= 2 2 − 2i 2 + i + + = 1 + i √

(1)

Quiziniere code 4KQ97Y TS Complexe

FAUX si on pose z=x+iy on a alors z²=x²−y²+2 ixy On a donc Re(z²)x²−y² et (Re(z))² = x² donc faux

A noter que l'on peut aussi choisir un contre exemple comme z = i

la calculatrice donne (−√3+i)⁶=−64 qui n'est pas un imaginaire pur

on pose z=x+iy . L'équation devient x+iy₊₍x₊iy₎₍x₋iy₎₌1+i x+iy+x²+y²=1+i

x+x²+y²+iy=1+i

On identifie alors les parties réelles et imaginaire et on trouve

{

^x^+x^y²⁺⁼^y¹²⁼¹ ^ssi

{

^x²⁺^y⁼^x⁼⁰¹ ^ssi

{

^x⁽^x^y⁺⁼¹¹⁾⁼⁰ ^ssi

^{

^x⁼⁰^y^oux⁼¹⁼^{– 1}

S = { i ; -1+i } donc VRAI

D'après BAC z²=(−√²⁺√2)²−2 i√²⁺√2×√²⁻√2−(√²⁻√2)² z²=2+√2−2 i

√

⁽²^+√²⁾⁽²^−√²⁾⁻⁽²^−√²⁾

z²=2+√2−2+√2−2 i√4−2 donc z²=2√2−2 i√2

(2)

2(x+iy)−i(x−iy)=3+i+2(x−iy) 2x₊2 iy_−ix₋y_=3+i+2x_{−2 i}y 2x−y+i(2y−x)=3+2x+i(1−2y) On identifie les parties réelles et imaginaires :

{

²²^x^y⁻^−x^y⁼⁼¹⁻³⁺²²^x^y ^ssi

{

^−6−x^y⁼⁻³⁼¹⁺⁶^ssi

{

^x^y⁼⁻¹³⁼⁻³

z = −13−3 i

z=x+iy donc z1=x+iy+x−iy = 2x donc faux

z2=(x+iy)²+(x−iy)² = (x²+2xiy−y²)+(x²−2xiy−y²) = 2x²−2y² qui est réel donc faux On peut alors vérifier que z3 est correct

z1+z2=x²+2x−3+2 ix²

(3)

z1+z2 imaginaire pur ssi x²₊₂x₋₃₌₀ Δ=16>0 donc

x1=1 ou x2=– 3

z1+z2 réel ssi 2x²=0 ssi x=0

On développe avec le binôme de newton les coefficients binomiaux à prendre étant 1 , 5 , 10 , 10 , 5 , 1 (2+b)⁵=2⁵+5×2⁴×b¹+10×2³×b²+10×2²×b³+5×2¹×b⁴+b⁵

= ₃₂₊₈₀b₊₈₀b²₊40b³₊₁₀b₊b⁵ La réponse attendue est donc 80 – 80 – 40 – 10 – 1

le coefficient est

(

¹⁰⁷

)

⁽²^x⁾³⁽⁻³^y⁾⁷^{= 120}^×⁸^x³^×(−²¹⁸⁷^y⁷⁾ = 2099520