Nombres complexes

(1)

Nombres complexes

1. Exemples de questions de cours

1. Qu’est ce qu’un groupe ? En donner des exemples.

2. Définition du conjugué. Représentation graphique. Propriétés usuelles.

3. Démontrer que le quotient de conjugués est égal au conjugué du quotient.

4. Module et argument : définitions et interprétations géométriques.

5. D´emontrer que le module d’un produit est ´egal au produit des modules.

6. Démontrer l’inégalité triangulaire.

7. Démontrer que l’argument d’un produit est égal, modulo2πà la somme des arguments.

8. EnsembleU: d´efinition, structure de groupe.

9. Exponentielle d’un imaginaire pur : propri´et´es.

10. Formule de Moivre, application.

11. Formules d’Euler, application.

12. Racinesn-ième de l’unité : définition et valeur de ces racines.

13. Racines carrées, cubiques et quatrièmes de l’unité.

14. Comment obtenir la forme algébrique d’une racine carrée complexe ? 15. Racinesn-ième d’un complexe non nul donné par sa forme trigonométrique.

16. Résolution de l’équation du second degré.

17. Exponentielle complexe : d´efinition.

18. D´emontrer quee^z= e^z.

19. Propri´et´es de l’exponentielle complexe.

20. Interprétations géométriques de ^z−a_z−b. 21. Barycentre : définition.

22. ´Ecriture complexe d’une translation.

23. ´Ecriture complexe d’une homoth´etie.

24. Propri´et´es d’une similitude directe.

25. Inversion : d´efinition et ´ecriture complexe.

2. Exemples d’exercices et indications

Exercice 1 *

1. R´esoudre(1 + i)z+ 1−i = (2−2i)z+ 3 + 3i.

Isoler z et obtenirz= 1−i.

2. R´esoudre _z+1^z−i = 2i et ^z−2_z+i = ^z−2i_z+1.

Isoler z et obtenirz= ⁻⁶⁺³ⁱ₅ . Pour la seconde, effectuer par exemple un produit en croix pour se ramener

`

a−z−2 =−iz+ 2 puisz=−2−2i.

Exercice 2 *

1. R´esoudre le syst`eme

ß 2ia−b= 1 + 4i a−ib= 1−i .

Multiplier la premi`ere ligne par iet effectuer une diff´erence pour obtenir : a= 5−2i

3 b= 1−2i 3

(2)

(1 + i)a−(1−i)b=−1−i

Multiplier la premi`ere ligne par 1 + i, la seconde par 1−i, simplifier par2 puis ajouter et soustraire les deux lignes obtenues :

a= 1 + i b= 1−2i

Exercice 3 *

R´esoudre le syst`eme suivant dansC³:







2a−b+ ic=−3−3i a+b−c= 2−4i ia−ib+ 2c= 2 + 8i

Eliminer´ adans la seconde et troisi`eme ligne par combinaison puis b dans la derni`ere ligne et obtenir : a= 1−i b= 1 + i c= 4i

Exercice 4 *

R´esoudre le syst`eme suivant dansC³:







x=yz y+xz= 0 z=xy

Obtenir :







x=yz y(1 +z²) = 0 z(1−y²) = 0

puis distinguer deux cas : – si y= 0alors x=z= 0.

– si y6= 0alors z=±i ety=±1 etx=yz.

Conclure que S={(0,0,0),(i,1,i),(−i,1,−i),(−i,−1,i),(i,−1,−i)}.

Exercice 5 *

R´esoudrez+ 2iz= i.

Ecrire la forme alg´´ ebrique de zet obtenir z= ²⁻ⁱ₃ .

Exercice 6 *

D´eterminer le point d’affixeztelle que :

z= 2iz−1 Ecrire la forme alg´´ ebrique de zet obtenir z= ¹⁺²ⁱ₃ .

Exercice 7 *

1. R´esoudre l’´equation2z+ iz= 3.

Noter x+ iy la forme algébrique dez et obtenir2x+y+ i(x+ 2y) = 3puis résoudre le système : ß 2x+y= 3

x+ 2y= 0 ⇔

ß x= 2 y=−1 Conclure que z= 2−i.

2. R´esoudre l’´equationz+zz= 1.

R´esoudre le syst`eme :

ß x+x²+y²= 1

y= 0 ⇔

ß x²+x−1 = 0

y= 0 ⇔

®

x=^−1±

√ 5 2

y= 0 Conclure que z=−¹⁺

√5

2 ou ⁻¹⁺

√5

2 .

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis

(3)

Exercice 8 *

La transformation du plan dont l’´ecriture complexe est z⁰ =z+ 6i admet-elle des points invariants ? Les repr´esenter.

Résoudre l’équationz⁰=z en écrivant la forme algébrique dez et obtenir la droite d’équationy= 3.

Exercice 9 **

Pour toutz∈C^∗, on pose :

Z= 3−2i z

1. On note x+ iy la forme algébrique dez. Déterminer les parties réelle et imaginaire deZ en fonction de xety.

Ecrire´ Z= (3−2i)(x+iy)

x²+y² = ^3x+2y_x2+y² + i^3y−2x_x2+y².

2. Déterminer et représenter dans le plan complexe les ensembles D1 et D2 des points d’affixe z ∈ C^∗ tels queZ soit un réel, respectivement un imaginaire pur.

ReZ = ^3x+2y_x2+y² = 0 ssi y =−³₂x, conclure que D1 est une droite, de mˆeme , obtenir que D2 est la droite d’´equationy=²₃x

Exercice 10 *

R´esoudre dansCl’´equation :

z+z=z⁴

Ecrire la forme alg´´ ebrique de z et en d´eduire que4xy(x−y)(x+y) = 0. En d´eduire que 0 est solution ou x=y6= 0(et alorsz=−√3¹

2(1 + i)) oux=−y6= 0 (et alorsz= √3¹

2(−1 + i)).

Exercice 11 *

1. D´emontrer que :

∀z∈C, |Rez|+|Imz|

√

2 6|z|

Mettre au carré et se ramener à06|Rez|²−2|Rez||Imz|+|Imz|² soit 06(|Rez| − |Imz|)². 2. Représenter l’ensemble des pointsM d’affixeztels que l’inégalité précédente soit une égalité.

Obtenir Imz=±Rez et tracer la premi`ere et seconde bissectrice.

Exercice 12 *

1. Démontrer l’égalité ci-dessous appelée identité du parallélogramme :

∀(z, z⁰)∈C², |z+z⁰|²+|z−z⁰|²= 2 |z|²+|z⁰|²

Se souvenir que |z|²=zzet dévélopper(z+z⁰)(z+z⁰) + (z−z⁰)(z−z⁰)puis comparer aveczz+z⁰z⁰. 2. Interpréter géométriquement cette propriété.

Tracer un parallélogramme dont les côtés sont des vecteurs d’affixez etz⁰ et lire l’affixe des diagonales.

Exercice 13 **

Dans cet exercice, a,betz de forme alg´ebriquex+iy d´esignent trois nombres complexes quelconques.

1. D´emontrer que2Rez61 +|z|². Se ramener `a06(1−x)²+y²

2. (a) En d´eduire que|a+b|²6 1 +|a|²

1 +|b|² .

Se ramener ab+ba61 +|a|²|b|² et utiliser la premi`ere question avec z=ab.

(b) Étudier le cas d’égalité.

Remarquer qu’il y a ´egalit´e dans la question 1. si et seulement siz= 1 doncab= 1.

(4)

1. Montrer que, pour tout(z, z⁰)∈C²:

|z z⁰+ 1|²+|z−z⁰|²= 1 +|z|²

1 +|z⁰|² (E) En mettant (E)au carr´e :

(E)⇔(z z⁰+ 1)(z z⁰+ 1) + (z−z⁰)(z−z⁰) = 1 +|z|²+|z⁰|²+|z|²|z⁰|²

⇔ |z|²|z⁰|²+z z⁰+z z⁰+|z|²−z z⁰−z⁰z+|z⁰|²=|z|²+|z⁰|²+|z|²|z⁰|² qui est vrai.

2. Montrer que, pour tout(z, z⁰)∈C²:

|z z⁰−1|²− |z−z⁰|²= 1− |z|²

1− |z⁰|² (F) Proc´eder de la mˆeme fa¸con.

Exercice 15 **

Soient a,betc trois nombres complexes tels quec6=aetc6=b|a|=|b|=|c|= 1.

1. D´emontrer queArgÄ

c−b c−a

ä2 a b

= 0 (2π).

Calculer Ä

c−b c−a

ä2 a

b = _c^c2²−2ac+a^−2cb+b²² a

b = ^c^bc⁻²⁺^b^c

a−2+^a_c =_Re^Re^b^cc⁻¹

a−1 ∈R+ donc son argument est nul(2π).

2. (a) En d´eduire queArg^c−b_c−a =¹₂Arg^b_a (π).

Ecrire que´ 2 Arg_c−a^c−b + Arg^a_b = 0 (2π) puis conclure.

(b) Comment interpréter géométriquement cette dernière égalité ?

Il s’agit du théorème de l’angle inscrit : siA,B etC sont trois points situés sur un cercle de centre O et tels que C6=A etC6=B alors (# »

CA,# »

CB) = ¹₂(# » OA,# »

OB) (2π).

Exercice 16 *

D´eterminer le module et un argument dez= 1 + e^iθpour θ∈]−π, π].

D´emontrer que|z|=p

2(1 + cosθ) = 2 cos^θ₂ carcos^θ₂ >0 puis v´erifier que : 1 + cosθ

2 cos^θ₂ = cosθ

2 et sinθ

2 cos^θ₂ = sinθ 2 En d´eduire queArgz=^θ₂ (2π).

Exercice 17 *

1. Simplifier (1−i)⁵⁰⁰.

Ecrire la forme exponentielle de´ 1−i et obtenir−2²⁵⁰. 2. CalculerÄ

1+i√

√ 3 2+i√

2

ä2012

.

Ecrire les formes exponentielles de´ 1 + i√ 3 et√

2 + i√

2 et obtenire⁻^iπ³. 3. Calculer

e^iπ6+i e^iπ3+1

¹⁰⁰ . Calculer ^e

iπ 6+i

e^iπ3+1 = e^iπ⁶ et obtenire^100iπ⁶ = e^50iπ³ = j.

Exercice 18 *

Soitn∈N. `A quelle condition a-t-on Ä e^iπ⁶än

= j? R´esoudre ^nπ₆ =^2π₃ (2π)soit n= 4 (12).

(5)

Exercice 19 *

Soitn∈N. `A quelle condition Ä

1−i√ 3 1+i

än

est-il un r´eel ? Ecrire les formes exponentielles de´ 1−i√

3 et1 + i et en d´eduire que : Arg

Ç1−i√ 3 1 + i

ån

=−7nπ 12 (2π) Puis résoudre−^7nπ₁₂ = 0 (π) qui équivaut àn= 0 (12).

Exercice 20 *

1. Donner la forme alg´ebrique et trigonom´etrique dea= ^1+e

iπ4

1−e^iπ⁴

Obtenir a= ^e

iπ 82 cos^π₄ e

−iπ

8 2i sin(⁻^π4) = e^iπ⁴ =

√ 2 2 + i

√ 2 2

2. Soitn∈N. À quelle condition aⁿ est-il un réel ? Résoudre ^nπ₄ = 0 (2π)soitn= 0 (8).

Exercice 21 **

Soient (a, b)∈U² tel quea+b6= 0et a−b6= 0.

1. D´emontrer queu=^1+ab_a+b est un r´eel.

Ecrire´ a= eîα et b = eîβ puis u= ^1+e_eiαî(α+β)+eîβ puis factoriser le numérateur et le dénominateur par eⁱ^α+β² pour en déduire queu= ^cos

α+β 2

cos^α−β₂ .

2. D´emontrer que pour toutz∈C, v= z+abz−(a+b)

a−b est un imaginaire pur.

Ecrire´ zsous la forme exponentielleρeîθet factoriser le numérateur et le dénominateur pareⁱ^α+β² pour en déduire que :

v= ρcos^α+β−2θ₂ −cos^α−β₂ i sin^α−β₂ ∈iR

Exercice 22 **

Soit(z, z⁰)∈U² eta∈R. On note :

Z =z+z⁰+azz⁰+ 1 Z⁰=z+z⁰+zz⁰+a 1. D´emontrer queZ⁰ =zz⁰Z puis que |Z⁰|=|Z|.

Partir dezz⁰Z=zzz⁰+zz⁰z⁰+azz⁰zz⁰+zz⁰=z⁰+z+a+zz⁰ carzz(idem z⁰z⁰) est le carr´e du module dez puis |Z⁰|=|Z|car |zz⁰|= 1.

2. On suppose dorénavant que1 +zz⁰ 6= 0et on souhaite démontrer que le nombreu=_1+zz^z+z⁰0 est un réel de deux fa¸cons :

(a) En comparantZ et Z⁰ poura= 1.

Remarquer alors que _1+zz^Z 0 =u+ 1etZ =Z⁰=zz⁰Z doncZ+Z = (1 +zz⁰)Z et diviser par|1 +zz⁰|² pour en d´eduire que _1+zz^Z 0 ∈Ret conclure.

(b) En ´ecrivant quez∈R⇔u=u.

Effectuer un produit en croix et utiliser le fait que zz(idem z⁰z⁰) est ´egal `a1.

Exercice 23 **

D´emontrer que pour toutz∈U\R, il existet∈Rtel que : z= 1 + it

1−it

Ecrire´ z= eîθ puis penser à la formule de l’arc moitié donnanteîθet conclure que siθ6=π(2π)(c’est le cas carz6∈R) il suffit de choisir t= tan^θ₂.

(6)

Soit(n, θ)∈N×R.

1. D´evelopper 1 + e^iθ+ e^2iθ

1−e^iθ

. Comment généraliser cette propriété ? Obtenir 1−e^3iθ et généraliser à :

1 +· · ·+ e^niθ

1−e^iθ

= 1−e^(n+1)iθ 2. (a) CalculerC_n= 1 + cosθ+ cos 2θ+· · ·+ cosnθ.

Remarquer que Cn=Re 1 +· · ·+ e^niθ

et distinguer deux cas : – Si eîθ6= 1(c’est-à-direθ6= 0 (2π)) alorsC_n=Re^1−e_1−e^(n+1)iθ_iθ =ê

i(n+1)θ

2 2i sin^(n+1)θ₂ e^iθ22i sin^θ₂

soit :

Cn= cos^nθ₂ sin^(n+1)θ₂ sin^θ₂ – Si e^iθ= 1(c’est-`a-direθ= 0 (2π)) alorsCn=n+ 1.

(b) CalculerSn = 1 + sinθ+ sin 2θ+· · ·+ sinnθ.

Ecrire´ S_n=Im 1 +· · ·+ e^niθ

et distinguer deux cas : – Si e^iθ6= 1(c’est-`a-direθ6= 0 (2π)) alors :

Sn= sin^nθ₂ sin^(n+1)θ₂ sin^θ₂ – Si e^iθ= 1(c’est-`a-direθ= 0 (2π)) alorsS_n= 0.

Exercice 25 *

1. Lin´eariser cos⁴x.

Appliquer une formule d’Euler et obtenir ¹₈cos 4x+¹₂cos 2x+³₈. 2. Lin´eariser sin³x.

Obtenir −¹₄sin 3x+³₄sinx.

3. Lin´eariser cos²xsin²x.

Appliquer les formules d’Euler et obtenir −¹₈cos 4x+¹₈.

Exercice 26 *

1. Factoriser sin 3x.

Appliquer une formule de Moivre et obtenir 4 sinxcos²x−sinx.

2. Factoriser cos 2xet en d´eduire la valeur exacte decos₁₂^π.

Appliquer une formule de Moivre puis avecx= ₁₂^π obtenircos₁₂^π =

»1 2+

√3 4 .

Exercice 27 **

1. (a) Factorisercos 4x.

Appliquer une formule de Moivre et obtenir cos 4x= 8 cos⁴x−8 cos²x+ 1.

(b) Comment proc´eder sous Maple^®? Taper : expand(cos(4*x));

2. (a) En déduire quecos²^π₈ etsin²^π₈ sont solutions d’une même équation.

Dans cos 4xremplacerxpar ^π₈ pour en d´eduire8t²−8t+ 1 = 0(avect= cos²^π₈) puis en rempla¸cant cos²^π₈ par1−sin²^π₈ en d´eduire 8u²−8u+ 1 = 0(avecu= sin²^π₈).

(b) En d´eduire les valeurs exactes decos^π₈ etsin^π₈. R´esoudre8t²−8t+ 1 = 0:t= ^2±

√2 4 puis√

t=

√

2±√ 2

2 . Comparer `acos^π₆ =

√3

2 pour conclure que : cosπ

8 =

p2 +√ 2

2 et sinπ 8 =

p2−√ 2 2

(7)

Exercice 28 **

Soit(p, q)∈R².

1. Factoriser eîp+ eîq pour en déduire une expression factorisée decosp+ cosqpuissinp+ sinq.

Ecrire´ e^ip+ e^iq = eⁱ^(p+q)² Ä

eⁱ^(p−q)² + e⁻ⁱ^(p−q)² ä

= 2 cos^p−q₂ eⁱ^(p+q)² puis `a l’aide des parties r´eelles puis imaginaires, obtenircosp+ cosq= 2 cos^p−q₂ cos^p+q₂ etsinp+ sinq= 2 cos^p−q₂ sin^p+q₂ .

2. R´esoudre l’´equation :

sinx+ cos 3x= 0 (E) Transformer (par exemple) cos 3xen un sinus :

(E)⇔sinx+ sinπ 2 −3x

= 0⇔2 cos 2x−π

4

sinπ 4 −x

= 0

⇔2x−π 4 = π

2 (π)ou π

4 −x= 0 (π)⇔x=3π

8 (π)oux=π 4 (π) En d´eduire quex= ^π₄ ou ^3π₈ ou ^7π₈ ou ^5π₄ ou ^11π₈ ou ^15π₈ (2π).

Exercice 29 **

1. Soitθ∈R, d´emontrer que :

1−eîθ=−2i sinθ 2eîθ² Factoriser 1−eîθ par eîθ² et reconnaˆıtre une formule d’Euler.

2. (a) D´emontrer que : Ä

1−e^2iπ¹¹ä Ä

e¹¹^iπ + e^3iπ¹¹ + e^5iπ¹¹ + e^7iπ¹¹ + e^9iπ¹¹ä

= e¹¹^iπ Ä

1−e^10iπ¹¹ ä

Développer l’expression à gauche et observer une somme télescopique puis factoriser par e¹¹îπ. (b) En déduire que :

eîπ¹¹ + e^3iπ¹¹ + e^5iπ¹¹ + e^7iπ¹¹ + e^9iπ¹¹ = e^5iπ¹¹ sin^5π₁₁ sin₁₁^π Utiliser la question 1. et écrire queeîπ¹¹^1−e

10iπ 11

1−e^2iπ11

= e^iπ¹¹^sin^5π¹¹^e

5iπ 11

sin₁₁^π e11^iπ

. (c) En d´eduire enfin que :

cos π

11+ cos3π

11 + cos5π

11+ cos7π

11 + cos9π 11 = 1

2

Egaler les parties r´´ eelles et remarquer que cos^5π₁₁sin^5π₁₁ = ₂¹sin^10π₁₁ = ¹₂sin₁₁^π (par sym´etrie) et conclure.

Exercice 30 *

Simplifier 1 + 2j + 3j²−j³−2j⁴−3j⁵. Se souvenir que j³= 1et obtenir0.

Exercice 31 *

1. Quelles sont les racines huitième de l’unité ? 1,eîπ⁴,eîπ²,e^3iπ⁴ ,−1,e^5iπ⁴ ,e^3iπ² ,e^7iπ⁴ .

2. Déterminer les racines sixièmes de l’unité (donner les mesures principales des arguments).

1,eîπ³,e^2iπ³ ,eîπ,e⁻^2iπ³ ,e⁻îπ³

(8)

z⁵= 32

Poser z0= 2etω= e^2iπ⁵ et conclure que les solutions sontz0,z0ω,z0ω²,z0ω³ et z0ω⁴.

Exercice 33 *

R´esoudre dansCl’´equation : z³=−8 etz³=−8i.

Poserz0=−2, les racines dez³=−8sont alorsz0,jz0etj²z0. Pour la seconde ´equation, poserz0=−2eⁱ^π⁶.

Exercice 34 **

1. (a) Écrire la forme algébrique et trigonométrique du nombre complexe :

z=

1+i√ 3 2 (1+i)√

2 2

Obtenir z =

√ 2(√

3+1)

4 + i

√ 2(√

3−1)

4 puis utiliser les formes trigonométriques du numérateur et du dénominateur pour obtenirz= eîπ¹²

(b) En d´eduirecos₁₂^π,sin₁₂^π,tan₁₂^π et tan^5π₁₂.

Par identification des parties r´eelles et imaginaires en d´eduirecos₁₂^π =

√ 2(√

3+1)

4 ,sin₁₂^π =

√ 2(√

3−1)

4 .

Calculer ensuite tan₁₂^π =_cos^sin¹²^ππ 12

= 2−√

3 et enfintan^5π₁₂ = tan ^π₂−₁₂^π

=_tan¹π 12

= 2 +√ 3.

2. R´esoudre dansCl’´equationz²⁴= 1.

1,e¹²îπ,eîπ⁶,eîπ⁴,e^5iπ¹²,i,e^7iπ¹²,e^3iπ⁴ ,e^5iπ⁶ ,e^11iπ¹² ,−1et leurs conjugués.

Exercice 35 **

On note x= ^2π₅ etω= e^ix.

1. Déterminer les racines cinquièmes de l’unité (et représenter leurs images).

Obtenir 1,ω,ω²,ω³ etω⁴.

2. Calculer(1−ω)(1 +ω+ω²+ω³+ω⁴)et en d´eduire que : 1 +ω+w+ω²+ω²= 0

Développer la première expression et obtenir0sachant queω⁵= 1. En déduire que1+ω+ω²+ω³+ω⁴= 0.

Justifier enfin que ω³=ω² etω⁴=ω.

3. Factoriser cos 2xet d´emontrer que4 cos²x+ 2 cosx−1 = 0.

D´emontrer quecos 2x= 2 cos²x−1 et utiliser le fait que ω+w= 2 cosxetω²+ω²= 2 cos 2x.

4. En d´eduire la valeur exacte decosx.

Résoudre l’équation précédente en posant X = cosx, utiliser le fait que X > 0 et conclure que cosx=⁻¹⁺

√ 5

4 .

Exercice 36 **

1. R´esoudre dansCl’´equation(E)ci-dessous :

16z⁴−20z²+ 5 = 0 (E)

Poser Z=z² et r´esoudre16Z²−20Z+ 5 = 0,∆ = 80 et en d´eduire queZ =^5±

√5

8 puisz=±

√

5±√ 5 2√

2 . 2. (a) Factorisercos 5x(pour toutx∈R).

Appliquer une formule de Moivre et obtenir cos 5x= 16 cos⁵x−20 cos³x+ 5 cosx.

(b) Comment proc´eder avec Maple^®? Taper : expand(cos(5*x));

(9)

3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte decos₁₀^π.

Remplacer x par ₁₀^π et obtenir 16 cos⁴₁₀^π −20 cos²₁₀^π + 5 = 0, en d´eduire que cos₁₀^π =

√

5±√ 5 2√

2 puis par comparaison `a

√ 3 2 :

cos π 10 =

p5 +√ 5 2√

2

Exercice 37 **

1. Résoudre dansC² le système suivant (écrire la forme algébrique des solutions) :

(S)

ß z1+z2=−1 z1=_z²

2

Ecrire´ (S) ⇔

ß z₂²+z2+ 2 = 0 z1= _z²

2

puis r´esoudre l’´equation z²₂ +z2+ 2 = 0, obtenir z2 = ⁻¹⁺ⁱ

√ 7

2 ou

z2= ⁻¹⁻ⁱ

√ 7

2 . En d´eduire que : S=

®Ç−1−i√ 7

2 ,−1 + i√ 7 2

å ,

Ç−1 + i√ 7

2 ,−1−i√ 7 2

å´

2. On poseω= e^2iπ⁷ ,A=ω+ω²+ω⁴ etB =ω³+ω⁵+ω⁶. D´emontrer queAet B sont conjugu´es.

Remarquer que ω⁶= e^12iπ⁷ = e⁻^2iπ⁷ doncω⁶=ω, et de mˆemeω⁵=ω² etω³=ω⁴ d’o`uB=A.

3. (a) Calculer(1−ω)(1 +A+B)et en d´eduireA+B.

D´evelopper et obtenir(1−ω)(1 +A+B) = 0puis A+B=−1 (puisque ω6= 1).

(b) CalculerAB.

D´evelopperAB = (ω+ω²+ω⁴)(ω³+ω⁵+ω⁶) =ω⁴+ω⁶+ω⁷+ω⁵+ω⁷+ω⁸+ω⁷+ω⁹+ω¹⁰, obtenirAB= 3 +A+B= 2.

(c) En d´eduireAetB.

En d´eduire queAetB sont solutions du syst`eme(S)ainsi A= ^−1±i

√7

2 mais comme : ImA= sin2π

7 + sin4π

7 + sin8π

7 = sin2π

7 + sin4π

7 −sin6π 7

| {z }

>0

Donc A= ⁻¹⁺ⁱ

√7

2 et B=⁻¹⁻ⁱ

√7

2 .

Exercice 38 *

R´esoudre dansC³ le syst`eme suivant :





 x=y² y=z² z=x²

Obtenir z =z⁸ puis z = 0ou z racine septi`eme de l’unit´e (soit z =ω^k avec ω = e^2iπ⁷ et k ∈ J0,6K) puis x=ω^4k ety=ω^2k :

S={(0,0,0} [

k∈J0,6K

{(ω^4k, ω^2k, ω^k}

Exercice 39 *

Soient n∈N^∗ etθ∈R. Quelles sont les racinesn-ièmes deeînθ? Poser ω= e^2iπⁿ et z0= eîθ, et obtenir :

z0, z0ω, . . . , z0ωⁿ⁻¹

(10)

Soitn>2. R´esoudre dansCl’´equation :

zⁿ=z

Remarquer que0est solution et sinon écrirez=ρeîθet résoudreρⁿ⁻¹eî(n+1)θ= 1pour en déduire queρ= 1 etz est une racinen+ 1-ième de l’unité :z= e^2ikπⁿ⁺¹ aveck∈J0, nK.

Exercice 41 **

1. Expliciter sous forme exponentielle les solutions dez³−j = 0etz³−j = 0.

Rechercher les racines cubiques de e^2iπ³ et obtenir :

e^2iπ⁹ e^8iπ⁹ e⁻^4iπ⁹ Et consid´erer leurs conjugu´es.

2. R´esoudre dansCl’´equation suivante :

(z−1)⁶+ (z−1)³+ 1 = 0 (E)

Poser Z = (z−1)³ et trouver que les solutions de Z²+Z+ 1 sont j et j. En d´eduire que les solutions sont :

1 + e^2iπ⁹ 1 + e^8iπ⁹ 1 + e⁻^4iπ⁹ Et leurs conjugu´es.

3. (a) D´emontrer que :

∀α∈R, 1 + e^iα= 2 cosα 2 eⁱ^α² Factoriser1 + e^iα pareⁱ^α² et utiliser une formule d’Euler.

(b) En d´eduire les formes exponentielles des solutions de(E).

Obtenir : 2 cosπ

9 e^iπ⁹ 2 cos2π

9 e^2iπ⁹ 2 cos4π

9 e^4iπ⁹ 2 cosπ

9 e^−iπ⁹ 2 cos2π

9 e⁻^2iπ⁹ 2 cos4π 9 e⁻^4iπ⁹

Exercice 42 **

Soitn∈Ntel quen>2 etω une racinen-i`eme de l’unit´e.

1. (a) Développer(1−ω)(1 +ω+· · ·+ωⁿ⁻¹)et en déduire1 +ω+· · ·+ωⁿ⁻¹. Obtenir 1−ωⁿ= 0et en déduire que1 +ω+· · ·+ωⁿ⁻¹= 0.

(b) Interpréter graphiquement l’égalité précédente.

Justifier que l’isobarycentre des points images de 1,ω, . . . , ωⁿ⁻¹ estO.

2. On note dor´enavantω= e^2iπⁿ etAk le point image deω^k pour k∈J0, n−1K. D´emontrer que : A₀A₁=· · ·=A_n−2A_n−1=A_n−1A₀= 2 sinπ

n

Calculer A_k−1Ak =|e^2i(k−1)πⁿ −e^2ikπⁿ | =|e⁻îπⁿ −eîπⁿ| = 2 sin^π_n pourk ∈J1, n−1K et procéder de même pour A_n−1A0.

3. (a) D´eterminer l’ensemble :

Γ1=n

M ∈ Ptel que

# »

M A0+· · ·+# » M An−1

=no Traduire l’égalité précédente à l’aide des complexes en notantz l’affixe de M :

M(z)∈Γ1⇔ |1−z+· · ·+ωⁿ⁻¹−z|=n⇔ |z|= 1⇔z∈U (et conclure).

(11)

(b) D´eterminer l’ensemble :

Γ2=

M ∈ Ptel que M A²₀+· · ·+M A²_n−1= 2n A l’aide des complexes :`

M(z)∈Γ₂⇔ |1−z|²+· · ·+|ωⁿ⁻¹−z|²= 2n

⇔(1−z)(1−z) +· · ·+ (ωⁿ⁻¹−z)(ωⁿ⁻¹−z) = 2n

⇔1−z−z+|z|²+· · ·+ 1−ωⁿ⁻¹z−ωⁿ⁻¹z+|z|²= 2n

⇔n+n|z|²= 2n⇔z∈U (et conclure).

Exercice 43 *

Quelles sont les racines carrées complexes de−15−8i? Résoudre le système :







x²−y²=−15 2xy=−8 x²+y²= 17 Une solution est 1−4i.

Exercice 44 *

1. R´esoudre2z²+ (−1 + 3i)z+ 4−6i = 0.

Chercher une racine carr´ee complexe du discriminant∆ =−40 + 42i.δ= 3 + 7ien est une et les solutions sont :

1 + i −1 2 −5

2i 2. R´esoudre dansCl’´equationz²+ (1 + i)z+ i = 0.

1−i est une racine carr´ee du discriminant et les solutions sont :

−i −1 3. R´esoudrez²−(3 + 4i)z−1 + 5i = 0.

1 + 2i est une racine carr´ee du discriminant et les solutions sont : 2 + 3i 1 + i

Exercice 45 *

z²= i Ecrire´ i = eⁱ^π² et conclure.

Exercice 46 **

Soitz∈C^∗ donné sous sa forme trigonométrique reîα. 1. Déterminer les racines cubiques deznotéesa,bet c.

a=√³

re^iα³,b= ja etc= j²a.

2. Calculer les nombres complexes :







a+b+c a²+b²+c²

1

a +¹_b +¹_c

Factorisera+b+cparaet en se souvenant que1 + j + j². Factoriser a²+b²+c² para²et utiliser le fait quej³= 1. Factoriser enfin _a¹+¹_b +¹_c par ¹_a pour obtenir finalement :







a+b+c= 0 a²+b²+c²= 0

1

a+¹_b +¹_c = 0

(12)

Soit(x, y, z)∈U³ tel quex+y+z= 1.

1. D´emontrer que ¹_x+¹_y+¹_z = 1.

Diviser par 1 =|x|²=|y|²=|z|² et se souvenir que|x|²=xx(idem poury etz) puis passer au conjugu´e.

2. On suppose de plus que xyz= 1.

(a) D´emontrer quexy+yz+zx= 1.

Mettre ¹_x+¹_y+¹_z au mˆeme d´enominateur et conclure.

(b) Calculerx,y etz.

R´esoudre le syst`eme :







x+y+z= 1 xy+xz+yz= 1 xyz= 1

⇔







z= 1−x−y

xy+x(1−x−y) +y(1−x−y) = 1 xy(1−x−y) = 1

⇔







z= 1−x−y

x−x²+y−xy−y²= 1 xy−x²y−xy²= 1

⇔







z= 1−x−y

x²−x³+xy−x²y−xy²=x

−xy+x²y+xy²=−1

En sommant les deux dernières lignes, en déduire quex(ety etz) est racine de l’équationx³−x²+ x−1 = 0(dont1 est racine évidente, les deux autres étant±i).

Exercice 48 *

1. R´esoudre ^z−1_z+i =_z−1^z−i.

Effectuer un«produit en croix»et se ramener à une équation du premier degré dont l’unique solution est 0.

2. R´esoudre dansC\{2i}l’´equation :

2z−i z−2i =z

Se ramener à une équation du second degré dont les solutions sont1+

√2 2 +iÄ

1 +

√2 2

äet1−

√2 2 +iÄ

1−

√2 2

ä.

Exercice 49 *

R´esoudrez⁴+z²+ 1 = 0et z⁴+ 6z²+ 25 = 0.

Poser Z=z², obtenir ±e^iπ³ et±jpuis −1 + 2i,−1−2i,1 + 2i,1−2i.

Exercice 50 **

1. (a) D´eterminer les racines cubiques dei.

Résoudrez³= eîπ² et obtenirz= eîπ⁶ oujeîπ⁶ = e^5iπ⁶ ouj²eîπ⁶ =−i (b) Résoudrez⁶+ (2i−1)z³= 1 + idansC.

PoserZ =z³et r´esoudreZ²+(2i−1)Z−1−i = 0,∆ = 1etZ= i = e^iπ² ou−1+i =√

2e^3iπ⁴ . Résoudre ensuite z³ = i (cf. précédemment) puis z³=√

2e^3iπ⁴ et obtenir z= √⁶

2e^iπ⁴ ouj√⁶

2e^iπ⁴ =√⁶

2e^11iπ¹² ou j²√⁶

2e^iπ⁴ =√⁶ 2e⁻^5iπ¹².

2. Comment proc´eder sous Maple^®?

Taper : solve(z^6-(2*I-1)*z^3-1-I=0);

(13)

Exercice 51 *

1. Quelles sont les racines carr´ees complexes de−2? i√

2 et−i√ 2.

2. R´esoudre l’´equationz³+ 2z=z²+ 2.

Factoriser :(z²+ 2)(z−1) = 0soitz=±i√

2 ouz= 1.

Exercice 52 **

Pour toutz∈C, on pose :

P(z) =z³−z²−3z+ 6 1. Montrer que siz₀ est une racine deP alorsz₀l’est ´egalement.

Ecrire´ P(z₀) = 0 puis passer au conjugu´e.

2. D´eterminer trois r´eelsa,b etc tels que :

∀z∈C, P(z) = (z+ 2)(az²+bz+c)

V´erifier que−2 est racine puis d´eterminer a,b etcpar identification et obtenir : a= 1 b=−3 c= 3

3. R´esoudre l’´equationP(z) = 0.

R´esoudrez²−3z+ 3 et obtenir−2, ^3±i

√ 3 2 .

Exercice 53 **

P(z) =z³+ (1 + i)z²+ (i−1)z−i 1. D´eterminer trois r´eelsa,b etc tels que :

∀z∈C, P(z) = (z+ai)(z²+bz+c)

Rechercher une racine deP sous la forme d’un imaginaire pur −ai et en d´eduire a²+a= 0 puis v´erifier que−i est bien une racine deP. Obtenir b= 1 etc=−1 par identification.

2. En d´eduire les racines deP.

R´esoudrez²+z−1 et obtenir comme racines−iet ^−1±

√5

2 .

Exercice 54 **

P(z) =z⁴−6z³+ 23z²−34z+ 26 1. Montrer que siz0 est une racine deP alorsz0l’est ´egalement.

Ecrire´ P(z0) = 0 puis passer au conjugu´e.

2. (a) CalculerP(1 + i).

Obtenir 0.

(b) R´esoudre l’´equationP(z) = 0.

Déduire des questions précédentes que1 + i et 1−i sont racines donc il existe (a, b, c)∈C³ tel que P(z) = (z−1−i)(z−1 + i)(az²+bz+c). Obtenir par identification :

P(z) = (z−1−i)(z−1 + i)(z²−4z+ 13)

Rechercher les racines de l’´equation z²−4z+ 13 = 0en calculant∆ =−36puis δ= 6ietz= 2±3i et conclure en ´ecrivant les quatres racines.

(c) Comment résoudre cette équation à l’aide de Maple^®? Taper :

E:=z^4-6*z^3+23*z^2-34*z+26=0;

solve(E);

(14)

Soit l’équation(E)suivante à résoudre dansC:

z³+ (1−i)z²+ (1−i)z−i = 0 (E) 1. V´erifier que(E)a une solution imaginaire pure not´eeαet la calculer.

Poser α= ia puis en identifiant parties r´eelle et imaginaire, obtenir : ß −a³+a²+a−1 = 0

a=a² ⇔ {a= 1

2. En déduire les autres solutions (notéesβ etγ) de cette équation.

Factoriserz³+ (1−i)z²+ (1−i)z−iparz−iet obtenir apr`es identification(z−i)(z²+z+ 1). En d´eduire queβ = j etγ= j².

3. On noteA,B etC les points d’affixeα,β,γ.

(a) Calculer ^β−γ_α . Obtenir ^β−γ_α =√

3.

(b) Que peut-on dire des droites(OA)et (BC)?

Comme ^β−γ_α ∈R, on en d´eduire que(OA)et(BC)sont parall`eles.

Exercice 56 **

P(z) = 2z⁴−6z³+ 9z²−6z+ 2 1. Montrer que siz₀ est une racine deP alors _z¹

0 etz₀ le sont ´egalement.

Remarquer quez06= 0 et diviser l’égalitéP(z0) = 0parz₀⁴ pour en déduire quePÄ

1 z₀

ä

= 0. Enfin, ´ecrire P(z₀) = 0et passer au conjugu´e.

2. Pour toutz∈C^∗, on poseZ =z+¹_z.

(a) Démontrer que siz est une racine deP alorsZ est solution d’une équation que l’on résoudra.

Diviser l’´egalit´eP(z) = 0 parz² et utiliser le fait que Z²=z²+ 2 + _z¹2 : P(z) = 0⇔2z²+ 2

z²−6z−6

z + 9 = 0⇔2Z²−6Z+ 5 = 0 (E) R´esoudre(E)en calculant∆ =−4 d’o`uZ =^3±i₂ .

(b) En d´eduire toutes les racines deP.

Résoudre z+¹_z = ³⁺ⁱ₂ qui équivaut àz²−³⁺ⁱ₂ z+ 1 = 0. Obtenir z= 1 + i ou ¹⁻ⁱ₂ . En déduire que

= 1−iet ¹⁺ⁱ₂ sont racines et utiliser le fait queP a au plus quatre racines distinctes : S =

ß

1 + i,1−i,1−i 2 ,1 + i

2

™

(c) Comment vérifier vos résultats à l’aide de Maple^®? Taper :

F:=2*z^4-6*z^3+9*z^2-6*z+2=0;

solve(F);

Exercice 57 *

R´esoudre dansCl’´equation(z+ 1)⁴= (z−1)⁴ de deux fa¸cons.

1. En utilisant les racines quatri`emes de l’unit´e.

Poser Z = ^z+1_z−1 et se ramener `a Z⁴ = 1 soit Z = ±1 ou ±i. L’´equation ^z+1_z−1 = 1 n’a pas de solution,

z+1

z−1 =−1⇔z= 0, ^z+1_z−1 = i⇔z=−i et enfin ^z+1_z−1 =−i⇔z= i.

2. En d´eveloppant.

Se ramener `a8z(z²+ 1) = 0dont les solutions sont0,iet −i.

(15)

Exercice 58 *

Soitn∈Nsupérieur ou égal à 2. Résoudre l’équation : (z+ 1)ⁿ= (z−1)ⁿ

Par quotient et en posant Z = ^z+1_z−1, se ramener à résoudreZⁿ = 1, obtenir Z = e^2ikπⁿ pour k∈J0, n−1K puis revenir àz= ê

2ikπ n +1

e^2ikπn −1 =−_tanⁱkπ n

pour k∈J1, n−1K.

Exercice 59 **

Soient(α, β, γ)∈R³eta= eîα,b= eîβetc= eîγ trois nombres complexes de module1tels quea+b+c= 0.

1. D´emontrer que

cos^β−γ₂ =¹₂.

Factoriser eîβ+ eîγ et déduire dea+b+c= 0queeîα=−eⁱ^β+γ² 2 cos^β−γ₂ puis penser aux modules.

2. En d´eduire que :

a³=b³=c³

Déduire de la question précédente que β = γ±^2π₃ (2π) puis que b = jc ou j²c et élever au cube en se souvenant que j³= 1.

Exercice 60 *

Soitt∈R. Résoudre l’équation ci-dessous d’inconnuez∈C(et préciser le cas des racines doubles) :

z²−i(cost+ sint)z=sin 2t 2 Factoriser sin 2t et calculer le discriminant :∆ =−(cost−sint)². R´esoudre cost= sint pour traiter le cas de la racine double (z0=±i√

2) et dans le cas o`u ∆<0, obtenir les deux racines (z1= i cost etz2= i sint).

Exercice 61 **

Soitα∈R\S

k∈Z{^π₂+kπ}, on notet= tanα.

1. (a) D´eterminer la forme exponentielle dez= ^1+it_1−it.

En multipliant numérateur et dénominateur parcosα, en déduirez= e^2iα. (b) Déterminer la forme algébrique dez.

Multiplier le dénominateur par l’expression conjuguée et obtenir z= ^1−t_1+t²₂ + i_1+t^2t₂. 2. En déduire une expression decos 2αetsin 2αen fonction detanα.

Identifier les parties r´eelle et imaginaire : cos 2α=^1−tan_1+tan₂²_α^α etsinα= _1+tan^{2 tan}₂^α_α

Exercice 62 **

On consid`ere l’´equation suivante d’inconnue z∈C: Å1 + iz

1−iz ã3

=1 +itanα 1−itanα 1. Préciser pour quelles valeurs deαetz cette équation est définie.

Rappeler l’ensemble de définition detanet résoudre l’équation1 = iz.

2. R´esoudre cette ´equation.

Poser Z = ^1+iz_1−iz et multiplier le numérateur et le dénominateur de _1−i¹⁺ⁱ_tan^tan^α_α parcosαpour se ramener à résoudre :

Z³= e^2iα En d´eduire queZ= e^2iα³ ouje^2iα³ ouj²e^2iα³ puis revenir `az.

(16)

On consid`ere la fonction suivante :

f : C\ {1} −→ C z 7−→ ^z+1_z−1 1. Montrer que|z|= 1 etz6= 1⇒f(z)imaginaire pur.

Poser z= eîθ puis multiplier numérateur et dénominateur pare⁻îθ² pour obtenir :

f(z) =−icos^θ₂ sin^θ₂

2. Résoudre les équationsf(z) =z etf(z) =iz (donner les formes algébriques des solutions).

Se ramener à résoudre des équations du second degré.

Exercice 64 *

Soitx∈R. Calculer les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes suivants : a= (3−2i)e^5iπ⁶ b= (−2 + i)e^6−ix c=a+b

Remplacer e^iπ⁶ par cos^5π₆ + i sin^5π₆ et d´evelopper pour obtenir a = −³

√ 3

2 + 1 + i √ 3 + ³₂

. Remplacer de mˆemee^6−ixpare⁶e^−ix= e⁶cosx−ie⁶sinxet obtenirb= e⁶sinx−2e⁶cosx+ i e⁶cosx+ 2e⁶sinx

. En d´eduire c.

Exercice 65 *

R´esoudree^z+ 3i = 0.

Ecrire la forme alg´´ ebrique de z et la forme exponentielle de −3i puis ´egaler les modules et les arguments (2π).

Exercice 66 *

R´esoudre l’´equation suivante d’inconnuez∈C:

e^1+z=1−i√ 3 2 Ecrire la forme alg´´ ebrique de z et la forme exponentielle de ¹⁻ⁱ

√3

2 puis ´egaler les modules et les arguments (2π).

Exercice 67 *

Soita∈C. Quel est l’ensemble des pointsM d’affixeztelle que(z−a)(z−a) =aa? Se ramener `a|z−a|=|a| et obtenir le cercle de centreA d’affixeaet passant parO.

Exercice 68 *

D´eterminer l’ensemble des pointsM d’affixez∈Ctelle que| −2iz+ i−4|= 2.

Diviser par−2iet obtenir

z−¹₂−2i

= 1et en d´eduire que l’ensemble recherch´e est un cercle de rayon1.

Exercice 69 *

D´eterminer l’ensemble des pointsM d’affixez∈Ctelle que|z+ i|= 1.

Remarquer que|z+ i|=|z−i| et interpr´eter graphiquement |z−i|= 1 : reconnaˆıtre l’´equation du cercle de centreA(−i)et de rayon 1.