zz’ = z  z’ et arg(zz ′) = arg(z ) + arg(z ′) mod 2

LES NOMBRES COMPLEXES.

FORMES TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE.

SUITE I. Opérations sur les modules et les arguments.

Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ : z  z’  z + z’

zz’ = z  z’ et arg(zz ′) = arg(z ) + arg(z ′) mod 2

Pour tout entier naturel non nul n : z

ⁿ

=  z

ⁿ

et arg( z

ⁿ

) = n  arg(z)mod 2

 

  1 z

1

| | ^{z arg }

 ¹  

z arg( z) mod 2

 

  z z

| | ^z

| | ^{z et arg }

 ^z  

z = arg(z)  arg(z ) mod 2 Démonstration dans le cas de zz’ :

Démonstration à savoir r efair e.

z r(cos isin ) et z r cos isin ) avec r 0 et r 0.

zz rr ((cos isin )(cos i sin )

rr ((cos cos −sin sin ) i (sin cos cos sin ))

On utilise le cours de 1ère : cos( a b ) cos a cos b sin a sin b et sin( a b) sin a cos b sin b cos a Ainsi zz rr (cos( ) isin( )) avec r r 0.

rr (cos( ) isin( )) est donc la forme trigonométrique de zz et on a | zz | rr | | z | | z et arg( zz ) arg(z) arg( z )

Application : Déterminer la forme algébrique puis la forme trigonométrique de Z = (  + i)(1  i) puis en déduire les valeurs exactes de cos

 

  7

12 et sin

 

  7

12 .

La form e al gébri que de Z est Z 3 i 3 i 1 ( ^{1 3} ) ⁱ ( ^{1 3} )

Posons z 3 i et z' 1 i.

On a (voir méthode avant) z 2

 

  cos  

  5

6 i sin

 

  5

6 et z 2

 

  cos  

  4 i sin

 

  4

| | Z zz | | z | | ^{z 2 2 et arg (Z ) ar g( zz ) arg (z) ar g (z ) 5}

6 4

7 12 . La forme trigonométrique de Z est donc Z 2 2

 

  cos  

  7

12 isin

 

  7

12 cos  

  7

12 a

| | z

1 3

2 2 = 2 6

4 et sin  

  7 12

b

| | z

1 3

2 2

2 6

4 II. Interprétation géométrique.

A et B sont deux points d abscisses respectives z

A

et z

B

. Alors AB | ^z

^B

^z

^A

| ^et ( ^{u AB} ) ^arg ( ^z

^B

^z

^A

)

A retenir : pour calculer une longueur, on calcule un module

pour calculer un angle, on calcule un argument

Applications :

Dan le plan complexe, A est le point d affixe 1 i ; B est le point d affixe 1 + i et C est le point d affixe 1 3 .

1. Montrer que ( AB AC ) arg

 

  z

C

z

A

z

B

z

A

et que AB AC  

  z

B

z

A

z

C

z

A

Attention : erreur d énoncé dans la feuille distribuée en classe.

2. Calculer z

_C

z

_A

z

B

z

A

et en déduire la nature du triangle ABC.

3. Déterminer l ensemble ( E) des points M d affixe z tels que | ^{z 1 i} | ^5.

4. Déterminer l ensemble ( F) des points M d affixe z tels que | ^{z 1 i} | | ^{z 1 3} |

1. ( AB AC ) ( AB u ) ( u AC ) ( u AB ) ( u AC )

arg ( ^z

^B

^z

^A

) ^arg ( ^z

^C

^z

^A

) ^arg ( ^z

^C

^z

^A

) ^arg ( ^z

^B

^z

^A

) ^arg

 

  z

C

z

A

z

B

z

A

et AB AC

| ^z

^B

^z

^A

|

| ^z

C

z

_A

|  

  z

B

z

A

z

C

z

A

. 2. z

C

z

A

z

B

z

A

1 3 1 i

1 i 1 i

3 i 2 i

( ^{3 i i} )

2i ²

3 i 1 2

1 2

i 3 2 Ecrivons ce complexe sous forme trigonométrique :

z

C

z

A

z

B

z

A

1  

  cos  

  3 i sin

 

 

3 donc

 



 

 z

C

z

A

z

B

z

A

1 et arg

 



 

 z

C

z

A

z

B

z

A

3 . On a donc :

( AB AC ) arg

 



 

 z

C

z

A

z

B

z

A

3 et AB AC   

 

 z

C

z

A

z

B

z

A

1, c est-à-dire AB AC . Le triangle ABC est donc équilatéral.

3. M( z) ϵ ( E ) | z 1 i | 5 | ^z

^M

^z

^A

| ^{5 AM 5. (E} ) est le cercle de centre A et de rayon 5.

4. M( z) ϵ ( F ) | ^{z 1 i} | | ^{z 1 3} | | ^z

^M

^z

^A

| ^z

^M

^z

^C

^{AM C M. (} F) est la médiatrice du segment [ AC].

Souvent, les ensembles de points définis à l aide de module sont des cercles ou des médiatrices.

III. La notation exponentielle d’un nombre complexe non nul.

Soit f la fonction définie sur et à valeurs dans par f ( ) cos( ) isin( )

 Pour tout réels et ’, f( ) (cos( ) isin( ))(cos( ) i sin( ))

(cos cos −sin sin ) i(sin cos cos sin ) cos( ) isin( ) f ( ) f ( )

 f(0) = 1.

Comme la fonction exponentielle, f "transforme les sommes en produits" et vaut 1 en 0. On pose alors la notation :

Pour tout réel , on note e

^i

= cos  + i sin 

Attention : ce n est qu une notation pour écrire plus simplement cos +isin . On ne fait pas de lien en terminale entre la notation e

ⁱ

et la fonction exponentielle, sauf pour retenir les règles de calcul.

Exemples :

e

ⁱ⁰

= cos(0) isin(0) 1 0 i 1 e

^i

= 1 e

^i/2

= i e

^i2/3

1 2

i 3

2

On a vu que tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument  pouvait s’écrire z r (cos  + i sin . Ainsi :

Définition : Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument  peut s’écrire z = re

^i

. C’est la forme exponentielle de z.

On a alors avec cette notation :

Pour tous réels et et tout entier naturel non nul n : e

^i

= 1 et arg(e

^i



e

^i

 e

^i′

= e

^{i( ′)}

e

ⁱ

e

ⁱ

= e

^{i(′)}

e

ⁱ

e

ⁱ

e

^{i n}

= e

^{n i}

(formule de Moivre) cos ()= e

^i

 e

^i

 et sin()= e

^i

 e

^i

i

Exemple : On donne z

1

i

2

; z

2

ie

i

3

et z

3

3 3 3i . Ecrire z

1

, z

2

et z

3

sous forme exponentielle.

z

1

2e

^{(i )e}

i

2

2e

i3

2

; z

2

e ( )

^{i2 e}

i 3

e

i5

6

et z

3

6 e

i 6

.