arg(z) = arg z z

(1)

EXERCICE 3

1) Question de cours

a) Soient z et z

^′

deux nombres complexes non nuls.

arg(z) = arg z z

^′

.z

^′

= arg z z

^′

+ arg(z

^′

) à 2kπ près, avec k entier relatif, et donc

arg z z

^′

= arg(z) − arg(z

^′

) à 2kπ près avec k entier relatif.

b) Soient A, B et C trois points du plan deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c.

arg c − a

b − a

= arg(c − a) − arg(b − a)

= arg z

−AC−→

− arg z

−AB→

= ( − → u ; − AC) − ( → − → u ; − AB) →

= ( − AB; → − AC) → à 2kπ près avec k entier relatif (d’après la relation de Chasles ).

2)

a) Soit z un nombre complexe non nul.

z

^′

= 1 z = z

z.z = 1

|z|

²

z.

Comme 1

|z|

²

est un réel strictement positif, on a arg 1

|z|

²

= 0 à 2kπ près avec k entier relatif et donc arg(z

^′

) = arg

1 |z|

²

+ arg(z) = arg(z) à 2kπ près avec k entier relatif.

Soit alors M un point du plan distinct de l’origine O.

( −− OM, → −−− → OM

^′

) = arg

z

^′

z

= arg(z

^′

) − arg(z) = 0 à 2kπ près avec k entier relatif.

On en déduit que

M

^′

appartient à la demi-droite [OM).

b) Soit M un point du plan distinct de l’origine O.

f(M) = M ⇔ z

^′

= z ⇔ z = 1

z ⇔ z.z = 1 ⇔ |z|

²

= 1 ⇔ |z| = 1 ⇔ OM = 1.

Donc

L’ensemble des points M de P \ {O} tels que f(M) = M est le cercle de centre O et de rayon 1.

c) Soit M un point du plan distinct de O, U et V.

z

^′

− 1 z

^′

− i =

1 z − 1 1 z − i

= 1 − z

z 1 − iz

z

= 1 − z

1 − iz = z − 1 iz − 1 = 1

i z − 1 z + i

= −i i.(−i)

z − 1 z − i = −i

z − 1 z − i

.

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(2)

Ainsi

pour tout complexe non nul z, z

^′

− 1 z

^′

− i = 1

i z − 1 z + i = −i

z − 1 z − i

.

Puisque z

^′

− 1

z

^′

− i 6= 0, on peut passer aux arguments et on obtient

arg

z

^′

− 1 z

^′

− i

= arg −i × z − 1

z − i !

= arg(−i)+arg z − 1

z − i

= − π 2 −arg

z − 1 z − i

à 2kπ près avec k entier relatif.

3)

a) Soit z un nombre complexe différent de 1 et de i. D’après le résultat de cours redémontré en 1)b),

M ∈ (UV) ⇔ ( −− → VM, −− →

UM) = 0 à kπ près avec k entier relatif

⇔ arg z − 1

z − i

= 0 à kπ près avec k entier relatif

⇔ z − 1

z − i est un réel non nul.

b) Soit z un nombre complexe différent de 0, 1 et i. D’après le résultat de la fin de la question 2)c),

M ∈ (UV ) \ {U, V} ⇔ z − 1

z − i ∈ R

^∗

⇔ arg z − 1

z − i

= 0 à kπ près avec k entier relatif

⇔ − π 2 − arg

z

^′

− 1 z

^′

− i

= 0 à kπ près avec k entier relatif

⇔ arg

z

^′

− 1 z

^′

− i

= − π

2 à kπ près avec k entier relatif

⇔ ( −− → VM

^′

, −−− →

UM

^′

) = − π

2 à kπ près avec k entier relatif

⇔ ( −−− → UM

^′

, −− →

VM

^′

) = π

2 à kπ près avec k entier relatif

⇔ M

^′

appartient au cercle de diamètre [UV] privé de U et V.

L’image par f de la droite (UV ) privée de U et V est le cercle de diamètre [UV ] privé de U et V.

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