Alg`ebre 2 – TD7 2010-2011
Anneaux et modules
Exercice no 1 (Modules projectifs et bande de Moebius) Soit A un anneau. Soit P un A-module. On dit que P est projectif si pour tout morphisme surjectif de A- modules f :M′ → M et pour tout morphisme g : P →M, il existe un morphisme h:P →M′ tel que g =f ◦h.
1. Montrer qu’un module est projectif si et seulement si il est facteur direct d’un module libre. En particulier, les modules libres sont projectifs.
2. Montrer qu’un module projectif est sans torsion, et en particulier qu’un mo- dule projectif de type fini sur un anneau principal est libre.
3. En utilisant le lemme de Nakayama, montrer qu’un module projectif de type fini sur un anneau local est libre.
4. SoitAl’anneau des fonctions continues surRqui sont 2π-p´eriodiques, et soitE leA-module des fonctions continuesf qui v´erifient∀x∈R, f(x+2π) = −f(x).
Montrer que E est projectif, de type fini sur A, mais pas libre.
5. Expliquer le titre de l’exercice.
Exercice no 2
1. SoitKun corps. Montrer que le sous-anneau deK[X, Y] engendr´e par (XnY)n∈N∗
n’est pas noeth´erien.
2. SoitA ={P ∈Q[X]|P(0) ∈Z}. Montrer que l’anneauAn’est pas noeth´erien.
Quel est son corps de fractions ?
Exercice no 3 On rappelle qu’un nombre complexexest un entier alg´ebrique s’il existe un polynˆomeP unitaire `a coefficients entiers tel que P(x) = 0. On noteQla clˆoture alg´ebrique deQ dansCetZl’ensemble des entiers alg´ebriques. On rappelle queZ est un anneau.
1. Montrer que le corps des fractions de Zest Q. 2. Montrer que Zn’est pas noeth´erien.
3. Soit I un id´eal de Z qui est engendr´e par un nombre fini d’´e´ements. Montrer queI est principal. On pourra comparer cet exemple `a l’exercice 2 du TD 6.
Exercice no 4 (Anneaux artiniens) Dans un anneauAon appelle nilradical de Aet on noteN il(A) l’intersection de tous les id´eaux premiers deA. On rappelle que le radical de JacobsonRad(A) est l’intersection de tous les id´eaux maximaux. Soit A un anneau artinien, c’est-`a-dire dans lequel toute chaˆıne d´ecroissante d’id´eaux est stationnaire.
1. Supposons de plus que A est noeth´erien, montrer que N il(A) =Rad(A) (on pourra utiliser le lemme de Nakayama).
On va maintenant prouver que tout anneau artinien est aussi noeth´erien.
2. Montrer que si I, J etpsont des id´eaux deA avecp premier etIJ ⊂p, alors I ⊂p ouJ ⊂p.
Alg`ebre 2 – TD7 2010-2011
3. Montrer que A n’a qu’un nombre fini d’id´eaux maximaux (si m1, . . . ,mr, . . . est une suite d’id´eaux maximaux de A, on pourra consid´erer les inclusions m1 ⊃m1m2 ⊃ · · ·).
4. On pose I =∩
nRad(A)n. SoitJ l’ensemble desx∈A tels que xI = 0. Nous allons montrer que J = A. Pour cela supposons le contraire et soit a /∈ J tel que si J ⊂ J′ (a), J′ = J (justifier l’existence de a). Montrer que Rad(A)a ⊂ J (on pourra s’int´eresser `a l’id´eal J +Rad(A)a et consid´erer le sous-A- module de A/J engendr´e par a). Conclure qu’en fait J =A.
5. Soientm1, . . . ,mrles id´eaux maximaux deA. Conclure en consid´erant la suite m1 ⊃m1m2 ⊃ · · ·Rad(A)⊃m1Rad(A)⊃m1m2Rad(A)⊃ · · ·.
Exercice no 5 (Anneaux de Dedekind) Soit A un anneau int`egre et K son corps des fractions. SoitL/K une extension finie s´eparable etB l’anneau des entiers deLsurA. Supposons de plusAnoeth´erien et int´egralement clos. On va montrer que B l’est aussi. Pourx∈L, on notemx l’endomorphisme de Ld´efini parmx(y) = xy.
On pose trL/K(x) = tr(mx) et χx = det(T −mx)∈K[T].
1. Montrer que les facteurs irr´eductibles unitaires de P dans K[X] sont dans A[X].
2. Si x∈B, montrer que son polynˆome minimal sur K est dansA[X].
3. Montrer que l’application trL/K est non nulle. On pourra utiliser le th´eor`eme de l’´el´ement primitif et utiliser un d´eterminant de Vandermonde.
4. Montrer que l’application trL/K : L×L→ K d´efinie par (x, y)7→ trL/K(xy) est une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee.
5. Montrer l’´equivalence entre x∈B etχx ∈A[T].
6. Montrer que Lposs`ede une base sur K constitu´ee d’´el´ements deB.
7. SoitM un sous-A-module deLengendr´e par une base d’´el´ements deB comme ci-dessus. Montrer que
{x∈L, ∀m ∈M, trL/K(xm)∈A} est un sous-A-module de type fini sur A.
8. Conclure.
9. Supposons maintenant que tout id´eal premier deA est maximal. Montrer que c’est aussi le cas deB.1
10. Soit k une extension finie de Q. Montrer que l’anneau des entiers dek est un anneau de Dedekind.
1. Un anneau noeth´erien, int´egralement clos dont tout id´eal premier est maximal est appel´e anneau de Dedekind
