Montrer que siA[X] est noeth´erien,A est noeth´erien

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2019-20 M1 math´ematiques

Feuille 3

Anneaux noeth´eriens, polynˆomes sym´etriques

1.a. L’anneau des fonctionsR→Rest-il noeth´erien ? 1.b. L’anneau des suites `a valeurs enti`eres est-il noeth´erien ?

1.c. Soit K un corps. Montrer que le sous-anneau de K[X, Y] engendr´e par {XⁿY /n ≥1} n’est pas un anneau noeth´erien.

1.d. L’anneau{P ∈Q[X]/P(0)∈Z}est-il noeth´erien ?

1.e. L’anneau des fonctions holomorphes surCest-il noeth´erien ?

2.a. SoitAun anneau commutatif. Montrer que siA[X] est noeth´erien,A est noeth´erien.

2.b. Montrer que tout anneau quotient d’un anneau commutatif noeth´erien est noeth´erien.

2.c. SoitAun anneau commutatif noeth´erien. NotonsKle corps des fractions deA. SoitIun id´eal premier de A. Posons A(I) = {a/b ∈K/a ∈ A, b /∈I}. C’est le localis´e de A en I. Montrer que c’est un anneau noeth´erien.

3.a. SoitK un corps. Les anneaux K[X, Y]/(XY −1) etK[T] sont-ils noeth´eriens ? Ces anneaux sont-ils isomorphes commeK-alg`ebres ?

3.b. L’anneau des fonctions enti`eres est-il isomorphe `aC[X] ?

4. SoitA un anneau commutatif noeth´erien. Soit I un id´eal deA[X]. Pour nentier≥0, on note dn(I) le sous-ensemble deAform´e de 0 et des coefficients dominants des polynˆomes de degr´endeI.

4.a. Montrer quedn(I) est un id´eal deA. Montrer quedn(I)⊂dn+1(I) pour tout entiern≥0.

4.b. SoitJ est un id´eal deA[X] contenantI, montrer qu’on adn(I)⊂dn(J). Si de plusdn(I) =dn(J) pour toutn≥0, montrer qu’on aI=J.

4.c. Soit (Ik)k≥1 une suite croissante d’id´eaux de A[X]. Montrer qu’il existe des entiers m et l tels que dm(Il) soit maximal dans la famille (dn(Ik))k≥1,n≥1.

4.d. Montrer que pour tout entier n avec n ≤ m, il existe un entier kn tel que pour tout k ≥kn, on ait dn(Ik) =dn(Ikn).

4.e. PosonsK = max(l, k0, k1, ..., km). Montrer que pour tout entiern≥0 et toutk ≥K, on a dn(Ik) = d_n(I_K). En d´eduire que la suite (I_k)_k≥1est stationnaire.

4.f. Montrer queA[X] est noeth´erien (c’est leth´eor`eme de transfert de Hilbert), puis queA[X₁, X₂, ..., X_n] est un anneau noeth´erien.

4.g. SoitB uneA-alg`ebre de type fini. Montrer queB est un anneau noeth´erien.

4.h. L’anneauA[(X_n)_n≥1] est-il noeth´erien ?

5. Montrer que tout anneau principal est noeth´erien. Tout anneau factoriel est-il noeth´erien ?

6. Soit A un anneau int`egre noeth´erien. Montrer que tout ´el´ement de A peut s’´ecrire comme produit d’irr´eductibles.

7. Soit A un anneau int`egre. On dit qu’il est de B´ezouts’il v´erifie la propri´et´e dite de B´ezout suivante : pour tout (a, b)∈A², il existe (u, v)∈A² tel queau+bvsoit un pgcd deaet b.

7.a. Montrer que tout anneau principal est de B´ezout.

7.b. Montrer que, lorsqueK est un corps, l’anneauK[X, Y] n’est pas de B´ezout.

7.c. SiA est un anneau de B´ezout, l’anneauA[X] est-il en g´en´eral de B´ezout ? 7.d. Montrer que tout id´eal de type fini deAest principal lorsqueAest de B´ezout.

7.e. Montrer que tout anneau noeth´erien et de B´ezout est principal.

7.f. Soitb∈I. Soitdun pgcd de aet b. Montrer qued∈I.

7.g. En d´eduire quedA=aA.

7.h. En d´eduire queAest principal.

7.i. Montrer queB={P ∈Q[X]/P(0)∈Z}est un anneau (il est en fait de B´ezout).

7.j. L’id´ealI={P ∈B/P(0) = 0}est-il principal ? Est-il de type fini ?

8. Exprimer les polynˆomes sym´etriques suivants en fonction des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires : X³+Y³+Z³, X²Y +XY²+X²Z+XZ²+Y²Z+Y Z², X²Y Z+XY²Z+XY Z²,X⁴+Y⁴+Z⁴. 9.a. Soienta,b,c∈C. Montrer qu’ils sont en progression arithm´etique (resp. g´eom´etrique) si et seulement si 27abc= (a+b+c)(9(ab+bc+ac)−2(a+b+c)²) (resp. (ab+ac+bc)³=abc(a+b+c)³).

9.b. Soientα,β,γ,δ∈Cles racines deX⁴+X+ 1. Calculer 1/(α−1) + 1/(β−1) + 1/(γ−1) + 1/(δ−1).

9.c. Soientα,β,γ les racines deX³+ 2X²−2X+ 5. Trouver un polynˆome deZ[X] de racinesα³,β³,γ³. 9.d. SoitP =X³+ 2X²+ 3X+ 4∈Q[X]. Notonsα,β,γ ses racines complexes. D´eterminer le polynˆome unitaire de degr´e 3 dont les racines sontα+β,β+γet α+γ.

9.e. SoitP=X³+X+ 1∈Q[X]. Notonsα,β,γses racines complexes. Calculerα+β+γ,α²+β²+γ², α³+β³+γ³ et, en calculant la division euclidienne deX⁴parP,α⁴+β⁴+γ⁴.

10. Soit Aun anneau commutatif noeth´erien. Un id´eal premier deAest ditminimal s’il est minimal pour l’inclusion.

10.a. Quels sont les id´eaux premiers minimaux d’un anneau int`egre ? 10.b. Quels sont les id´eaux premiers minimaux deZⁿ, pournentier≥1 ?

10.c. Donner une exemple d’anneau contenant une infinit´e d’id´eaux premiers minimaux.

10.d. SoitZ l’ensemble des id´eaux deAtels que pour toute familles (J1, ..., Jn) d’id´eaux premiers minimaux de A, I ne contienne pasJ1J2...Jn. Montrer que, si Z est non vide, il contient un ´el´ement maximal pour l’inclusion, not´eM.

10.e. Montrer queM n’est pas premier. En d´eduire qu’il existe deux id´eauxI,I⁰ deAtel que (I+M)(J+ M)⊂M.

10.f. Montrer qu’il existe deux familles(J₁, ..., J_n) et (J₁⁰, ..., J_n⁰0) d’id´eaux premiers minimaux deA tels que I+M contienneJ₁J₂...J_n etI⁰+M contienneJ₁⁰J₂⁰...J_n⁰0.

10.g. En d´eduire queZ est vide et qu’il existe un produit d’id´eaux premiers minimaux qui est ´egal `a l’id´eal nul.

10.h. En d´eduire queAne contient qu’un nombre fini d’id´eaux premiers minimaux.

10.i. Soit I un id´eal de A. Montrer qu’il existe une famille (J1, ...Jn) d’id´eaux premiers minimaux de A, contenant tousI, telle queI contienneJ1J2...Jn.

10. SoitK un corps. SoitP ∈K[X] sans facteur multiple.

10.a. SoitQ∈K[X] un polynˆome sans facteur multiple premier `aP. Montrer que le discriminant de P Q est un carr´e dansK si seulement si le produit des discriminants deP et Qest un carr´e dansK. Rappelons qu’il se d´ecompose en produits de facteurs irr´eductibles de degr´es 1 ou 2 dansR[X].

10.b. SupposonsP ∈R[X]. Rappelons qu’il se d´ecompose en produits de facteurs irr´eductibles de degr´es 1 ou 2 dansR[X]. SoitQ∈R[X] un polynˆome irr´eductible de degr´e 2 (resp. 1) premier `aP. Montrer que le discriminant deP Qest de signe oppos´e (resp. ´egal) `a celui du discriminant deP.

10.c. Supposons encore P ∈ R[X]. En d´eduire que le discriminant de P est > 0 si et seulement la d´ecomposition deP dansR[X] comprend un nombre pair de facteurs de degr´e 2.

10.d. Soitpun nombre premier6= 2. Supposons queP ∈F_p[X]. Montrer que siP est irr´eductible de degr´e impair (resp. pair) le discriminant deP est (resp. n’est pas) un carr´e dansF_p.

10.e. Supposons que P ∈ F_p[X]. Montrer que le discriminant de P est un carr´e si et seulement si la d´ecomposition en produit de facteurs irr´eductibles deP comprend un nombre pair de facteurs de degr´e pair.

11. SoitP ∈R[X] tel que pour touta,b,c∈Rtel queab+ac+bc= 0 on aitP(a−b) +P(b−c) +P(c−a) = 2P(a+b+c).

11.a. Trouvera, b,c non nuls dansZtels que ab+ac+bc= 0.

11.b. En consid´erant les tripletsax,bx,cxpourx∈R, montrer queP est somme d’un monˆome de degr´e 2 et d’un monˆome de degr´e 4.

12. Trouver tous les polynˆomesP ∈R[X] tels que pour tout r´eelsa,b,c, on ait : P(a+b−2c) +P(b+c− 2a) +P(c+a−2b) = 3(P(a−b) +P(b−c) +P(c−a)).

13. SoitKun corps de caract´eristique diff´erente de 2 et 3. Consid´erons le polynˆomeP=X³+pX+q∈K[X].

Supposons-le scind´e et notonsα,β etγses racines. On se propose de d´eterminer ces racines en fonctions de pet q. On suppose queK contient une racine cubique primitive de l’unit´ej.

13.a. SoitQ∈K[X] de degr´e 3. Montrer qu’il existea∈K^∗ et b∈K tel queQ(aX+b) ait un coefficient du second degr´e nul.

13.b. Posons Rj(X1, X2, X3) = (X1+jX2+j²X3)³ ∈ K[X1, X2, X3]. Montrer que l’orbite de Rj sous l’action du groupe sym´etrique S3contient deux ´el´ements : Rj et un autre ´el´ement qu’on noteraRj². 13.c. Montrer que les polynˆomes Rj +R_j2 et RjR_j2 sont sym´etriques. Les exprimer en fonctions des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires.

13.d. Posonsu=R_j(α, β, γ)∈Ket v=R_j2(α, β, γ)∈K. Exprimeru+v etuv en fonction depetq.

13.e. Exprimerα, β etγ en fonction deuetv.

14. SoitKun corps de caract´eristique diff´erente de 2 et 3. SoitP =X⁴+aX²+bX+c∈K[X]. Supposons-le scind´e de racinesα₁,α₂, α₃,α₄. On se propose de d´eterminer ces racines en fonctions dea,bet c.

14.a. Consid´eronsX₁X₂+X₃X₄∈K[X₁, X₂, X₃, X₄]. Montrer que l’orbite de ce polynˆome sous l’action du groupe sym´etriqueS4 contient trois ´el´ements not´esU,V et W.

14.b. ´Etablir que le coefficient enX du polynˆomeR(X) = (X−U)(X−V)(X−W)∈K[X1, X2, X3, X4][X] est sym´etriques enX1,X2,X3,X4. Exprimer ce coefficient en terme des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires.

14.c. Exprimerα1,α2, α3 etα4 en fonction deU(α1, α2, α3, α4),V(α1, α2, α3, α4) et W(α1, α2, α3, α4).

14.d. Conclure `a l’aide de l’exercice pr´ec´edent.

15. Soitnun entier>0. NotonsEn l’ensemble des polynˆomes de Z[X] unitaires de degr´enet dont toutes les racines sont de module 1.

15.a. Soitζ une racine de l’unit´e dansC. Montrer que toutes les racines de son polynˆome minimal surQ sont de module 1.

15.b. Montrer queE_n est fini.

15.c. PourP ∈En de racinesx1, x2...xn, on noteP2 le polynˆome unitaire de racinesx²₁, x²₂....x²_n. Montrer queP2∈Z[X].

15.d. En d´eduire que les racines deP sont des racines de l’unit´e.

15.e. `A quelle condition sur le nombre r´eel xexiste-t-ilP ∈Z[X] unitaire tel que P(e^2iπx) = 0.

16. SoitK un corps. SoientP,Q∈K[X] deux polynˆomes non constants ayant les mˆemes racines. Notons p0et p1 le nombre de racines deP et P−1 respectivement. Supposons queP −1 etQ−1 aient eux aussi les mˆemes racines. Notonsnle degr´e deP et supposons que le degr´e deQest≤n.

16.a. Montrer que le polynˆomeP−Qadmet au moinsp0+p1racines.

16.b. Montrer queD₀= pgcd(P, P⁰) etD₁= pgcd(P−1, P⁰) sont de degr´esn−p₀etn−p₁respectivement.

16.c. Montrer queD0D1 diviseP⁰. En d´eduire quep0+p1> n, puis queP =Q.

17. Soitndes entiers ≥1. Soit K un corps. Consid´erons des n-uplets (ai)1≤i≤n et (bj)1≤j≤n desn-uplets dansKⁿ. On suppose que la quantit´eQ

i(b_j−a_i) ne d´epend pas dej. Notons-lac.

17.a. PosonsA=Q

i(X−ai) etB=Q

j(X−bj) dansK[X]. Montrer queA−c=B.

17.b. En d´eduire que la quantit´eQ

j(bj−ai) ne d´epend pas dei.

18. SoitK un corps de caract´eristique 6= 2. Soitnun entier>0. Posons A=K[T1, ..., Tn]. Consid´erons la matrice (T_i^j−1)_1≤i,j≤n∈Mn(A). NotonsV son d´eterminant (dit deVandermonde). SoitP ∈A. On dit que P ∈Aestaltern´esi l’action du groupe sym´etriqueSn surP est donn´ee par la formuleσ(P) = sgn(σ)P.

18.a. Soientiet j ∈ {1, ..., n} deux entiers distincts. Notonsφi,j l’homorphisme d’anneauxA→Atel que φi,j(Tk) = Tk si k 6= j et φi,j(Tj) = Ti. Montrer que le noyau de φi,j est l’id´eal principal engendr´e par Ti−Tj. Montrer que tout polynˆome altern´e est dans le noyau deφi,j.

18.b. Montrer queTi−Tj diviseV dansA(1≤i, j≤n,i6=j) puis que V =Q

i<j(Tj−Ti).

18.c. Soienti, i⁰,j et j⁰ ∈ {1, ..., n} tels que {i, j} 6={i⁰, j⁰}. Montrer qu’on a les ´egalit´es d’id´eaux deA : (T_j−T_i)∩(T_j⁰−T_i⁰) = (T_j−T_i)(T_j⁰−T_i⁰). En d´eduire l’´egalit´e d’id´eaux deA : (V) =∩_i<j(T_i−T_j).

18.d. MontrerP est altern´e si et seulement si il existe un polynˆome sym´etrique Q∈Atel queP =QV. 18.e. Montrer quePest invariant sous l’action du groupe altern´eAnsi et seulement si il existe des polynˆomes sym´etriquesQet R∈A tels queP =QV +R.

18.f. Cette derni`ere propri´et´e est-elle encore v´erifi´ee si la caract´eristique deK est 2 ?

19. Soitrun entier>0. Unepartition de longueurrestr-uplet d´ecroissant d’entiers>0. Siλ= (λ1, λ2...λr) est une telle partition, on dit que |λ| =λ1+λ2+...+λr est lepoids de λ. On note Π(r) l’ensemble des

r-upletsλ= (λ1, λ2...λr) tels qu’il existes≤ravec (λ1, λ2...λs) partition de longueurs. On note Π⁺(r) les r-uplets de Π(r) qui sont strictement d´ecroissants.

Soitnun entier≥1. On rappelle que l’anneau factorielZ[X1, X2...Xn] est muni de l’action du groupe sym´etrique Sn. On note (σ) la signature d’une permutationσ∈ Sn. Un polynˆomeP en nind´etermin´ees est ditaltern´esi on a σ.P =(σ)P pour toutσ∈ Sn. On noteAn l’ensemble des polynˆomes altern´es.

19.a. SoitP∈An. Montrer quePest divisible parXi−Xj(i,j, 1≤i < j≤n). PosonsA=Q

i<j(Xi−Xj).

19.b. Montrer queAn est un module sur l’anneau des polynˆomes sym´etriques engendr´e parA.

19.c. Soit R ∈Z[X1, X2...Xn] un polynˆome invariant sous l’action des permutations paires mais pas sous Sn. Montrer que l’orbite deR sousSn comprend deux ´el´ements, not´esRet S.

19.d. Montrer queR+S est sym´etrique et queR−S est altern´e.

19.e. Le polynˆomeRest-il de la formeP+AQavecP etQsym´etriques ?

19.f. Soitλ= (λ₁, λ₂...λ_r)∈Π(r). PosonsA_λ =|X_i^λj|1≤i≤r,1≤j≤n ∈Z[X₁, X₂...X_r]. Montrer queA_λ∈A_n est homog`ene de degr´e|λ|. Que se passe-t-il lorsqueλ /∈Π⁺(r) ?

19.i. Posonsρ= (r−1, r−2...1,0)∈Π(r). FactoriserA_ρ.

19.j. Pourkentier 0≤k≤n, posonsρk = (r, r−1, ..., k+ 1, k−1, ...1,0). CalculerAρ_k. 19.k. Montrer que (Aλ)_λ∈Π+(r) est une base duZ-moduleAn.

19.l. Pourλ∈Π(r), montrer queAλ/Aρ est sym´etrique.

19.m. Montrer que l’application Π(r)→Π⁺(r) qui `a λassocieλ+ρest bijective.

19.n. Pourλ∈Π(r), le polynˆomeA_λ+ρ/A_ρ s’appelle la fonction de Schurde λ. Montrer que les fonctions de Schur constituent une base des polynˆomes sym´etrique deZ[X₁, X₂...X_r].

20. Soit K un corps commutatif. Soit n un entier> 0. Consid´erons L = K((Ai,j)_1≤i,j≤n,(Bi,j)_1≤i,j≤n) (corps des fractions rationnelles en 2n² ind´etermin´ees).

20.a. Consid´erons les matricesA= (Ai,j)_1≤i,u≤n, B = (Bi,j)_1≤i,u≤n ∈Mn(L). Donner leurs d´eterminants et montrer que ces derniers sont non nuls. Les matricesAetB sont-elles inversibles dans Mn(L) ?

20.b. SoientM,N ∈Mn(L) inversibles. Montrer que les matricesXIn−M N,XIn−N M ∈Mn[L(X)] sont conjugu´ees. En d´eduire que les polynˆomes caract´eristiques deM N et deN M sont ´egaux.

20.c. Montrer que le polynˆome caract´eristique deAB appartient `a K[(Ai,j)_1≤i,u≤n,(Bi,j)_1≤i,u≤n, X], puis que le polynˆome caract´eristique deABest ´egal au polynˆome caract´eristique deBA.

20.d. SoitA₀= (α_i,j)_1≤i,j≤n et B₀ = (β_i,j)_1≤i,j≤n ∈M_n(K). Montrer que les polynˆomes caract´eristiques deA₀B₀etB₀A₀ sont obtenus en ´evaluant les polynˆomes caract´eristiques deABetBArespectivement. En d´eduire que les polynˆomes caract´eristiques deA0B0 etB0A0 sont ´egaux.

21. SoitK un corps de caract´eristique 0. Soitnun entier≥0. SoientA,B∈Mn(K),

21.a. Soient P, Q∈K[X] unitaires, de degr´en, scind´es de racinesλ1,λ2...λn et µ1,µ2...µn respectivement.

Montrer que si, pour tout entieri, 0≤i≤n, on aPn

j=1λⁱ_j =Pn

j=1µⁱ_j, on aP =Q.

21.b. Supposons que pour tout i∈ {1,2...n}, Aⁱ et Bⁱ aient mˆeme trace. Montrer queA et B ont mˆeme polynˆome caract´eristique.

21.c. SupposonsAⁱ de trace nulle (i∈ {1,2...n}). Montrer queAest nilpotente.

21.d. SupposonsAⁱ de trace nulle (i∈ {1,2...n−1}). Montrer queAest nilpotente ou diagonalisable.

22. SoitK un corps. Soitnun entier≥1. SoitF ∈K(X₁, X₂...X_n) une fraction rationnelle sym´etrique.

22.a. Montrer queF peut s’´ecrire comme une fraction rationnelle en Σ₁, Σ₂...Σ_n.

22.b. Montrer que les fractions rationnelles sym´etriques constituent un sous-corps L de K(X1, X2...Xn) isomorphe `aK(X1, X2...Xn).

22.c. Les ´el´ementsX1,X2... Xn sont-ils alg´ebriques surL. Donner les polynˆomes minimaux.

22.d. L’extensionK(X1, X2...Xn)|Lest-elle alg´ebrique ? Finie ?

23. Soitn un entier≥1. SoitKun corps alg´ebriquement clos. SoientF1,F2... Fm∈K[X1, X2...Xn] sans z´ero commun. On va montrer Z_n par r´ecurrence surn : il existeH₁,H₂... H_m∈K[X₁, X₂...X_n] tels que 1 =F₁H₁+F₂H₂+...+F_mH_m(Version faible duth´eor`eme des z´eros, ou encoreNullstellensatz, de Hilbert).

23.a. Montrer Z1.

23.b. SoitP ∈K[X1, X2...Xn] non nul de degr´ed. Montrer qu’il existe (a1, a2...an−1)∈Kⁿ⁻¹ , c∈K et Q∈K[X1, X2...Xn] de degr´e< denXn tel queP(X1+a1Xn, ...Xn−1+an−1Xn, Xn) =cX_n^d+Q.

23.c. Montrer qu’on peut se ramener au cas o`uF1 est unitaire pour montrer Zn en supposant Z_n−1

23.d. PosonsG(Y, X1, X2...Xn) =F2+Y F3+...+Y^mFm−2 ∈K[Y, X1, X2...Xn]. Montrer qu’il existe A, B∈K[Y, X1, X2...Xn] tels que ResXn(F1, G) =AG+BF1.

23.e. Posons Res_Xn(F₁, G) = P_k(X₁, X₂..., X_n−1)Y^k +...+P₀(X₁, X₂..., X_n−1). Montrer que P₀, P₁...P_k n’ont pas de z´ero commun, et engendre donc un sous-module contenant 1, par hypoth`ese de r´ecurrence.

23.f. Montrer que les polynˆomesP₀, P₁...P_k sont dans l’id´eal engendr´e parF₁,F₂... F_m. En d´eduire Z_n. 23.g. Soit I un id´eal de K[X₁, X₂...X_n]. Posons V(I) = {(x₁, ..., x_n) ∈ Kⁿ/f(x₁, ..., x_n) = 0(f ∈ I)}.

Soit g ∈ K[X₁, X₂...X_n] s’annule sur V(I). Introduisons l’ind´etermin´ee suppl´ementaire X₀. Montrer que les polynˆomes F1, F2... Fm, 1−X0g ∈ K[X0, X1, X2...Xn] sont sans z´ero commun. En d´eduire que si g∈K[X1, X2...Xn] s’annule sur V(I), il existe un entierk >0 tel queg^k ∈I(v´eritable th´eor`eme des z´eros).