(6) Le disque de centrez0∈Cet de rayonR >0 est not´e parD(z0, R) ={z∈ C:|z−z0|&lt

ANALYSE COMPLEXE : COURS L3 EN 2007

RAYMOND MORTINI

15 f´evrier 2007

1. Limites et holomorphie 1.1. A Notions basiques.

(1) i²=−1

(2) C={z=x+iy: (x, y)∈R²},x= Rez, y= Imz, (3) |z|=p

x²+y² module dez∈C, (4) Repr´esentation polaire :

z=re^iθ=r(cosθ+isinθ) o`ur=|z|etθest l’argument dez,θ∈[−π, π[

ouθ∈[0,2π[,...

(5) in´egalit´es triangulaires : |a| − |b|

≤ |a+b| ≤ |a|+|b|.

(6) Le disque de centrez0∈Cet de rayonR >0 est not´e parD(z0, R) ={z∈ C:|z−z0|< R}.

(7) Soita, b∈C. Le segment [a, b], parcouru deaversb, est l’enveloppe convexe des pointsaetb, i.e. [a, b] ={(1−t)a+tb: 0≤t≤1}.

(8) Uneligne polygonaleest une r´eunion finie de segments [a_n, b_n],n= 1,· · · , N, tels queb_n=a_n+1,n= 1,· · ·, N o`ua_n, b_n∈C.

(9) Un chemindansCest application continueγ=u+iv: [0,1]7→Cqui est diff´erentiable par morceaux : i.e. ∃0 =t0< t1< t2<· · ·< tN = 1 tel que

∀s∈]tj, tj+1[ et∀j∈ {0,· · ·, N−1}

γ⁰(s) = lim

t→s

γ(t)−γ(s) t−s existent et que les d´eriv´ees `a droite

γ₊⁰ (t_j) = lim

t→t⁺_j

γ(t)−γ(t_j) t−tj

respectivement les d´eriv´ees `a gauche γ⁰₋(tj+1) = lim

t→t⁻_j+1

γ(t)−γ(tj+1) t−t_j+1 existent.

(10) L’image Γ =γ([0,1]) est dite unecourbe.

(11) Le point de d´epart (point initial) de la courbe est A := γ(0) ; le point d’arriv´ee (point terminal) estB:=γ(1).

1

(12) Interpr´etation dynamique : Si t parcourt l’intervalle [0,1], alors γ(t) par- court la courbe deAversB.

On dit aussi queγ(t) est un param´etrage ou une param´etrisation de la courbe.

(13) Les lignes polygonales sont des exemples.

(14) Autre exemple : le cercle{e^it: 0≤t≤2π} parcouru une fois dans le sens positif (i.e. le disque d´etermin´e par ce cercle ce trouve `a gauche du cercle).

(15) Un ensemble V ⊆ C est dit un voisinage de z0 s’il existe R > 0 tel que D(z0, R)⊆V.

(16) Un ensembleU ⊆Cest dit unouvertsi∀z∈U ∃ >0 :D(z, )⊆U. (17) On dit que l’ensemble ouvertU estconnexe par arcssi pour toutx, y∈U il

existe un cheminγ: [0,1]→U enti`erement inclus dansU tel queγ(0) =x etγ(1) =y. On peut prendre pourγune ligne polygonale.

Th´eor`eme 1.1. SoitU ⊆C un ouvert . Alors U est connexe par arcs ⇐⇒ U ne s’´ecrit pas comme r´eunion disjointe de deux ouverts non vides.

(1) Les ouverts connexes par arcs sont donc exactement les ouverts connexes.

(2) On dit queU est undomainesiU et un ouvert connexe.

Exemples

(1) Si 0≤r < R≤ ∞, alors les disquesD(z₀, R) et les couronnes A(z₀, r, R) ={z∈C:r <|z−z₀|< R}

sont des domaines.

(2) Les demi-plans{z∈C: Rez > a}et{z∈C: Imz > b} sont des domaines (a, b∈R).

(3) L’ensemble ouvert D(0,1)∪D(2,1) n’est pas un domaine.

1.2. B Limites.

(1) Une suite (zn)∈C^N de nombres complexes est une application de Nvers C.

(2) On dit que (z_n) converge vers z, notation : z_n → z, si ∀ > 0 ∃n0 tq

∀n≥n₀: |zn−z|< .

(3) z_n→ ∞si∀M >0∃n₀tq∀n≥n₀: |z_n| ≥M. Exemples

a)i+n→ ∞; b) (−n)ⁿ → ∞; c)i+ 3/n→i.

Attention `a la situation diff´erente lorsqu’on consid`ere les limites de suites r´eelles dansR

(1) U ⊆Couvert,f :U →C, z7→f(z),z0∈U.

(2) lim_z→z0f(z) = w si ∀ > 0 ∃δ > 0 tq : ∀z ∈ U,0 < |z−z0| < δ =⇒

|f(z)−w|< .

(3) f continue en z₀ si lim_z→z0f(z) = f(z₀), i.e ∀ > 0 ∃δ > 0 tq : ∀z ∈ U,|z−z₀|< δ=⇒ |f(z)−f(z₀)|< .

(4) on note aussi : f(z) =f(z0) +O(1), (z→z0).

symboles de Landau:

(5) Soient f, g : D(z₀, R) → C, g(z) 6= 0 ∀z 6= z₀. f = O(g), z → z₀, si limz→z₀ f(z)

g(z) = 0.

f =O(g), z→z0, si lim sup_z→z0 ^|f(z)|_|g(z)| <∞.

(6) Donc f =O(1), z→z₀ veut dire que lim_z→z0f(z) = 0.

(7) f =O(z−z₀) =⇒f =O(1) quandz→z₀ car|f(z)|=|(z−z₀)(_z−z^f(z)

0)| ≤

|z−z0| ·M →0 siz→z0. 1.3. C Holomorphie.

D´efinition. U ⊆Couvert,z0 ∈U. On dit que f :U →C estC-diff´erentiable en z0 si

L:= lim_z→z0 ^f(z)−f(z_z−z ⁰⁾

0 existe dansC. On noteLparf⁰(z0) ; c’est le d´eriv´ee def enz0.

On a que f est C-diff´erentiable en z0 ⇐⇒ ∃L ∈Ctqf(z) =f(z0) +L(z−z0) +

O(z−z0),

car cette derni`ere ´equation n’est rien d’autre que ^f(z)−f(z_z−z^{0)−L(z−z0)}

0 →0 siz→z₀.

D´efinition. SoitU ⊆Couvert etz0∈U.

(1) On dit que f est holomorphe dans U,f ∈ H(U), sif estC-diff´erentiable en chaque point deU.

(2) On dit que f estholomorphe enz0, sif est holomorphe dans un voisinage dez0.

Proposition 1.2. Soitf : U → C, z0 ∈ U. Alors f C-diff´erentiable en z0 =⇒f continue enz0.

D´emonstration. f(z) =f(z0) +f⁰(z0)(z−z0) +O(z−z0) =⇒ |f(z)−f(z0)| ≤ quand|z−z0|est petit =⇒lim_z→z0f(z) =f(z0).

Exemples

(1) La fonction identit´e,f(z) =zest holomorphe dansC, car ^f(z)−f(z_z−z ⁰⁾

0 = 1→

1 siz→z₀. Doncf⁰(z)≡1∀z∈C.

(2) Les fonctions constantesf(z)≡c sont holomorphes dansCetf⁰(z)≡0.

(3) f(z) =z n’est pasC-diff´erentiable enz0∈C. Car :

f(z)−f(z0) z−z0 = ^z−z_z−z⁰

0 = ^z−z_z−z⁰

0 =:^ω_ω =: ^Re_Re^−itit =e^−2it.

Notons queω →0 ⇐⇒z →z₀. Commee^−2it d´epend de l’argument de ω, et pas de|ω|, limω→0ω

ω n’existe pas.

Par exemple si on se rapproche de 0 sur la demi-droitez=r,r→0⁺, le r´esultat est 1 ; si on se rapproche de 0 sur la demi-droitez=re^iπ/4, r→0⁺, alors le r´esultat este^−iπ/2=−i6= 1.

Lemme 1.3. Soitf :U →Ccontinue enz0∈U. Supposons quef(z0)6= 0. Alors

∃ >0 etδ >0 tq∀z∈D(z0, δ) : |f(z)| ≥.

D´emonstration. Posons= ^|f(z₂^0)|. Par continuit´e,∃δtq

∀z∈D(z0, δ) : |f(z)−f(z0)|< . Donc

|f(z)|=| f(z)−f(z0)

+f(z0)| ≥ |f(z0)| − |f(z)−f(z0)| ≥

≥ |f(z0)| −|f(z0)|

2 = |f(z0)|

2 . R`egles

SoientU ⊆Couvert,f, g∈H(U), alors a)f +g∈H(U) et (f+g)⁰ =f⁰+g⁰, b)f·g∈H(U) et (f g)⁰ =f⁰g+f g⁰,

c) Si Z(g) = {z ∈ U : g(z) = 0} est l’ensemble des racines/z´eros de g, alors

f

g ∈H(U\Z(g)) et (^f_g)⁰ =^{f0g−f g}_g2 ⁰.

d)f :U →V holomorphe,g:W →Cholomorphe etV ⊆W, alorsg◦f :U →C holomorphe et (g◦f)⁰(z) =g⁰(f(z))·f⁰(z),z∈U.

D´emonstration. b)

(f g)(z)−(f g)(z₀) z−z0

= f(z)−f(z₀) z−z0

g(z) +g(z)−g(z₀) z−z0

f(z₀)

−→z→z₀ f⁰(z0)g(z0) +g⁰(z0)f(z0).

c) on regarde 1/g:g(z0)6= 0^Lemme=⇒ g(z)6= 0∀z∈D(z0, δ).

(1/g)(z)−(1/g)(z0) z−z0

= g(z0)−g(z) g(z)g(z0)(z−z0) =

− 1

g(z)g(z0)·g(z)−g(z0) z−z0

→ − 1

g²(z0)g⁰(z0).

Exemples

(1) f_n(z) =zⁿ∈H(C) etf_n⁰(z) =nzⁿ⁻¹ car : f₁⁰(z) = 1,

par r´ecurrence :n→n+ 1 :

f_n+1(z) =z·zⁿ=⇒f_n+1⁰ (z) = 1·zⁿ+z·(zⁿ)⁰=zⁿ+z·nzⁿ⁻¹= (n+1)zⁿ. (2) Soit p∈C[z] un polynˆome de degr´eN, i.e.p(z) =Pn

n=0anzⁿ, o`uan ∈C. Alorsp∈H(C) et p⁰(z) =PN

n=1nanzⁿ⁻¹. 1.4. D Propri´et´es de la d´eriv´ee.

Lemme 1.4. Ω⊆C domaine,f : Ω→C,z0∈Ω.

Alorsf est C-diff´erentiable enz0⇐⇒ ∃g: Ω→Ccontinue enz0 tq f(z) =f(z0) + (z−z0)g(z).

Dans ce casf⁰(z₀) =g(z₀).

Comparer avecf(z) =f(z0) +L(z−z0) +O(z−z0).

Sih: [0,1]→Cest diff´erentiable ent₀, on a bien sˆur une assertion analogue.

D´emonstration. ”⇐=:” f(z) =f(z0) + (z−z0)g(z) =⇒ f⁰(z₀)= lim

z→z0

f(z)−f(z₀) z−z0

= lim

z→z0

g(z)^gcontinue= g(z₀).

”=⇒” Supposons quef⁰(z0) existe. Posons g(z) =

(_f(z)−f(z

0)

z−z0 siz6=z₀. f⁰(z0) siz=z0.

=⇒g continue enz₀car : lim_z→z0g(z) =f⁰(z₀) =g(z₀).

En plus,f(z) =f(z₀) + (z−z₀)g(z).

Proposition 1.5. Soit Ω ⊆ C domaine, h = u+iv : [0,1] → Ω un chemin C¹([0,1]), f ∈ H(Ω). Alors g = f ◦h : [0,1] → C est un chemin C¹([0,1]) et g⁰(t) = (f◦h)⁰(t) =f⁰(h(t))·h⁰(t).

D´emonstration. Lemme =⇒f(z) =f(z0) + (z−z0)F(z),F continue enz0∈Ω et h(t) = h(t0) + (t−t0)H(t), H continue en t0 ∈ [0,1]. En rempla¸cant z → h(t), z0→h(t0), on obtient :

f(h(t)) =f(h(t0)) + (h(t)−h(t0))F(h(t)) =f(h(t0)) + (t−t0)H(t)F(h(t)) =⇒f◦h diff´erentiable en t0 cart7→H(t)F(h(t)) continue ent0. En plus

(f◦h)⁰(t0) = limt→t0H(t)F(h(t)) =H(t0)F(h(t0)) =h⁰(t0)f⁰(h(t0)).

Th´eor`eme 1.6. Ω⊆Cdomaine,f ∈H(Ω). Supposonsf⁰≡0. Alorsf ≡const.

D´emonstration. (i) Fixonsz₀∈Ω. Ω ouvert =⇒ ∃D=D(z₀, R)⊆Ω. Soitz∈D et S ={h(t) := (1−t)z₀+tz, 0 ≤ t≤1} le segment joignant z₀ et z; hest un cheminC¹([0,1]) avech(0) =z₀,h(1) =z.

Consid´erons la fonctionf◦h: [0,1]→C. Elle est bien d´efinie,f◦h∈C¹([0,1]), et (f◦h)⁰(t) =f⁰(h(t))h⁰(t) = 0∀t∈ [0,1].

(f◦h)(t) =u(t)+iv(t), (f◦h)⁰(t) =u⁰(t)+iv(t)≡0 dans l’intervalle [0,1] =⇒u⁰ ≡0 etv⁰≡0 =⇒u≡c(constante) etv≡c˜(constante),c,c˜∈R. Doncf◦h≡c+i˜csur [0,1]. Ainsif(z0) =f(h(0)) =f(h(1)) =f(z). Concl. :f(z) =f(z0)∀z∈D(z0, R).

(ii)A:={z∈Ω :f(z) =f(z0)} . Montrons queA= Ω !

(1) Aest un ferm´e dans Ω car :a_n∈A, a_n→z∈Ω =⇒f(z₀) =f(a_n)→f(z)

=⇒f(z) =f(z₀) =⇒z∈A.

(2) Aouvert dans Ω car : a∈A⊆Ω =⇒

(i) ∃ >0 :D(a, )⊆Ω etf ≡f(a) =f(z₀) dansD(a, ) =⇒D(a, )⊆A.

Donc : Ω =A∪(Ω\A) est une d´ecomposition en deux ensembles ouverts et ferm´es dans Ω. Ω connexe,A6=∅, =⇒Ω\A=∅=⇒A= Ω.

2. S´eries enti`eres Soit S = P∞

n=0an une s´erie dans C et Sn = Pn

j=0aj ses sommes partielles. On dit que S converge si limSn existe. S est dite absolument convergente, siP

n|an| converge.

Th´eor`eme 2.1 (Crit`ere de Cauchy). a_n ∈C;Pa_n converge ⇐⇒ ∀ >0∃n0 tq

∀m≥n≥n₀:|Pm

j=na_j|< .

Th´eor`eme 2.2. La convergence absolue entraine la convergence d’une s´erie.

D´emonstration. Utiliser|Pm

j=na_j| ≤Pm

j=n|aj|.

D´efinition. Une s´erie enti`ere (s´erie de Mac Laurin) est une s´erie de la forme :

∞

X

n=0

a_n(z−z₀)ⁿ, a_n ∈C, z₀, z∈C.

Th´eor`eme 2.3 (Th´eor`eme de Cauchy-Hadamard). SoitR∈[0,∞] d´efini par :

R= 1

lim sup_n→∞ pⁿ

|an| = 1

lim_n→∞supn pk

|a_k| : k≥no. Alors la s´erie ^∞Σ

n=0 a_n(z−z₀)ⁿ converge uniform´ement et absolument dans chaque partie compacte du disque D(z0, R)siR >0.

En plus, la s´erie diverge si |z−z0|> R. On dit queR est le rayon de convergence et queD(z0, R)est le disque de convergence.

D´emonstration. Posons z₀ = 0 Soit|z| > R =⇒ _|z|¹ < _R¹ ⇒ ∀N ∃n≥ N tq

1

|z| < pⁿ

|an|

⇒ 1<|zⁿa_n|=⇒zⁿa_n 6→0⇒la s´erie Σa_nzⁿ diverge.

Soit 0< r < R etr < ρ < R

⇒ ¹_ρ > _R¹ ⇒ ∃N ∈Ntq supn pk

|ak|, k≥No

< ¹_ρ donc∀z∈D(0, r) et ∀n≥ N :

|anzⁿ| ≤ |an|rⁿ=|an| r

ρ n

ρⁿ ≤ r

ρ n

⇒ Σ

n≥N|anzⁿ| ≤ Σ

n≥N

r ρ

ⁿ

=

r ρ

^N

1

1−^r_ρ =c (majoration uniforme) Exemples

– e^z=

∞ n=0Σ

zⁿ

n! converge ∀z∈C √n

n!→+∞

– P∞

n=0(−1)ⁿ_(2n+1)!¹ z²ⁿ⁺¹= sinz converge pour∀z∈C, P∞

n=0(−1)ⁿ_(2n)!¹ z²ⁿ= coszconverge pour ∀z∈C, – P∞

n=0zⁿ= _1−z¹ converge pour |z|<1.

– P∞

n=1(−1)^{n−1 1}_n zⁿ converge pour |z|<1.

Proposition 2.4. La s´erie f(z) =

∞

n=0Σ an(z−z0)ⁿ de rayon de convergence R, R >0, est une fonction holomorphe dans D(z₀, R). La s´erie obtenue en d´erivant

∞

n=0Σ an(z−z0)ⁿ terme par terme, c’est `a dire

∞

n=1Σ n an(z−z0)ⁿ⁻¹, est uniform´ement et absolument convergente dans D(z₀, r) ∀ 0 < r < R et coincide avec f⁰(z). De mˆeme on a ∀z∈D(z₀, R) :

f^(k)(z) =

∞

X

n=k

ann(n−1)· · ·(n−k+ 1)(z−z0)^n−k =

=

∞

X

n=k

an

n k

k!(z−z0)^n−k. En particulier : ^f(k)_k!^(z0)=a_k

D´emonstration. Posonsz₀= 0 pn

n|a_n|= √ⁿ n

|{z}

↓ 1

pn

|a_n| ⇒lim sup pⁿ

n|a_n|= 1

R ⇒1`ere assertion Montrons quef est holomorphe dansD(0, R)

S=f(z)−f(w)

z−w −

∞

X

n=1

n anwⁿ⁻¹=

∞

X

n=1

an

zⁿ−wⁿ

z−w −n wⁿ⁻¹

.

On a pourn≥2 d’apr`es la formule binomiale :

zⁿ−wⁿ

z−w −n wⁿ⁻¹

=

n−1

X

k=0

z^n−k−1w^k−n wⁿ⁻¹

=

n−1

X

k=0

w^k z^n−k−1−w^n−k−1

n≥2=

n−2

X

k=0

w^k(z−w)

n−k−2

X

j=0

z^{n−k−2−j}w^j

=

(z−w)

n−2

X

m=0

X

(j,k):j+k=m

z^(n−2)−mw^m

=

(z−w)

n−2

X

m=0

(m+ 1)z^n−m−2w^m Soit|z|,|w|< ρ < R. Alors

S= ^f(z)−f(w)_z−w −P∞

n=1n anwⁿ⁻¹≤ |z−w|P∞

n=2 |an|ρ^{n−2n(n−1)}₂ =|z−w|H(ρ).

Siz→w, alorsf⁰(w) =

∞

n=1Σ n anwⁿ⁻¹.

Proposition 2.5 ( Th´eor`eme d’unicit´e). – (a) Si les s´eries f(z) =

∞

X

0

an(z−z0)ⁿ et

g(z) =

∞

X

0

b_n(z−z₀)ⁿ

coincident dans un voisinage dez0 alorsan=bn∀n.

– (b) Si les s´eriesf(z)etg(z)coincident pour une suite(wk)k∈Ctelle quewk →z0, alorsan=bn ∀n

D´emonstration. (a) Soit 0< r <min (R(f), R(g)).

On suppose quef(z) =g(z) ∀ |z−z₀|< r.

Ces s´eries sont holomorphes dansD(z0, r) ; donc on aak = ^f(k)_k!^(z0) = ^g(k)_k!^(z0) = bk ∀k

(b) Soitf(wk) =g(wk), wk→z0

f, gcontinue enz0=⇒a0=f(z0) = lim_k→+∞f(wk) = lim_k→+∞g(wk) =g(z0) = b0. Par r´ecurrence :a0=b0, a1=b1,· · · , ak =bk, k→k+ 1 :

∞

X

n=k+1

an(wj−z0)ⁿ =

∞

X

n=k+1

bn(wj−z0)ⁿ En divisant par (wj−z0)^k+1 on obtient :

ak+1+ak+2(wj−z0) +· · ·=P∞

n=k+1 an(wj−z0)^n−k−1=

=P∞

n=k+1 b_n(w_j−z₀)^n−k−1=b_k+1+b_k+2(w_j−z₀) +· · ·. Par continuit´e, siw_j→z₀, on obtient

ak+1=bk+1