Nombres complexes : TD n

Nombres complexes : TD n

1

I

Soient les deux nombres complexesz1=1−4i et z₂=1+i.

Donner la forme algébrique de z₁z₂, z2

z₁, z₂−z₁ et 1

z1− 1 z2

.

II

1. Soitaetbdeux réels quelconques.

Montrer que (a+ib)²=a²−b²+2iab.

2. Calculer (1+i)², (1+i)³et (1+i)⁴.

3. En déduire la valeur de (1+i)ⁿpournentier na- turel.

4. On posej= −1 2+i

p3 2 . (a) Calculerj²puis j³.

(b) En déduirejⁿselon les valeurs den.

5. Trouver (astucieusement) la forme algébrique de 1

j.

6. Donner(avec un minimum de calculs) la valeur de 1+j+j²

III

Résoudre les équations suivantes et écrire les so- lutions sous forme algébrique :

a) iz−1=7i b) z=3+iz c) 5i−z=3iz+1 d) 2i+3z=(1+i)z+1

Nombres complexes : TD n

1

I

Soient les deux nombres complexesz1=1−4i et z₂=1+i.

Donner la forme algébrique de z₁z₂, z2

z₁, z₂−z₁ et 1

z1− 1 z2

.

II

1. Soitaetbdeux réels quelconques.

Montrer que (a+ib)²=a²−b²+2iab.

2. Calculer (1+i)², (1+i)³et (1+i)⁴.

3. En déduire la valeur de (1+i)ⁿpournentier na- turel.

4. On posej= −1 2+i

p3 2 . (a) Calculerj²puis j³.

(b) En déduirejⁿselon les valeurs den.

5. Trouver (astucieusement) la forme algébrique de 1

j.

6. Donner(avec un minimum de calculs) la valeur de 1+j+j²

III

Résoudre les équations suivantes et écrire les so- lutions sous forme algébrique :

a) iz−1=7i b) z=3+iz c) 5i−z=3iz+1 d) 2i+3z=(1+i)z+1