GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 6

(1)

G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 6

ANDREAS H ¨ORING

1.) Soit k un corps commutatif. Montrer que le groupe additif (A

ⁿ_k

, +) n’est pas r´eductif.

Indication : consid´erer la repr´esentation A

ⁿ_k

→ GL(n + 1),

(a

¹

, . . . , a

_n

) 7→







1 0 . . . 0 a

¹

0 1 0 . . . a

2

.. . .. .

0 . . . 1 0 a

_n−1

0 . . . 0 1 a

_n

0 . . . 0 1





 .

2.) Stabilit´ e des hypersurfaces lisses.

On travaille sur un corps k algébriquement clos de caractéristique zéro.

(a) Soit f un polynˆ ome homog`ene de degr´e d ≥ 3 dans k[X

⁰

, . . . , X

_n

] tel que l’hypersurface {f = 0} ⊂ P

ⁿ

est lisse. Montrer que le stabilisateur de f sous l’action de GL(n + 1) est fini.

Indication : il est suffisant de montrer que l’espace tangent du stabilisateur au point Id est égal ` a zéro. L’espace tangent de GL(n + 1) au point Id est l’algèbre de Lie

gl(n + 1) = {matrices A = (a

i,j

)

⁰≤i,j≤n

}.

L’alg`ebre de Lie agit sur k[X

⁰

, . . . , X

_n

] par l’action

g 7→ D

A

(g) =

n

X

i,j=0

a

i,j

x

j

∂g

∂x

i

,

l’espace tangent du stabilisateur de f en Id est donc {A ∈ gl(n + 1) | D

A

(f ) = 0}.

(b) Pour d ≥ 3, on consid`ere l’action de P GL(n) sur P(H

⁰

(P

ⁿ

, O

_Pⁿ

(d))) =: X Soit ∆ ⊂ X l’ensemble correspondant aux hypersurfaces singulières. Montrer que X \ ∆ est une variété affine qui est invariante sous l’action de P GL(n) sur X.

Indication : se rappeler la d´efinition du discriminant.

(c) Montrer que tout point de X \ ∆ est stable pour l’action de P GL(n) sur X . Consid´erons maintenant le cas n = 2, m = 3, c’est ` a dire les cubiques planes.

(d) Montrer que si la cubique correspondant ` a un point x ∈ X est singuli`ere, alors x n’est pas un point stable.

Date: 19 f´evrier 2008.

1

(2)

Indication : quitte ` a appliquer une homographie on peut supposer que (1 : 0 : 0) est un point singulier de la courbe C. Dans ce cas, montrer que l’´equation de C s’´ecrit

aXY

²

+ bXY Z + cXZ

²

+ dY

³

+ eY

²

Z + f Y Z

²

+ gZ

³

. Conclure avec le crit`ere num´erique.

3.) Semistabilit´ e des fibr´ es vectoriels en caract´ eristique p

On travaille sur un corps k alg´ebriquement clos de caract´eristique p > 0. Soit C une courbe projective lisse sur k et notons F : C

_p

→ C le morphisme de Frobenius k-lin´eaire [Har77, p.301–303].

On définit le degré d’un fibré en droites L comme le degré d’un diviseur de Weil associé ` a L [Har77, p.137] et le degré d’un fibré vectoriel E de rang r comme le degré de det E = V

r

E. On fibr´e vectoriel est semistable si pour tout sous-fibr´e F ֒ → E non-nul, on a

deg F

rg F ≤ deg E rg E .

Le but de cet exercice est de donner un exemple d’un fibr´e vectoriel sur une courbe qui est semistable, mais dont les puissances sym´etriques ne sont pas semis- tables. Les exemples classiques pour cette situation sont dˆ us ` a Serre, Tango [Tan72]

et Gieseker [Gie73]. Nous allons suivre l’article de Lange et Stuhler [LS78].

(a) Montrer que pour tout fibr´e vectoriel E sur C on a F

^∗

E ֒ → S

^p

E,

o` u S

^p

E est le p-ème produit symétrique de E. En déduire que si E est de degré 0 et F

^∗

E n’est pas semistable, alors S

^p

E n’est pas semistable.

Rappelons que pour tout faisceau coh´erent F sur C nous avons un morphisme injectif F → F

∗

F

^∗

F. Puisque F est un morphisme fini, on obtient une application

u : H

¹

(C, F) → H

¹

(C

p

, F

^∗

F).

(b) Soit L un fibré en droites sur C ayant les propriétés suivantes : – deg L < 0 et

– u : H

¹

(C, L

^⊗²

) → H

¹

(C

p

, F

^∗

L

^⊗²

) n’est pas injective.

Soit e un ´el´ement non-nul de H

¹

(C, L

^⊗²

) ≃ Ext

¹

(L

^∗

, L) contenu dans le noyau de u et soit

(∗) 0 → L → E → L

^∗

→ 0

l’extension correspondante. Montrer que E est semistable et F

^∗

E n’est pas semistable.

Indication : commencez par montrer que F

^∗

E ≃ F

^∗

L ⊕F

^∗

L

^∗

. Pour montrer que E est semistable, supposons qu’il existe un sous-fibré en droites M ֒ → E de degré positif. Montrer que le sous-fibré

F

^∗

M ֒ → F

^∗

E

s’identifie `a F

^∗

L

^∗

. En d´eduire que la suite exacte (∗) est scind´ee.

Notons que la d´erivation d : O

Cp

→ Ω

Cp

induit un O

C

-morphisme F

∗

d : F

∗

O

Cp

→ F

∗

Ω

Cp

, notons Ω

^e_C

son image.

(c) Montrer que le noyau de F

∗

d est l’image du morphisme O

C

→ F

∗

O

Cp

. En d´eduire que pour tout fibr´e en droites L sur C, on a une suite exacte

0 → L → F

∗

L → Ω

^e_C

⊗ L → 0.

2

(3)

(d) Soit D un diviseur sur C de degr´e n´egatif, notons L = O

C

(D). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

– Il existe une fonction rationnelle f ∈ k(C) telle que le divisieur associ´e `a df satisfait df ≥ −pD.

– u : H

¹

(C, L

^⊗²

) → H

¹

(C

p

, F

^∗

L

^⊗²

) n’est pas injective.

(e) Soit m ≥ 2. Il existe une application s´eparable π : C → P

¹

de degr´e p + 1 tel que le diviseur de ramification est P

²m

i=1

px

i

o` u x

1

, . . . , x

2m

sont des points distincts de C. Soit y

1

= π(x

1

), y

2

= π(x

2

) et t la fonction rationnelle sur P

¹

qui correspond au diviseur y

2

− y

1

. Montrer que la fonction rationnelle π

^∗

t sur C satisfait

dπ

^∗

t =

2m

X

i=2

px

_i

− (p + 2)x

¹

.

En déduire l’existence d’un diviseur D sur C qui satisfait les propriétés de la ques- tion précédente.

R´ ef´ erences

[Gie73] David Gieseker. Stable vector bundles and the Frobenius morphism.Ann. Sci. Ec. Norm.

Sup., 6 :95–101, 1973.

[Har77] Robin Hartshorne.Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.

[LS78] H. Lange and U. Stuhler. Divisoren von rationalen Schnitten in torsionsfreien Garben und ein Satz von Tango.Arch. Math., 30 :146–152, 1978.

[Tan72] Hiroshi Tango. On the behavior of extensions of vector bundles under the Frobenius map.

Nagoya Math. J., 48 :73–89, 1972.

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