TS6 DS 2 : Correction 19 octobre 2018
Exercice 1 : Exercices classiques (25 minutes) (5 points)
1. Calculer la forme alg´ebrique de 7 + 2i i−5
2. R´esoudre dansCl’´equationz+ 3¯z−5 +i= 0
3. Calculer les limites suivantes et donner si c’est possible une interpr´etation graphique : (a) lim
x→+∞
7x−5
2x2−3; (b) lim x→7
x <7
2x+ 3
x−7 ; (c) lim
x→−∞
√1 +x2; (d) lim
x→+∞cos(x) +x
Solution:
1. 7 + 2i
i−5 = −33−17i 26 2. S=5
4 +i12
3. (a) Pourx6= 0, 7x−5
2x2−3 = 7−x5 x(2−x32). Par quotient lim
x→+∞
7x−5 2x2−3 = 0.
Il y a une asymptote horizontale d’´equation y= 0.
(b) x−7<0 lorsque x <7 donc par quotient lim
x→7 x <7
2x+ 3
x−7 =−∞.
Il y a une asymptote verticale d’´equation x= 7.
(c) lim
x→−∞(1 +x2) = +∞, lim
x→+∞
√x= +∞, Par composition lim
x→−∞
√
1 +x2= +∞.
(d) Pour tout r´eelx, cos(x)>−1 donc cos(x)>−1 +x.
x→+∞lim −1 +x= +∞ donc par un th´eor`eme de comparaison :
x→+∞lim cosx+x= +∞.
Exercice 2 : ´Etude d’une transformation complexe (20 minutes) (3 points) Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;~u;~v). `A tout point M d’affixe z du plan, on associe le pointM0 d’affixez0 d´efinie par :
z0 = (z−i)(¯z−2).
1. Soientx ety des r´eels tels quez=x+iy.
Montrer que la forme alg´ebrique dez0 est x2+y2−2x−y+i(−2y−x+ 2).
2. D´eterminer l’ensemble des points M(z) tels que M0(z0) appartienne `a l’axe des imaginaires purs.
3. D´eterminer l’ensemble des points M(z) tels que M0(z0) appartienne `a l’axe des r´eels.
Solution:
1. (z−i)(¯z−2) = (x +iy −i)(x−iy −2) = (x+iy)(x−iy) −2(x +iy)−i(x −iy) + 2i = x2+y2−2x−2iy−ix+i2y+ 2i=x2+y2−2x−y+i(−2y−x+ 2) ;
2. Re(z) = 0 ssix2+y2−2x−y= 0 (x−1)2+ (y−12)2− 54 = 0.
L’ensemble des points est le cercle de centre d’affixe 1 +12iest de rayon q5
4. 3. Im(z) = 0 ssi y=−12x+ 1.
L’ensemble des points est la droite d’´equation y=−12x+ 1.
TS 6 DS 2 Page 2 sur 4 Exercice 3 : Probl`eme fonctions et algorithmes (35 minutes) (51/2 points)
On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’intervalle [0; +∞[ par : f(x) =−x3+ 6x2−30 1. ´Etudier la limite en +∞ de f.
2. Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle [0; +∞[.
3. (a) D´emontrer que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0; 4].
(b) Donner un encadrement `a 10−3 pr`es deα.
(c) Par un raisonnement analogue, on d´emontre qu’il existe un unique r´eel β de l’intervalle ]4; +∞[
tel quef(β) = 0.
D´eterminer l’entiern tel quen < β < n+ 1 4. On donne l’algorithme ci-dessous :
a←0 b←a+ 1
Tant quef(a)×f(b)>0 : a←b
b←a+ 1 Fin Tant que
(a) Faire tourner cet algorithme en recopiant et compl´etant le tableau ci-dessous ;
a b f(b)×f(a)
0 1 . . .
. . . .
(b) Que repr´esentent les valeurs obtenues par cet algorithme ?
(c) Modifier cet algorithme afin qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement deβd’amplitude 10−1. Solution:
1. Pour tout r´eel x f(x) =x3 −1 +6x− 30x3
. Par produit lim
x→+∞f(x) =−∞.
2. f0(x) =−3x2+ 12x=−3x(x−4). Le tableau de variations est : x
f0
f
0 4 +∞
+ −
−30
−30
2 2
−∞
−∞
3. (a) Sur [0; 4],f est strictement croissante, continue,f(0)<0< f(2), par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, f(x) = 0 admet une unique solution.
(b) f(3,39)≈ −0,01 et f(3,391)≈0,001 doncα∈[3,39; 3,391].
(c) f(4) = 2 etf(3) =−3 donc 3< β <4 et n= 3.
4. (a)
a b f(b)×f(a)
0 1 750
1 2 250
2 3 42
3 4 −6
(b) aetb repr´esente un encadrement entier deα.
(c)
a←4 b←a+ 0,1
Tant que f(a)×f(b)>0 : a←b
b←a+ 0,1 Fin Tant que
TS 6 DS 2 Page 3 sur 4 Exercice 4 : Probl`eme Complexe (20 minutes) (41/2 points)
1. Pour tout nombre complexez, on pose :
P(z) =z3−3z2+ 3z+ 7.
(a) Calculer P(−1)
(b) D´eterminer les r´eelsaetbtel que pour tout nombre complexez, on aitP(z) = (z+ 1)(z2+az+b).
(c) R´esoudre dans Cl’´equation P(z) = 0.
2. Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct (O;~u;~v). On d´esigne parA,B,C etG les points du plan d’affixes respectives :
zA=−1; zB= 2 +i√
3; zC = 2−i√
3 etzG= 3
(a) Montrer que ces points appartiennent au cercle de centre Dd’affixe zD = 1 et de rayon 2 (b) Placer les pointsA,B,C etG sur la figure ci-contre ;
(c) Montrer queABC est un triangle ´equilat´eral.
~u
~v
0
D
Solution:
1. (a) P(−1) = 0
(b) (z+ 1)(z2+az+b) =z3+az2+bz+z2+az+b=z3+ (a+ 1)z2+ (b+a)z+b.
On obtient le syst`eme
a+ 1 =−3 b+a= 3 b= 7
⇔
(a=−4 b= 7 . (c) P(z) = 0⇔z=−1 ou z2−4z+ 7 = 0.
∆ = 16−28 =−12. Le discriminant est n´egatif, l’´equationz2−3z+ 7 = 0 admet donc deux solutions complexes conjugu´ees. 4 +i√
12
2 et 4−i√ 12
2 .
Les solutions de l’´equation de d´epart sont donc −1,2−i√
3 et 2 +i√ 12.
TS 6 DS 2 Page 4 sur 4 2. (a) AD=p
(1 + 1)2= 2, BD=p
(2−1)2+ 3 = 2. De mˆeme CD=GD= 2.
Ces points appartiennent donc bien au cercle de centre Det de rayon 2.
(b)
~ u
~v
0 A
B
C G D
(c) AB=p
(2 + 1)2+ 3 =√
12,BC = q
02+ (2√
3)2 =√
12 et AC =p
(2 + 1)2+ 3 =√ 12. Le triangle est bien ´equilat´eral.
Exercice 5 : Prise d’initiative (15 minutes) (2 points)
On consid`ere les nombres complexeszn d´efinis, pour tout nombre entier natureln, par la donn´ee de z0 o`u z0 est diff´erent de 0 et de 1, et la relation de r´ecurrence zn+1= 1−z1
n. 1. D´emontrer que, pour tout nombre entier naturel n,z3n=z0; 2. D´eterminer la forme alg´ebrique de z2017 dans le cas o`uz0 = 1 +i Solution:
1. Montrons pour tout entier natureln,P(n) : z3n=z0 . Initialisation : z3×0 =z0 doncP(0) est vraie.
H´er´edit´e : Soit nun entier naturel tel queP(n) est vraie. Montrons que P(n+ 1) est vraie.
z3(n+1) = 1− 1
z3n+2 = 1− 1 1−z 1
3n+1
= z3n+1−1−z3n+1
z3n+1−1 = − 1
z3n+1−1 = − 1 1−z 1
3n−1
=
− 1
−z1
3n
=z3n=z0. DoncP(n+ 1) est vraie.
Conclusion : P(n) est vraie pour tout entier natureln.
2. 2017 = 3×672 + 1 z2017 = 1−z1
2016 = 1−z1
0 = 1−1+i1 = 2−1+i2 = 1+i2
