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On rappelle en particulier les propriétés suivantes, qu’on poura utiliser sans démonstration ∀z >0, 10logz =z ∀z >0,∀z0 >0,log(z.z0

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ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 4 B

9 novembre 2020

I Autour de la loi de Benford

Soitx∈R. On notebxcsa partie entière, c’est à dire le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx, et{x}sa partie fractionnaire :{x}=x− bxc. On notelogzle logarithme en base10du réelz >0. On a donclogz = ln 10lnz. On rappelle en particulier les propriétés suivantes, qu’on poura utiliser sans démonstration

∀z >0, 10logz =z

∀z >0,∀z0 >0,log(z.z0) = logz+ logz0

∀a∈R, log (10a) =a On a par exemplelog(100) = 2,log(√

10) = 12.

1. a. Montrer que pour tout réelxpositif et non nul, on a

x= 10{logx}.10blogxc. Cette décomposition est ditenotation scientifiquedex.

b. Montrer que pour toutx >0, le couple(10{logx},blogxc)est l’unique couple(α, n)dans[1,10[×Z

¯ tel quex=α.10n.

c. Soitx >0. On poseγ =b10{logx}c. Montrer queγ ∈ {1,2, . . . ,9}.

2. Pour tout entier naturel ktel que1 6 k 6 9, on posepk = log(1 + 1k). Montrer que

9

X

k=1

pk = 1.(pk)16k69 définit donc une loi de probabilité sur{1,2, . . . ,9}dite loi de Benford.

3. SoitX une variable aléatoire réelle strictement positive. On suppose que la variable aléatoire réelleY = {logX}suit une loi uniforme sur[0,1[.

a. Soitk∈ {1,2, . . . ,9}. Montrer queb10Yc=k⇔k610Y < k+ 1

b. On considère la variable aléatoireΓ =b10{logX}cégale au premier chiffre significatif deX. Déterminer la loi de la variable aléatoireΓ.

4. SoitY une variable aléatoire réelle admettant une densitégcontinue surR. On suppose que (h1)gatteint son maximumM en un unique pointa0∈R.

(h2)gest croissante sur]− ∞, a0]et décroissante sur[a0,+∞[

a. i. Montrer que pour touty∈Ret toutn∈Z

¯,{y}={y−n}. ii. Déduire que pour toutn∈Z

¯, la loi de{Y}est identique à celle de{Y −n}.

iii. Déterminer une fonction de densité˜gcontinue de la variable aléatoireY − ba0c. iv. Montrer que˜gadmet un unique maximum en un point˜a0∈[0,1[.

v. Montrer que˜gvérifie les conditions(h1)et(h2)ci-dessus avec˜a0 remplaçanta0.

On supposera donc désormais quea0∈[0,1[. On fixex∈]0,1[et on noteIn,x = [n, n+x[pourn∈Z

¯. b. i. Soitϕune fonction positive continue et croissante sur[0,1]. Montrer, en utilisant un changement

de variable, que Z x

0

ϕ(t)dt6x.

Z 1 0

ϕ(u)du.

ii. Déduire que pour toutn∈Z

¯ tel quen6−1, on a 1 x

Z

In,x

g(t)dt6 Z n+1

n

g(t)dt.

Onadmettraqu’on montrerait de même que pourn>2, 1 x

Z

In,x

g(t)dt6 Z n+x

n−1+x

g(t)dt

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9 novembre 2020

iii. Montrer que 1 x

X

n>1

Z

I−n,x

g(t)dt6 Z 0

−∞

g(t)dtet que 1 x

X

n>2

Z

In,x

g(t)dt6 Z +∞

1+x

g(t)dt

iv. Montrer que Z

I0,x

g(u)du6xM et que Z

I1,x

g(u)du6xM v. Conclure que 1

x X

n∈Z

¯ Z

In,x

g(u)du= 1 x

X

n>1

Z

I−n,x

g(u)du+ 1 x

X

n>0

Z

In,x

g(u)du61 + 2M. On montrerait de même que 1

x X

n∈Z

¯ Z

In,x

g(u)du>1−2M, inégalité qu’onadmettra.

vi. Montrer que l’événement({Y}< x)est égal à [

n∈Z

¯

(Y ∈In,x).

vii. Déduire que|P({Y}< x)−x|62M.

5. Soit(Zn)ngeq1 une suite de variables aléatoires telle queZnsuit une loi exponentielle de paramètre n1. On poseXn= 10

Zn etYn= logXn=√ Zn.

a. Déterminer une densitégnde la loiYn, continue surR.

b. Étudier les variations degnsurR+et déterminer son maximum.

c. Montrer que pour toutx∈]0,1[,|P({Yn}< x)−x|62 r2

ne12.

d. Montrer que la suite({Yn})n>1converge en loi vers la loi uniforme sur[0,1[.

II Répartition des valeurs dans une table numérique

Henri Poincaré (1854-1912) a proposé au début du 20ème siècle une façon originale d’étudier la répartition des valeurs d’une table numérique en montrant que pour un bon choix d’une fonctionFde période assez grande par rapport à l’incrémentation des valeurs de la table, la moyenne des valeurs prises parF sur la table sera petite, ce qui indique une certaine forme d’équilibre dans la répartition de ces valeurs.

Poincaré considère l’exemple des valeurs d’une table de logarithmes zn= ln

1 + n

100.000

pourn = 1,2,3, . . . ,10.000et poseF(y) = sin(1000.π.y), fonction de période 5001 , grande par rapport à l’incré- mentation100.0001 dans la table. Il s’intéresse à la moyenne des valeurs deF sur la table, c’est à dire à

S= 1 10.000

10.000

X

k=1

F(zk),

et désire montrer que cette valeur est petite.

Posons

J = 1 10.000

Z 10.000+1/2 1/2

F

ln(1 + x 100.000)

dx.

6. a. Soitϕune fonction de classeC2sur[12,+∞[. On suppose qu’il existe un réelM >0tel que, pour tout u∈[12,+∞[,|ϕ00(u)|6M.

Montrer que pourn∈Net|h|6 12, on a

−M

8 6ϕ(n+h)−ϕ(n)−hϕ0(n)6 M 8 .

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b. Déduire que pour toutn∈N,

−M 8 6

Z n+1/2

n−1/2

ϕ(u)du−ϕ(n)6 M 8 .

c. A partir de cette question, dans la partie II, on utilise des fonctions trigonométriques qui ne sont pas connues des candidats. Donc, les questions sont sans intérêt pour les candidats de la voie E

III Sur les nombres normaux

Dans cette partie, on se donne un espace probabilisé(Ω,A, P)et on notera comme d’habitude, sous réserve d’existence,E(X)etV(X)l’espérance et la variance d’une variable aléatoire réelleX.

On commence par rappeler les deux points de théorie suivants.

(i) Pour toute suite d’événements(Ck)k∈NdansΩ, on aP(

[

k=0

Ck)6

X

k=0

P(Ck)avec la convention que cette série vaut+∞si elle diverge.

(ii) Si(Ck)k∈Nest une suite décroissante d’événements dansΩ, au sens où∀k>0,Ck ⊃Ck+1, on aP(\

k>0

Ck) =

k→+∞lim P(Ck)

On rappelle aussi l’inégalité de Markov : siZ est une variable aléatoire positive admettant une espéranceE(Z), pour toutα >0, on aP(Z > α)6 E(Z)

α .

On considère ici le tirage au sort d’un nombre réel entre0et1qu’on modélise de la façon suivante :(Xn)n>1est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi uniforme à valeurs dans{0,1,2, . . . ,9}. Les(Xn)n>1 représentent les décimales du nombre tiré au hasard c’est à dire que ce nombre est

+∞

X

k=1

Xk 10k.

On définit enfin pour toutk > 1une variable aléatoire Yk à valeurs0ou1 par Yk = 1siXk = 1et Yk = 0si Xk6= 1.

9. a. Montrer que les variablesYksont indépendantes et de même loi que l’on précisera.

b. DéterminerE(Yk)etV(Yk).

On poseSn=

n

X

k=1

Yk. par conséquent, Sn

n représente la fréquence des1dans la suite des décimales du nombre tiré.

c. CalculerV(Snn)en fonction den.

d. Soitε >0fixé. MontrerP(|Snn101|> ε)6 V(Sεn2/n). e. En déduire que

n→+∞lim P

Sn

n − 1 10

> ε

= 0

On va dans la suite améliorer ce résultat en montrant qu’en fait pour la plupart des nombres réels, la fréquence des1dans leurs décimales vaut1/10.

10. a. On poseA = \

N>1

[

k=N

Ak. Montrer queAest l’ensemble desωqui appartiennent à une infinité d’évé- nementsAk.

b. On pose, pour toutN >1,BN =S

k=NAk. Montrer que∀N >0,BN ⊃BN+1. c. Déduire quelimN→+∞P(BN) =P(A).

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d. On suppose que

X

k=1

P(Ak)<∞.

i. Que vaut lim

N→+∞

+∞

X

k=N

P(Ak)? ii. Conclure queP(A) = 0.

11. On pose, pour toutk>1,Yk0=Yk101. a. Montrer que Snn101 = n1

n

X

k=1

Yk0.

b. Montrer que les variablesYk0 sont indépendantes, d’espérance nulle et telles que|Yk0|61.

c. Montrer queE[(

n

X

k=1

Yk0)4]6n+ 3n(n−1).

d. Déduire que

E

(Sn n − 1

10)4

6 3 n2.

e. On pose, pourk>1,Ak =

(Sk k − 1

10

4

> 1

√k

. Montrer queP(Ak)6 k3/23 . f. Déduire queX

k>1

P(Ak)est une série convergente.

g. On considère l’événement A = {ω ∈ Ω, (Skk(ω)101)4 > 1

k pour une infinité dek}. Montrer que P(A) = 0.

h. Déduire qu’avec probabilité1, on peut trouverN tel que pour toutk>N,|Skk101|6 81

k. i. Conclure qu’avec probabilité1, on a , lim

k→+∞

Sk k = 1

10.

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