M2 G´ eom´ etrie alg´ ebrique feuille n

Universit´ e Paris 6 Ann´ ee 2012-2013

M2 G´ eom´ etrie alg´ ebrique feuille n

1

Exercices

1 Faisceaux

Exercice 1. Soit H le faisceau sur C des fonctions holomorphes et soit H

le sous-faisceau des fonctions inversibles (on v´ erifiera que U 7→ H(U)

d´ efinit bien un sous-faisceau de H). On consid` ere le morphisme exp : H → H

d´ efini par exp(f )(z) = e

si f ∈ H(U). Montrer que exp est surjectif et d´ ecrire son noyau.

Correction. H

est un sous-faisceau de H parce que le fait d’ˆ etre inversible est une propri´ et´ e locale : si U = S

i

U

et f ∈ H(U), f est inversible sur U si et seulement si elle est inversible sur tous les U

.

Il faut montrer que pour tout g ∈ H

(U ) et tout x ∈ U il existe un un voisinage ouvert V de x dans U et f ∈ H(V ) telle que exp(f ) = g

. Soit V contenu dans l’image r´ eciproque par g de la boule ouverte B de centre g(x) et de rayon kg(x)k. La s´ erie enti` ere log d´ efinissant un logarithme en g(x) est convergeant sur B (et est holomorphe sur B), on pose alors f(z) = log(g(z)) pour tout z ∈ V .

f ∈ (Ker exp)(U ) si et seulement si f(z) ∈ 2iπ Z pour tout z ∈ U . Comme f est continue, f est alors localement constante dans 2iπ Z . Le noyau de exp est donc le faisceau constant 2iπ Z . Exercice 2. Soit n un entier strictement positif. Montrer que le morphisme de faisceaux H

→ H

d´ efini par f 7→ f

est surjectif et d´ ecrire son noyau.

Correction. Il faut montrer que pour tout g ∈ H

(U ) et tout x ∈ U il existe un un voisinage ouvert V de x dans U et f ∈ H(V ) telle que f

= g

. Soit V contenu dans l’image r´ eciproque par g de la boule ouverte B de centre g(x) et de rayon |g(x)|. La s´ erie enti` ere log d´ efinissant un logarithme en g(x) est convergeant sur B (et est holomorphe sur B), on pose alors f(z) = exp(

log(g(z))) pour tout z ∈ V .

Le noyau est le faisceau constant µ

des fonctions localement constantes ` a valeurs dans les racines n

de 1.

Exercice 3. Soient x

, · · · , x

∈ C des points distincts et U = C − {x

, · · · , x

}. D´ ecrire le conoyau de la d´ erivation d : H(U ) → H(U ).

Soit O(U ) le sous-anneau de H(U) constitu´ e des fractions rationnelles sans pˆ ole dans U . D´ ecrire le conoyau de la d´ erivation d : O(U ) → O(U ).

Correction. Si f ∈ H(U ), on peut d´ efinir res

(f) comme ´ etant

fois l’int´ egrale de f le long d’un cercle parcouru dans le sens trigonom´ etrique de centre x

et de rayon strictement inf´ erieur

`

a min

|x

− x

| (ou n’importe quel autre lacet localement C

qui lui est homotope dans U ).

f admet une primitive sur U si et seulement si pour tout i, res

(f) = 0. Le conoyau de d est donc l’image de H(U ) → C

qui ` a f associe (res

(f ))

. Cette application est surjective, puisque l’image de z 7→ P

i

a

i

est le n-uplet (a

)

. Donc le conoyau de d : H(U ) → H(U ) est C

.

Si f ∈ O(U ), on peut d´ ecomposer f en ´ el´ ements simples f(z) = P (z) + P

P

j>1 ai,j

(z−x_i)^j

o` u P est un polynˆ ome. Tous les termes de cette somme admettent une primitive dans O(U )

`

a l’exception des termes en j = 1. Donc si res

(f ) = a

est nul pour tout i, f admet une primitive dans O(U ) (et la r´ eciproque est vrai puisque si f admet une primitive dans O(U ), ils en admettent a fortiori une dans H(U ), donc les r´ esidus de f sont nuls). Donc le conoyau de d : O(U) → O(U) est aussi C

.

Le fait qu’on trouve le mˆ eme r´ esultat dans les deux cas est un cas particulier d’un th´ eor` eme de Grothendieck comparant la cohomologie de de Rham analytique complexe et la cohomologie de de Rham alg´ ebrique.

2 Alg` ebre commutative

Exercice 4. Soient k un corps, ¯ k une clˆ oture alg´ ebrique de k et G = Aut

(¯ k). Soit A une k-alg` ebre de type fini. On note X(¯ k) = Hom

(A, k) qu’on munit d’une action de ¯ G via (g · φ)(a) = g φ(a). ˙

Montrer que φ 7→ Ker φ induit une bijection de X(¯ k)/G sur l’ensemble des points ferm´ es de Spec A.

Exercice 5. Soit A un anneau. Montrer que les propositions suivantes sont ´ equivalentes : 1. Spec A n’est pas connexe ;

2. il existe e ∈ A diff´ erent de 0 et 1 tel que e

= e ;

3. il existe deux anneaux non nuls A

et A

et un isomorphisme A ' A

× A

;

Exercice 6. Soit A un anneau. Montrer que les propositions suivantes sont ´ equivalentes : 1. A est r´ eduit ;

2. pour tout id´ eal premier p de A, A

est r´ eduit ; 3. pour tout id´ eal maximal m de A, A

est r´ eduit.

Correction. 1 implique 2. Soit a/s ∈ A

tel que (a/s)

= 0. Alors il existe t / ∈ p tel que ta

= 0, donc (ta)

= 0, donc ta = 0 puisque A est r´ eduit ; donc a/s = 0.

2 implique 3 est ´ evident.

3 implique 1. Le morphisme A → Q

A

est injectif. En effet, si x 6= 0 ∈ A, l’annulateur I de x est un id´ eal propre de A, donc contenu dans un id´ eal maximal m

de A et l’image de x est non nulle dans A

. Donc A est un sous-anneau d’un anneau r´ eduit et est donc r´ eduit.

Exercice 7. Soit A un anneau et M un A-module. Montrer que M est A-plat si et seulement si M

est A

plat pour tout p ∈ Spec(A).

Correction.

Exercice 8. Soit k un corps alg´ ebriquement clos et A, B deux k-alg` ebres int` egres. Montrer que A ⊗

B est int` egre (on pourra commencer par supposer A et B de type fini).

Correction. Soit c, c

6= 0 ∈ A ⊗

B tels que cc

= 0. Soit c = P

i=1

a

⊗ b

et c

= P

j=1

a

⊗ b

. Quitte ` a remplacer A par k[a

, · · · , a

] ⊂ A et B par k[b

, · · · , b

] ⊂ B et c et c

par les

´

el´ ements correspondants de k[a

, · · · , a

] ⊗ k[b

, · · · , b

], on peut supposer A et B de type fini sur k (comme k[a

, · · · , a

] ⊗ k[b

, · · · , b

] → A ⊗

B est injectif, cc

reste bien nul). On suppose les d´ ecompositions choisies de mani` ere ` a rendre n et m minimaux, en particulier (a

) et (a

) sont libres sur k. Si φ : B → k est un morphisme 0 = id ⊗ φ(cc

) = ( P

i

φ(b

)a

)( P

j

φ(b

)a

).

Comme A est int` egre, soit P

i

φ(b

)a

= 0 — et alors φ(b

) = 0 pour tout i puisque (a

) est libre —, soit P

j

φ(b

)a

= 0 —et alors φ(b

) = 0 pour tout j. Pour obtenir une contradiction,

il suffit donc de construire φ : B → k tel que φ(b

) 6= 0 et φ(b

) 6= 0. Comme b

, b

6= 0 et B est int` egre b

b

6= 0. Comme B est int` egre, b

b

n’est pas nilpotent, donc B [

1b⁰₁

] contient un id´ eal maximal, d’o` u un morphisme B [

1b⁰₁

] → k par le nullstellensatz. Soit φ sa compos´ ee avec B → B[

1b⁰₁

]. Alors φ(b

)φ(b

) 6= 0, d’o` u la contradiction.

Exercice 9. Anneaux artiniens.

Un A-module M est dit artinien si toute suite d´ ecroissante de sous-A-modules de M est sta- tionnaire. Un anneau A est dit artinien si il est artinien en tant que A-module.

1. Montrer qu’un A-module M est artinien si et seulement si toute famille de sous-module de M admet un ´ el´ ement minimal.

2. Soit k-un corps. Montrer qu’une alg` ebre de dimension finie sur k est artinienne.

3. Soit N un sous-module de M. Montrer que M est artinien si et seulement si N et M/N sont artiniens.

4. Montrer qu’un anneau int` egre est artinien si et seulement si c’est un corps.

5. Soit k un corps. Montrer qu’un k-espace vectoriel M est un k-module artinien si et seulement si il est de dimension fini.

6. Soit A un anneau noeth´ erien dont tout id´ eal premier est maximal. Montrer que A est artinien (on pourra consid´ erer un id´ eal artinien maximal et utiliser la question 1 de l’exercice 10).

7. Montrons que r´ eciproquement tout anneau artinien est un anneau noeth´ erien dont tout id´ eal premier est maximal. Soit A un anneau artinien.

(a) Montrer que tout id´ eal premier de A est un id´ eal maximal.

(b) Montrer que A n’a qu’un nombre fini d’id´ eaux maximaux.

(c) Si m ∈ Spec(A), on note m

= T

n∈N

m

et k

= A/m. Montrer que m

/m

est un k

-espace vectoriel de dimension finie. En d´ eduire que A/m

est un anneau noeth´ erien.

(d) Montrer que A → Q

m∈Spec(A)

A/m

est surjective. Soit R

le noyau de ce mor- phisme. Montrer que R

· m = R

pour tout id´ eal maximal m de A. Soit J = Ann(R

) = {x ∈ A, ∀y ∈ R

, xy = 0}.

(e) On suppose J 6= A. Montrer qu’il existe un id´ eal J

contenant J tel que J

/J soit un A-module simple. En d´ eduire une contradiction.

(f) En d´ eduire que A → Q

m∈Spec(A)

A/m

est un isomorphisme et que A est un anneau noetherien.

Correction. 1. Soit (M

)i ∈ I une famille de sous-modules de M sans ´ el´ ements minimal.

On d´ efinit i(n) ∈ I par r´ ecurrence sur n ∈ N : comme M

n’est pas un ´ el´ ement minimal de (M

)i ∈ I, il existe i(n + 1) tel que M

( M

. La suite (M

)

n’est pas stationnaire, donc M n’est pas artinien. R´ eciproquement, si (M

)

est une suite d´ ecroissante mais pas stationnaire, elle n’admet pas d’´ el´ ement minimal.

2. Toute suite d´ ecroissante de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension fini est stationnaire (la suite des dimensions est d´ ecroissante dans N qui est bien ordonn´ e, donc est stationnaire).

3. Supposons M artinien. Soit (N

) une suite d´ ecroissante de sous-modules de N , c’est

aussi une suite d´ ecroissante de sous-modules de M donc elle est stationnaire. Soit (P

)

une suite d´ ecroissante de sous-modules de M/N . Notons p : M → M/N la surjection

canonique. Alors (p

(P

))

est une suite d´ ecroissante de sous-modules de M , donc sta- tionnaire. Or p est surjective, donc p

(P

= p

(P

implique P

= P

, donc (P

) est stationnaire.

R´ eciproquement supposons N et M/N artiniens et soit (M

)

une suite d´ ecroissante de sous-modules de M . Alors (N ∩ M

)

et p(M

) sont stationnaires. Le lemme des cinq appliqu´ e ` a

1 ^// N ∩ M

//

M

//

p(M

) ^//

1

1 ^// N ∩ M

^// M

^// p(M

) ^// 1 montre que (M

) est aussi stationnaire.

4. Un corps est ´ evidemment artinien. R´ eciproquement, soit A int` egre artinien et x 6= 0 ∈ A.

Par artinianit´ e, il existe n tel que (x

) = (x

) et donc il existe a ∈ A tel que x

= ax

. Comme A est int´ egre, on peut simplifier par x

et donc ax = 1, x est inversible, donc A est un corps.

5. Si k est de dimension fini, il est clairement artinien. R´ eciproquement, si M est de dimen- sion infini, l’ensemble des sous-k-espaces vectoriels de M qui ne sont pas de dimension fini n’admet pas d’´ el´ ement minimal (si M est tel, choisir une base de M et retirer un ´ el´ ement de cette base, on obtient un sous-module strict qui est en encore de dimension infini).

6. Soit I un id´ eal artinien maximal de A. D’apr` es la question 1 de l’exercice 10, comme A est noeth´ erien, il existe ¯ a ∈ A/I tel que (¯ a) soit un A-module isomorphe ` a A/p avec p ∈ Spec A. Par hypoth` ese, p est un id´ eal maximal de A donc A/p est artinien, et donc (¯ a) aussi. Soit J la pr´ eimage de (a) par la surjection A → A/I . Alors I et J/I ' (a) sont artiniens, donc J est artinien d’apr` es 3, ce qui contredit la maximalit´ e de I.

7. (a) Si p est un id´ eal premier de A, A/p est un A-module artinien d’apr` es 3 et donc un anneau artinien (les sous-A-modules et les sous-A/p-modules de A/p sont les mˆ emes). D’apr` es 4, p est donc un id´ eal maximal.

(b) Soit (m

)

une suite injective d’id´ eaux maximaux de A. Alors ( Q

i=1

m

)

est une suite strictement d´ ecroissante d’id´ eaux (on peux par exemple utiliser le lemme chinois, pour obtenir Q

i=1

m

/ Q

i=1

m

' A/m

6= 0), ce qui contredit l’artinianit´ e.

(c) m

/m

est un A-module artinien d’apr` es 3 et donc aussi un k

-espace vectoriel artinien (les sous-A-modules et le sous-k

-espaces vectoriels coincident), donc de dimension fini d’apr` es 5. En particulier, c’est un A-module noeth´ erien. On montre par r´ ecurrence sur n que A/m

est un A-module noeth´ erien en utilisant l’´ equiavalent de 3 pour la noeth´ erianit´ e.

Par artinianit´ e, la suite (m

) est stationnaire. donc A/m

est un A-module noeth´ erien, donc un anneau noeth´ erien.

(d) La surjectivit´ e est donn´ e par le lemme chinois. Il existe n tel que pour tout m m

= m

. Alors R

= Q

m

m

. Donc R

m = m

Q

n6=m

n = R

.

(e) Soit J

minimal parmi les id´ eaux contenant strictement J. Alors J

/J n’a pas de sous-modules autres que 0 et lui-mˆ eme par minimalit´ e de J

. Donc J

/J ' A/m pour un certain m ∈ Spec A, et donc J

m ⊂ J. Donc J

R

= J

mR

⊂ JR

= 0, ce qui contredit la d´ efinition de J puisque J

* J.

(f) Donc J = A, donc R

= 0, le morphisme A → Q

m∈Spec(A)

A/m

est donc un isomor-

phisme d’apr` es le lemme chinois. Donc A est un produit fini d’anneaux noetheriens

donc est noetherien.

Exercice 10. Id´ eaux associ´ es

Soit A un anneau noetherien. Si M est un A-module, et m ∈ M on note Ann(m) = {a ∈ A, am = 0}. On note Ass(M ) = {p ∈ Spec(A) : ∃m ∈ M, p = Ann(m)}.

1. Montrer que, si M 6= 0, Ass(M) est non vide. Montrer plus pr´ ecis´ ement que S

p∈Ass(M)

p = {a ∈ A : ∃x ∈ M \{0}, ax = 0}.

2. Montrer que, si M est de type fini, il existe une suite de sous-modules 0 = M

⊂ M

⊂

· · · ⊂ M

⊂ M

= M tels que M

/M

= A/p

avec p

∈ Spec A.

3. Montrer que si 0 → M

→ M → M

→ 0 est une suite exacte, Ass(M ) ⊂ Ass M

∪Ass M

. En d´ eduire que si M est de type fini, Ass(M ) est fini.

4. Montrer que si S est une partie multiplicative de A, Ass

(S

M ) = Ass

(S

M ) = Ass(M ) ∩ Spec(S

A).

5. Montrer que Ass(M) ⊂ Supp(M ) := {p ∈ Spec(A) : M

6= 0} et Ass(M ) contient les

´ el´ ements minimaux de Supp(M ).

Correction. 1. Soit p un ´ el´ ement maximal pour l’inclusion de {Ann(m), m ∈ M \{0}} (un tel ´ el´ ement maximal existe parce que A est noetherien). Montrons que p est premier.

Soient f, g ∈ A tels que f g ∈ p et supposons f / ∈ p. Soit m ∈ M tel que p = Ann(m).

Comme p ( p + Af ⊂ Ann(gm), par maximalit´ e de p, on a gm = 0, et donc g ∈ Ann(m), ce qui prouve que p est premier, et donc dans Ass(M ).

L’inclusion S

p∈Ass(M)

p ⊂ {a ∈ A : ∃x ∈ M\{0}, ax = 0} est ´ evidente. R´ eciproquement, soit a tel qu’il existe x ∈ M \{0} tel que ax = 0. Il existe un ´ el´ ement maximal p de {Ann(m), m ∈ M \{0}} qui contient Ann(x). Alors p ∈ Ass(M ) et a ∈ p.

2. On construit M

par r´ ecurrence. Supposons M

construit et M

6= M . Soit p = Ann(m) ∈ Ass(M/M

). L’application A → M/M

: a 7→ am induit une injection f : A/p → M/M

. Soit M

l’image r´ eciproque dans M de l’image de f.La suite M

est strictement croissante tant que M

6= M , donc par noetherianit´ e et finitude de M , il existe k tel que M = M

.

3. Soit p ∈ Ass(M ) et soit m ∈ M tel que p = Ann(m). Si il existe a / ∈ p tel que am ∈ M

alors Ann(am) = {b ∈ A : ba ∈ p} = p par primalit´ e de p et donc p ∈ Ass M

. Sinon, en notant ¯ m l’image de m dans M

, Ann( ¯ m) = p et donc p ∈ Ass M

.

4. Soit p = Ann(m/s) ∈ Ass

(S

M ). Comme m/s 6= 0, S ∩Ann

(m/s) = ∅. Par noetheria- nit´ e, l’ensemble {Ann(s

m)}

admet un ´ el´ ement maximal ; soit s

∈ S correspondant.

Pour tout s

∈ S, Ann(s

m) ⊂ p et si p ∈ p, il existe s

∈ S tel que ps

m = 0 et donc p ∈ Ann(s

s

m). Par maximalit´ e de s

, p ∈ Ann(s

m) et donc p ∈ Ass(M ) : Ass

(S

M ) ⊂ Ass(M ) ∩ Spec(S

A).

R´ eciproquement Si p = Ann(m) ∈ Ass(M ) ∩ Spec(S

A), Ann

(m/s) = {a : ∃s

∈ S, s

a ∈ p} = p par primalit´ e de p, donc Ass

(S

M ) = Ass(M ) ∩ Spec(S

A).

Si m/s ∈ S

M, Ann

(m/s) = S

Ann

(m/s) d’o` u l’autre ´ egalit´ e.

5. Si p ∈ Ass(M ), p ∈ Ass(M

) d’apr` es la question pr´ ec´ edente, et donc M

6= 0 : p ∈ Supp(M ). Si p est un ´ el´ ement minimal de Supp M , alors Supp

M

= {p}. Comme Ass

(M

) ⊂ Ass M est une partie non vide de Supp

M

= {p}, elle contient p.

Exercice 11. D´ ecomposition primaire

On suppose encore A noetherien. Un A-module M est dit coprimaire si Ass(M ) est un singleton.

Un sous-A-module N de M est dit primaire si M/N est coprimaire.

1. Soit M un A-module non nul. Montrer que M est coprimaire si et seulement si pour tout

a ∈ A diviseur de 0 dans M et pour tout x ∈ M , il existe n ∈ N tel que a

x = 0.

2. Soit M un module de type fini et N un sous-module. Montrer qu’il existe une famille fini (Q

) de sous-modules primaires de M tels que N = T

Q

.

Correction. 1. Supposons M coprimaire et soit p l’unique id´ eal associ´ e de M . Alors {a ∈ A : ∃x ∈ M \{0}, ax = 0} = p d’apr` es exo 7.1. On doit donc montrer que si a ∈ p, pour tout x ∈ M , il existe n tel que a

x = 0, i.e.M [

] = 0. En utilisant exo 7.4, Ass(M [

]) = Ass(M ) ∩ {q ∈ Spec A, a / ∈ q} = ∅ puisque a ∈ p. Donc M [

] est nul d’apr` es exo 7.1.

Supposons que pour tout a ∈ A diviseur de 0 dans M et pour tout x ∈ M , il existe n ∈ N tel que a

x = 0. Soit p = {a ∈ A : ∃x ∈ M \{0}, ax = 0} = {a ∈ A : ∀x ∈ M, ∃n ∈ N, a

x = 0}. Soit q = Ann(x) ∈ Ass(M ), alors, q ⊂ p d’apr` es exo 7.1. Par hypoth` ese, si a ∈ p, il existe n tel que a

x = 0 et donc a

∈ q. Par primalit´ e de q, a ∈ q : p ⊂ q. Donc tout id´ eal associ´ e est p et comme Ass(M ) 6= ∅, Ass(M ) = {p}.

2. Quitte ` a remplacer M par M/N , on peut supposer N = {0}.

Pour p ∈ Ass(M ), soit Q

un ´ el´ ement maximal de {N ⊂ M, p ∈ / Ass(N)} (il en existe par noetherianit´ e de A et finitude de M et car cet ensemble est non vide puisque {0} en fait partie). Montrons que Ass(M/Q

) = {p}. D’abord, comme p ∈ Ass(M ) ⊂ Ass(Q

) ∪ Ass(M/Q

) et p ∈ / Ass(Q

), on a p ∈ Ass(M/Q

). Si q ∈ Ass(M/Q

), alors il existe x ∈ M tel que q = Ann(¯ x) o` u ¯ x est l’image de x dans M/Q

. On a une suite exacte

0 → Q

→ Q

+ Ax → A/q → 0

et donc Ass(Q

+ Ax) ⊂ Ass(Q

) ∪ Ass(A/q). Par maximalit´ e de Q

, p ∈ Ass(Q

+ Ax) et donc p ∈ Ass(A/q) = {q}. Donc p = q : Q

est bien primaire. Maintenant, Ass( T

p

Q

) ⊂ T

p

Ass(Q

) = ∅ car pour tout p ∈ Ass(M ), p ∈ / Ass(Q

). Donc T

p

Q

= 0 d’apr` es exo 7.1.

3 Sch´ emas

Exercice 12. Soit X un sch´ ema. Montrer que les propositions suivantes sont ´ equivalentes : 1. pour tout ouvert U de X, O

(U ) est r´ eduit ;

2. il existe un recouvrement par des ouverts affine (U

)

tels que O

(U

) soit r´ eduit pour tout i ∈ I ;

3. pour tout x ∈ X, O

est r´ eduit.

Correction. 1 implique 2 est ´ evident.

2 implique 3 d´ ecoule de l’exercice 6. En effet, si x ∈ X, x est contenu dans l’un des U

= Spec A

, avec A

= O

(U

) r´ eduit et x correspond ` a un id´ eal premier p de A

. Alors O

= A

est r´ eduit d’apr` es l’exercice 6.

Si 3 est vrai, et U est un ouvert de X, le morphisme O

(U ) → Q

x∈X

O

est injectif et donc O

(U ) est un sous-anneau d’un anneau r´ eduit et est donc r´ eduit.

Exercice 13. Soit X un sch´ ema. Montrer que X est quasi-compact si et seulement si X poss` ede un recouvrement fini par des ouverts affines. Sous cette hypoth` ese, montrer que :

1. si X est non vide, X contient un point ferm´ e.

2. Si a, f ∈ O

(X), alors la restriction de a ` a O

(X

) est nulle si et seulement s’il existe un entier n > 0 tel que f

a = 0.

3. Le morphisme canonique X −→ Spec(O

(X)) est d’image dense.

Correction. X est recouvert par les ouverts affines, donc si X est quasicompact, on peut en extraire un recouvrement fini. R´ eciproquement, les sch´ emas affines sont quasicompact, donc si X poss` ede un recouvrement fini par des ouverts affines, X est une union fini de quasicompacts et donc est quasicompact.

1. Soit X = S

i=1

U

avec U

= Spec A

affine non vide. Soit x

un point ferm´ e de U

(i.e.un id´ eal maximal de A

). On construit x

par r´ ecurrence en posant x

= x

si {x

} ∩ U

est vide et x

un point ferm´ e de {x

} ∩ U

sinon. Par r´ ecurrence {x

} ∩ S

j

6 iU

= {x

}.

Donc x

est un point ferm´ e de X.

2. Soit X = S

i=1

U

avec U

= Spec A

. On a X

= S

i

U

avec U

= Spec A

. On a : a

= 0 ssi (car O

est un faisceau) a

= 0 pour tout i, ssi pour tout i il existe n

tel que f

a soit nul dans A

, ssi (par finitude de {i}) il existe n tel que pour tout i f

a = 0 dans A

, ssi (car f estun faisceau) il existe n tel que f

a = 0 dans O

(X).

3. La question pr´ ec´ edente montre que si f ∈ O

(X) alors O

(X)

→ O

(X

) est injectif.

En particulier si O

(X)

est non nul, O

(X

) est non nul et donc X

est non vide.

Comme φ : X −→ Spec(O

(X)) envoie X

dans D(f), on en d´ eduit que l’image de φ intersecte tout ouvert principal non vide, et donc l’image de φ est dense puisque les ouverts principaux forment une base d’ouvert.

Exercice 14. Soit K un corps de nombres, et O

son anneau d’entiers. En utilisant la finitude du nombre de classes d’id´ eaux de O

, montrer que tout ouvert de Spec(O

) est principal. En d´ eduire que tout sous-sch´ ema ouvert de Spec(O

) est affine. En r´ ealit´ e, on n’a pas besoin de l’hypoth` ese de finitude du nombre de classes d’id´ eaux de O

pour cette derni` ere propri´ et´ e. De fa¸con pr´ ecise, si A est un anneau de Dedekind (i.e. int` egre noeth´ erien normal et de dimension 6 1), montrer que tout sous-sch´ ema ouvert de Spec(A) est affine.

Correction. Soit U un ouvert non vide de X. Soit I un id´ eal de O

d´ efinissant F := X\U . Par finitude du nombre de classes d’id´ eaux de O

, il existe n > m tels que [I

] = [I

], et donc I

est principal : I

= f , et donc U = D(f ).

Passons au cas d’un anneau de Dedekind. Rappelons qu’un anneau de Dedekind local est un anneau de valuation discr` ete.

Rappelons pourquoi A = T

m

A

⊂ Frac(A). Soit x ∈ T

m

A

et soit I = {a ∈ A, ax ∈ A}.

Supposons I 6= A, et soit m un id´ eal maximal contenant I. Comme x ∈ A

, il existe m / ∈ m tel que mx ∈ A, i.e.m ∈ I, ce qui contredit I ⊂ m. Donc I = A, et donc x = 1x ∈ A.

Si f 6= 0 ∈ A, tous les id´ eaux premiers de A/(f) sont minimaux, donc ils sont en nombre fini : D(f) est le compl´ ementaire d’un ensemble fini de points ferm´ es. On est donc ramen´ e au cas U = X\{m} o` u m est un id´ eal maximal de A.

Soit t/s ∈ A

un g´ en´ erateur de mA

. Alors t est aussi un g´ en´ erateur de mA

. L’ensemble des id´ eaux premiers de A contenant t est fini : soit {m, m

, · · · , m

} une ´ enum´ eration de ces id´ eaux.

Soit t

∈ A un g´ en´ erateur de m

A

. Si t

∈ m on remplace t

par t

+ t

o` u t

∈ m

\m. Alors f = t

Q

t

est dans O

(U )\A.

Le morphisme φ : A → A[f ] induit un morphisme φ

: Y := Spec A[f ] → X qui se factorise

`

a travers U . Si D(a) est un ouvert principal de X contenu dans U , alors f a ∈ A

pour tout m

∈ U et f a ∈ A

. Donc f a ∈ S

m⁰∈SpecA

A

= A. Donc A[

] → A[f ][

] est un isomorphisme.

Donc φ

induit un isomorphisme de sch´ emas φ

(D(a)) = D(φ(a)) → D(a). Comme les D(a) recouvrent U , on en d´ eduit que φ

est un isomorphisme.

Exercice 15. Soit k un corps et X une k-vari´ et´ e affine. Montrer qu’il existe une k-vari´ et´ e

projective dont X est un sous-sch´ ema ouvert.

Correction. Soit A = O

(X), x

, · · · , x

une famille g´ en´ eratrice finie de A sur k et soit f : X → A

l’immersion ferm´ ee induite par f

: k[X

, · · · , X

] → A envoyant X

sur x

. Soit I = Ker(f

). Consid´ erons ˜ I

l’ensemble des polynomes homog` enes P de k[T

, . . . , T

] de degr´ e k tel que P (1, T

, . . . , T

) ∈ I. Alors ˜ I := L

k

I ˜

est un id´ eal homog` ene de k[T

, · · · , T

], d’o` u une immersion ferm´ ee Y := Proj B → P

o` u B = k[T

, . . . , T

]/ I. Le morphisme sur- ˜ jectif d’anneaux gradu´ es k[T

, . . . , T

] → B induit un morphisme surjectif k[

0

, . . . ,

0

] = k[T

, . . . , T

][

0

]

→ B[

0

]

dont le noyau est ˜ I[

0

]

= {P (

0

, . . . ,

0

), P ∈ I}. On obtient donc un isomorphisme A → B [

0

]

en envoyant P sur P (

0

, . . . ,

0

), d’o` u un isomorphisme de sch´ emas D

(T

) ' X : X est un sous-sch´ ema ouvert de Y .

Exercice 16. Soit A un anneau commutatif, et G un groupe fini d’automorphismes de A.

On note par A

le sous-anneau de A form´ e des ´ el´ ements G-invariants. Soit p : Spec(A) −→

Spec(A

) le morphisme induit par l’inclusion A

−→ A.

i) Montrer que A est une A

-alg` ebre enti` ere. Indication : pour a ∈ A, consid´ erer le polynˆ ome P

(T ) := Π

(T − g(a)). En d´ eduire que p est surjective.

ii) Montrer que G agit naturellement sur Spec(A). Soit x, y ∈ Spec(A). Montrer que p(x) = p(y) si et seulement s’il existe g ∈ G tel que g(x) = y.

iii) Soit a ∈ A. Ecrivons P

(T ) = T

+b

T

+ ...+ b

T +b

. Montrer que p(D(a)) = ∪D(b

).

En d´ eduire que p est ouverte.

iv) Soit b ∈ A

. Montrer que p

(D(b)) = D(bA), et que (A

)

= (A

)

. Montrer que, si V ⊂ Spec(A

) est ouvert, alors G agit sur le sous-sch´ ema p

(V ) de Spec(A), et que O

(V ) = O

(p

(V ))

.

v) Montrer que p est un morphisme quotient de Spec(A) par G dans la cat´ egorie des sch´ emas, i.e. que p ◦ g = p pour tout g ∈ G et que p est universel pour cette propri´ et´ e. Autrement dit, pour tout sch´ ema X, tout morphisme f : Spec(A) −→ X, v´ erifiant f ◦ g = f pour tout g ∈ G, se factorise de mani` ere unique par p.

Correction. 1. P

est ` a coefficient dans A

et unitaire, donc a est entier sur A

. Donc p est surjective d’apr` es le going-up de Cohen-Seidenberg.

2. G agit sur A, donc par contravariance de Spec, G agit sur Spec A par gx = (Spec g

)(x) = g(x). Soit ι : A

→ A l’injection canonique. Pour tout g ∈ G, gι = ι donc pg

= p.

Supposons p(x) = p(y). Soit a ∈ x. Alors Q

g

g(a) ∈ x ∩ A

= p(x) = p(y) ⊂ y. Donc il existe g ∈ G tel que g(a) ∈ A, i.e.y ⊂ S

g

g (x). Soit I = {1, . . . , n} minimal tel que y ⊂ S

i∈I

g

(x). Soit a

∈ y\ S

j∈I\{i}

g

(x). Si I > 2, alors a

+ Q

j6=i

a

∈ y\ S

i∈I

, d’o` u une contradiction. Donc il existe g tel que y ⊂ g(x). D’o` u y = g(x) d’apr` es le going-up de Cohen-Seidenberg.

3. Soit p ∈ D(a). Soit E = {g ∈ G : g(a) ∈ / p} 6= ∅ et soit k = |E|. Alors b

= P

I⊂G,|I|=k

Q

g∈I

g(a) ∈ A

\p, donc p ∈ D(b

). R´ eciproquement, si q ∈ D(b

) et soit p tel que q = p ∩ A

, il existe g tel que g(a) ∈ / p. Donc g

(p) ∈ D(a).

4. Soit p ∈ Spec A, alors p ∈ p

(D(b)) ssi b / ∈ p ∩ A

ssi b / ∈ p ssi p ∈ D(b).

On fait agir G sur A[

] par g(a/b

) = g(a)/b

. Le morphisme A → A[

] est G-´ equivariant donc induit un morphisme A

→ A[

]

, qui induit, puisque b est inversible dans A[

]

, un morphisme φ : A

[

] → A[

]

. Comme A

[

] → A[

] est injectif par exactitude

`

a gauche de la localisation, φ est injectif. Si a/b

∈ A[

]

, pour tout g il existe m

tel que b

g(a) = b

a, donc il existe m tel que b

a ∈ A

par finitude de G et donc a/b

= b

a/b

∈ A

[

].

Comme p est G-´ equvariant, p

(V ) est invariant par G et donc G agit dessus, d’o` u une

action de G sur p

O

. On a un morphisme de faisceau p

: O

→ p

O

;

comme pg = p, gp

= p

. Donc p

est ` a valeur dans le sous-pr´ efaisceau (p

O

)

de p

O

, d’o` u le morphisme voulu O

(V ) → O

(p

(V ))

. Quand V = D(b), O

(V ) = A

[

] et O

(p

(V ))

= A[

et la question pr´ ec´ edente prouve que le morphisme O

(V ) → O

(p

(V ))

est un isomorphisme. Si V est un ouvert quelconque de Spec A

, on peut recouvrir V par des ouverts principaux : V = S

i∈I

U

avec U

= D(b

). On a alors un diagramme commutatif :

0 ^// O

(V ) ^//

Q

i

A

[

i

] ^//

Q

i,j

(A

)[

ibj

]

0 ^// O

(p

(V )) ^// Q

i

A[

i

]

^// Q

i,j

A[

ibj

]

o` u les deux fl` eches verticales de droites sont des isomorphismes. La ligne du haut ´ etant exacte par d´ efinition d’un faisceau, pour obtenir que O

(V ) → O

(p

(V ))

est un isomorphisme, il suffit de montrer que la ligne du bas est exacte, i.e.que (p

O

)

est un sous-faisceau de p

O

. En utilisant le fait que p

O

est un faisceau, il suffit alors de v´ erifier que, si f ∈ p

O

(V ) et f

∈ (p

O

)

(U

) pour tout i ∈ I, alors f ∈ p

O

(V )

. Or, si g ∈ G, gf

= f

, donc par d´ efinition d’un faisceau gf = f , i.e.f ∈ p

O

(V )

.

5. Comme p est ouverte, Spec A

est muni de la topologie quotient. Soit f : Spec A → X

un morphisme G-´ equivariant. Comme p est ouverte, Spec A

est muni de la topologie

quotient, et donc f se factorise de fa¸con unique en une application continue ¯ f : Spec A

→

X. Si W est un ouvert de X, soit V = ¯ f

(W ) et U = p

(V ) = f

(W ). Le morphisme

f induit un morphisme f

: O

(W ) → O

(U ) qui v´ erifie gf

= f

pour tout

g ∈ G puisque f est G-´ equivariant. Donc f

est ` a valeur dans O

(U )

= O

(V )

d’apr` es la question pr´ ec´ edente. La famille de morphisme O

(W ) → O

( ¯ f

(W ))

d´ efinit un morphisme local de faisceaux localement annel´ es O

→ f ¯

O

et donc

un morphisme de sch´ emas, d’o` u un morphisme de sch´ ema Spec A

→ X factorisant f .

Comme O

→ p

O

est un monomorphisme, l’unicit´ e est ´ evidente.