Devoir surveillé de mathématiques n°1 - T S4 - Jeudi 1 otobre 2009 - 2 heures
Exerie1 ROC
Prérequis :ladénition et lespropriétés relatives auxonjuguéset lemo-
duled'un nombre omplexe zquelonque,notéjzj, vériejzj 2
=zzoùz est
le onjuguéde z.
Démontrer que :
pourtous nombres omplexes z
1 etz
2 ,jz
1 z
2 j=jz
1 jjz
2 j.
pourtout nombreomplexe znon nul,
1
z
= 1
jzj .
Exerie2 ROC
Onprend omme pré-requisles résultatssuivants:
Si z et z 0
sont deux nombres omplexes non nuls, alors : arg(zz 0
) =
arg (z)+arg (z 0
) à2k près,ave kentier relatif
Pourtoutveteur
!
w non nuld'axezona:arg(z)=
!
u ;
!
w
à2kprès,
ave k entier relatif
1. Soit zetz 0
desnombresomplexes non nuls, démontrer que
arg
z
z 0
=arg (z)-arg (z 0
) à2k près,ave kentier relatif.
2. Démontrer que siA, B,C sont troispoints duplan, deuxà deux distints,
d'axes respetives a; b; , on a :arg
-a
b-a
=
!
AB;
!
AC
à 2k près,
Exerie3
1. RésoudredansC les équationssuivantes:
a) z+2
z+2i
=i
b) 2z+iz=5-i
2. RésoudredansC C lesystème suivant : 8
<
:
2iz+z 0
=2i
3z-iz 0
=1
Exerie4 VRAI ou FAUX
Pour haque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une
démonstrationpourla réponseindiquée. Dansleasd'uneproposition fausse,
ladémonstrationonsisteraàfournirunontre-exemple.Une réponsesansdé-
monstration ne rapporte pasde point.
Onrappelle quesizest unnombreomplexe, zdésigneleonjugué dezet jzj
désignele module de z.
1. Siz=- 1
2 +
1
2
i,alors z 4
estun nombreréel.
2. Siz+z=0,alors z=0.
3. Siz+ 1
z
=0,alors z=iou z=-i.
0 0
Exerie5 Géométrieomplexe
Le planomplexe estrapportéà un repèreorthonormal diret O;
!
u;
!
v
.On
prendrapourunitégraphique 2m.Soitfl'appliation quiàtoutpointMdu
pland'axe znon nulle assoiele point M 0
d'axe z 0
telle que
z 0
= 4
z
où zdésignele nombre omplexeonjugué de z.
1. Déterminerl'ensemble despointsinvariants parf.
2. Déterminerl'ensembledespointsdontl'imageparl'appliationfestlepoint
J d'axe 1.
3. Soit un nombre omplexe non nul. Démontrer que le point Ad'axe
admet un antéédent uniqueparf, dont on préiseral'axe.
4. a) Donner une mesure de l'angle
!
OM;
!
OM 0
. Interpréter géométrique-
ment e résultat.
b) Exprimer jz 0
j en fontion de jzj. Sir désigne unréel stritement positif,
endéduire l'image parfdu erlede entre Oet de rayon r.
) Choisirun point Pdu planomplexe non situésur lesaxes de oordon-
néesettel queOP=3,etonstruire géométriquement sonimageP 0
par
f.
5. On onsidère le erle C
1
, de entre J et de rayon 1. Montrer que l'image
parfdetoutpointdeC
1
,distintdeO,appartientàladroiteDd'équation
x=2.
ale
