TS 8 DS 2 : Continuit´e et Complexe 13 octobre 2015 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (15 minutes) (3 points) zet z0 sont des nombres complexes tels quez=x+iy et z0 =x0+iy0 o`u x,y,x0 ety0 sont des r´eels.
1. D´emontrer que pour tous nombres complexesz et ¯z :z×z0= ¯z×z0.
2. En d´eduire que pour tout entier naturelnnon nul et tout nombre complexez:zn= (¯z)n.
Exercice 2 : Exercices classiques (35 minutes) (6 points)
1. R´esoudre les ´equations enzdansC. On donnera les formes alg´ebriques.
(a) 2z−4 +i=iz−3 (b) 2z−z¯+ 5−i= 0 (c) 2z2−4z+ 3 = 0 (d) 2z−5−2i=i¯z−3 2. Soient trois pointsA,B,C d’affixe zA=i, zB = 5 + 2iet zC=−3 + 3i. D´eterminer les coordonn´ees deD tel
queABCD soit un parall´elogramme.
3. Soitz=x+iy, exprimer les parties r´eelles et imaginaires dez0= z+ 2
1−iz en fonction dexety.
4. D´eterminer les limites suivantes (a) lim
x→+∞cos
√1 x
. (b) lim
x→−∞
x(2 + sin(x)) x2+ 1 .
Exercice 3 : Probl`eme : ´Etude d’une fonction (35 minutes) (6 points) Partie A
Soitg une fonction d´efinie surRparg(x) =x3−3x−3.
1. D´eterminer les limites en−∞deg. Donner sans d´emonstration les limites deg en +∞.
2. Dresser le tableau de variations complet deg.
3. D´emontrer que l’´equationg(x) = 0 a une unique solutionαdansR. 4. D´eterminerα`a 10−1 pr`es.
5. En d´eduire le tableau de signes deg(x).
Partie B
Soitf la fonction d´efinie parf(x) =2x3+ 3 x2−1 . 1. Donner l’ensemble de d´efinitionDf def.
2. D´eterminer les limites def en−1 et−∞. Donner sans d´emonstration les limites en 1 et +∞.
3. En d´eduire une interpr´etation graphique
4. D´emontrer que pour toutx∈Df :f0(x) = 2xg(x) (x2−1)2. 5. Dresser le tableau de variations def.
6. Montrer quef(α) = 3(2α+ 3) α2−1
Exercice 4 : Probl`eme : ´Etude d’une transformation (30 minutes) (5 points) Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O;~u;~v), on associe `a tout pointM d’affixez non nulle, le pointM0 milieu du segment [M M1] o`uM1est le point d’affixe 1z.
Le pointM0 est appel´e image deM. 1. SoitAd’affixezA=√
3 +i
(a) Placer A(on laissera les traits de construction).
(b) D´eterminer la forme alg´ebrique de l’affixe du pointA1d’affixe z1
A. PlacerA1. (c) En d´eduire l’affixe du pointA0 le milieu de [AA1]. Placer ce point.
2. (a) Justifier que pour tout nombre complexeznon nul, le point M0 a pour affixe :z0= 12 z+1z .
(b) B et C sont les points d’affixes respectives 2i et −2i. Calculer les affixes des points B0 et C0, images respectives deB et C.
(c) PlacerB,C,B0 et C0 sur la figure.
3. D´eterminer le(s) ant´ec´edent(s) deO.
4. D´eterminer l’ensemble des pointsM tels queM0=M.
5. Prise d’initiative : D´emontrer que siM appartient au cercle de centreO et de rayon 1, alors son image M0 appartient au segment [KL] o`uK etL sont les points d’affixes respectives de−1 et 1.
