TS6 DS 2 19 octobre 2018 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom,pr´enom :
Exercice 1 : Exercices classiques (25 minutes) (5 points)
1. Calculer la forme alg´ebrique de 7 + 2i i−5
2. R´esoudre dansCl’´equationz+ 3¯z−5 +i= 0
3. Calculer les limites suivantes et donner si c’est possible une interpr´etation graphique : (a) lim
x→+∞
7x−5
2x2−3; (b) lim x→7
x <7
2x+ 3
x−7 ; (c) lim
x→−∞
√
1 +x2; (d) lim
x→+∞cos(x) +x
Exercice 2 : ´Etude d’une transformation complexe (20 minutes) (3 points) Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;~u;~v). `A tout point M d’affixe z du plan, on associe le pointM0 d’affixez0 d´efinie par :
z0 = (z−i)(¯z−2).
1. Soientx ety des r´eels tels quez=x+iy.
Montrer que la forme alg´ebrique dez0 est x2+y2−2x−y+i(−2y−x+ 2).
2. D´eterminer l’ensemble des points M(z) tels que M0(z0) appartienne `a l’axe des imaginaires purs.
3. D´eterminer l’ensemble des points M(z) tels que M0(z0) appartienne `a l’axe des r´eels.
Exercice 3 : Probl`eme fonctions et algorithmes (35 minutes) (51/2 points) On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’intervalle [0; +∞[ par :
f(x) =−x3+ 6x2−30 1. ´Etudier la limite en +∞ de f.
2. Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle [0; +∞[.
3. (a) D´emontrer que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0; 4].
(b) Donner un encadrement `a 10−3 pr`es deα.
(c) Par un raisonnement analogue, on d´emontre qu’il existe un unique r´eel β de l’intervalle ]4; +∞[
tel quef(β) = 0.
D´eterminer l’entiern tel quen < β < n+ 1 4. On donne l’algorithme ci-dessous :
a←0 b←a+ 1
Tant quef(a)×f(b)>0 : a←b
b←a+ 1 Fin Tant que
(a) Faire tourner cet algorithme en recopiant et compl´etant le tableau ci-dessous ;
a b f(b)×f(a)
0 1 . . .
. . . .
(b) Que repr´esentent les valeurs obtenues par cet algorithme ?
(c) Modifier cet algorithme afin qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement deβd’amplitude 10−1.
TS 6 DS 2 Page 2 sur 2 Exercice 4 : Probl`eme Complexe (20 minutes) (41/2 points)
1. Pour tout nombre complexez, on pose :
P(z) =z3−3z2+ 3z+ 7.
(a) Calculer P(−1)
(b) D´eterminer les r´eelsaetbtel que pour tout nombre complexez, on aitP(z) = (z+ 1)(z2+az+b).
(c) R´esoudre dans Cl’´equation P(z) = 0.
2. Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct (O;~u;~v). On d´esigne parA,B,C etG les points du plan d’affixes respectives :
zA=−1; zB= 2 +i
√
3; zC = 2−i
√
3 etzG= 3
(a) Montrer que ces points appartiennent au cercle de centre Dd’affixe zD = 1 et de rayon 2 (b) Placer les pointsA,B,C etG sur la figure ci-contre ;
(c) Montrer queABC est un triangle ´equilat´eral.
~u
~v
0
D
Exercice 5 : Prise d’initiative (15 minutes) (2 points)
On consid`ere les nombres complexeszn d´efinis, pour tout nombre entier natureln, par la donn´ee de z0 o`u z0 est diff´erent de 0 et de 1, et la relation de r´ecurrence zn+1= 1−z1
n. 1. D´emontrer que, pour tout nombre entier naturel n,z3n=z0; 2. D´eterminer la forme alg´ebrique de z2017 dans le cas o`uz0 = 1 +i
