 1 +i.

10. Représenter les racines 4-ièmes du nombre−1.

11. Est-ce que les nombres i et j sont des racines 120-ième de l’unité ? Même question avec 121,123 puis 124.

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Corrigé

1. Placer au hasard un pointM d’affixeztel que |z|= 3. Construire alors le point d’affixez². On a

z²

= 9 et arg(z²) = 2 arg(z), ce qui permet de placer le point d’affixez². 2. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que|z|=|z−1|.

SoitM d’affixezetAd’affixe 1. La condition demandée équivaut àOM =AM, ce qui donne la médiatrice de [OA].

3. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que|z|=

1 z

.

La condition demandée équivaut à |z|=_|z|¹ ⇐⇒ |z|²= 1 ⇐⇒ |z|= 1. C’est donc le cercle unité.

4. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que arg_z−2i^z+1 = 0[π].

SoitM d’affixez,Ad’affixe−1 etBd’affixe 2i. La condition demandée équivaut à_z−2i^z+1 ∈R^∗, ce qui équivaut à−−→

AMet−−→

BMsont colinéaires avecM distinct deAetB. C’est donc la droite (AB) privée deAet B.

5. Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexesz tels que _z−2i^z+1 ∈iR. La condition demandée équivaut à −−→

AM⊥−−→

BM avecM distinct deB. On obtient le cercle de dimaètre [AB] privé du pointB.

6. SoitM un point d’affixez et M^′ le point d’affixe z^′ = (1 +i)z+ (3−4i). Comment placer le pointM^′ à partir deM?

Le point fixe de l’application affine f :z 7→(1 +i)z+ (3−4i) estw= 4 + 3i(un calcul...).

On note Ω le point d’affixew. D’après le cours, On a donc z^′−w=√

2e^iπ4(z−w).

Autrement dit,f code la composée de la rotation de centre Ω, d’angle ^π₄ par l’homothétie de centre Ω et de rapport√

2.

7. Quel est l’argument principal dez=−2(1 + e^iπ7) ?

on az=−2(1 + e^iπ7 ) =−2e^iπ14(e^−14iπ + e^iπ14) =−4 cos₁₄^πe^iπ14. Comme cos₁₄^π >0, on en déduit que arg(z) =π+₁₄^π. L’argument principal vaut donc−π+₁₄^π ∈]−π, π].

8. Calculer (2 +i)³. En déduire les racines cubiques de 2 + 11i.

On a (2 +i)³= 2 + 11i, donc

z³= 2 + 11i ⇐⇒ z³= (2 +i)³ ⇐⇒

z

2 +i ³

= 1 ⇐⇒ z

2 +i ∈U₃={1, j, j²}. Les solutions sont donc 2 +i, (2 +i)j et (2 +i)j².

9. Résoudre e^z= 1 +i.

On prend z = x+iy avec xet y réel. L’équation est équivalente à e^xe^iy = √

2e^iπ4, ce qui donne en identifiant module et argument e^x=√

2 ety= ^π₄+ 2kπ. Comme ln(√

2) = ^{ln 2}₂ , les solutions sont les nombres

z=ln(2) 2 +iπ

4 + 2kπ

, k∈Z.

10. Déterminer puis représenter graphiquement les racines 4-ièmes du nombre−1.

(e^iπ4 )⁴= e^iπ= 1 donc les racines 4-ièmes de−1 sont :

e^iπ4e^i2kπ4 = e^i(2k+1)π4 k∈J0,3K.

Cela correspond aux quatre points d’affixe 1 +i,−1 +i,−1−i,1−i.

11. Est-ce que les nombres i et j sont des racines 120-ième de l’unité ? Même question avec 121,123 puis 124.

Comme 120≡0 mod 4, on ai¹²⁰= 1. Donci est une racine 120-ième de l’unité.

Comme 120≡0 mod 3, on aj¹²⁰= 1. Doncj est une racine 120-ième de l’unité.

On a ensuitei¹²¹=i6= 1, i¹²³=i¹²⁰×i³=−i6= 1, eti¹²⁴= 1.

De même, j¹²¹=j6= 1, j¹²³= 1 etj¹²⁴=j6= 1.