G´EOM´ETRIE ALG´EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 5

G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 5

ANDREAS H ¨ORING

1.) Fibr´ es vectoriels stables sur P

On travaille sur un corps k alg´ebriquement clos.

(a) Montrer que pour un faisceau coh´erent sans torsion sur P

, la notion de µ-(semi)stabilit´e ne d´epend pas de la polarisation.

Montrer que ceci est faux pour une vari´et´e projective lisse X arbitraire (indica- tion : on pourra choisir X = P

× P

).

(b) Montrer qu’un faisceau localement libre F sur P

est stable si et seulement si F est de rang un. Donner et d´emontrer l’´enonc´e analogue pour la semistabilit´e.

(c) Soit F → O

un sous-faisceau de rang r tel que O

/F est sans torsion.

Montrer que si c

(F) = 0, alors F est isomorphe ` a O

.

Indication : le point crucial est de montrer que F est un sous-fibr´e. Commencer par montrer que l’application det F → V

O

est de rang un en tout point. L’in- clusion F → O

d´efinit une application rationelle de P

vers une Grassmannienne G(r, d). Utiliser le plongement de Pl¨ucker pour montrer que cette application est r´eguli`ere.

(d) Montrer que le fibr´e tangent de P

est stable.

Indication : consid´erer la suite d’Euler tordue

0 → Ω

(1) → O

→ O

(1) → 0

Si F est un sous-faisceau de Ω

(1) tel que Ω

(1)/F est sans torsion, noter que c

(F) = d avec d ≤ 0. Exclure le cas d = 0 en utilisant la question pr´ec´edente.

2.) Lemme de Cartier

Soit G = Spec S un groupe alg´ebrique affine qui agit sur un sch´ema affine X = Spec V . Notons X × G → X l’action de groupe et V → V ⊗ S le morphisme dual de k-alg`ebres. On appelle repr´esentation duale la repr´esentation induite par V → V ⊗ S. Montrer que V est une union de sous-espaces vectoriels G-invariants de dimension finie sur k.

3.) Diviseurs de P

On travaille sur un corps k alg´ebriquement clos. Fixons un entier d et consid´erons l’espace projectif X := P (H

( P

, O

(d))) param´etrant les diviseurs effectifs de degr´e d sur P

. Le groupe SL(2) agit sur P

et donc sur X . Soit D ∈ X, notons D = P

i

a

P

avec P

∈ P

des points ferm´es et a

∈ N .

Montrer que D ∈ X est un point semistable pour l’action de SL(2) si et seulement si a

≤

pour tout i. Montrer que D est stable si et seulement si on a l’in´egalit´e stricte.

Date: 12 f´evrier 2008.

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