Cours de math´ematiques
Fonctions Logarithme n´ep´erien et Exponentielle
1 Fonction Logarithme n´ ep´ erien
D´efinition 1. On appelle fonction Logarithme n´ep´erien la fonction ln :x 7→ ln(x) d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par ln′(x) = 1
x et ln(1) = 0.
y= ln(x)
e
On appellee le nombre r´eel tel que ln(e) = 1 .
Propri´et´e 1. La fonctionlnest croisssante, n´egative sur]0; 1]et positive sur[1; +∞[, de plus lim
x→0ln(x) =−∞
et lim
x→+∞ln(x) = +∞.
Propri´et´e 2. La fonctionlnv´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eelsxetystrictement positifs et pour tout entier relatifn :
1. ln(xy) = ln(x) + ln(y)
2. ln
1
x
=−ln(x)
3. ln
x
y
= ln(x)−ln(y)
4. ln(xn) =nln(x)
5. ln(√ x) = 1
2ln(x)
Corollaire 1. Pour tout entier relatif n, on a ln(en) =n.
Propri´et´e 3. Siu est une fonction d´erivable et strictement positive sur ]0; +∞[, alors la fonction ln(u) est d´erivable et (ln(u))′ = u′
u .
Exemple 1. D´eterminer la d´eriv´ee de la fonction f(x) = ln(x2+ 1)et ´etudier ses variations.
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Cours de math´ematiques Fonctions Logarithme n´ep´erien et Exponentielle
2 Fonction Exponentielle
D´efinition 2. On appelle fonction Exponentiellela fonction exp :x7→exp(x)d´efinie surRparexp(x) =y avecln(y) =x.
y= exp(x) e
On note exp(x) =ex .
Propri´et´e 4.La fonctionexpest d´erivable et exp′(x) = exp(x) , elle est croisssante et strictement positive, de plus lim
x→−∞ex= 0 et lim
x→+∞ex = +∞.
Propri´et´e 5. On a ln(ex) =x pour tout r´eel x et eln(x)=x pour tout r´eel x >0.
Propri´et´e 6. La fonction exp v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels x et y et pour tout entier relatifn :
1. ex+y =exey 2. e−x= 1
ex 3. ex−y = ex
ey 4. enx= (ex)n
Propri´et´e 7. Si u est une fonction d´erivable, alors la fonction eu est d´erivable et (eu)′ =u′eu .
Exemple 2. D´eterminer la d´eriv´ee de la fonction f(x) =ex2+1 et ´etudier ses variations.
D´efinition 3. Soit a un nombre r´eel strictement positif, on appelle fonction exponentielle de base a la fonction d´efinie surR parx7→ax=exln(a).
Propri´et´e 8. Pour tout nombre r´eel a strictement positif et pour tous r´eelsx ety, on a : 1. ax+y =axay
2. a−x= 1 ax 3. ax−y = ax
ay 4. axy = (ax)y
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